2021_2021学年高中数学第一章推理与证明1.2.1综合法课时素养评价含解析北师大版选修2_.doc

课时素养评价三综合法(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.A，B为ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若A>B，则a>b.又因为=，所以sin A>sin B.若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，所以A>B.2.在ABC中，已知sin Acos A=sin Bcos B，则该三角形是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【解析】选D.由sin Acos A=sin Bcos B，得sin 2A=sin 2B，所以2A=2B或2A=-2B，所以A=B或A+B=.3.设a>0，b>0且ab-(a+b)1，则()A.a+b2(+1)B.a+b+1C.a+b(+1)2D.a+b>2(+1)【解析】选A.由条件知a+bab-1-1，令a+b=t，则t>0且t-1，解得t2+2.4.已知a，b为非零实数，则使不等式：+-2成立的一个充分而不必要条件是()A.a·b>0B.a·b<0C.a>0，b<0D.a>0，b>0【解析】选C.因为+-2，所以-2.因为a2+b2>0，所以ab<0，所以使不等式+-2成立的一个充分而不必要的条件是a>0，b<0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知x，y(0，+)，a=x4+y4，b=x3y+xy3，则a，b的大小关系是_. 【解析】因为a=x4+y4，b=x3y+xy3，所以a-b=(x4+y4)-(x3y+xy3)=(x3-y3)(x-y)0.故ab.答案：ab6.已知数列an的前n项和为Sn，f(x)=，an=log 2，则S 2 017=_. 【解析】an=log2=log2f(n+1)-log2f(n)，所以S2 017=a1+a2+a3+a2 017=log2f(2)-log2f(1)+log2f(3)-log2f(2)+log2f(4)-log2f(3)+log2f(2 018)-log2f(2 017)=log2f(2 018)-log2f(1)=log2-log2=log2+1.答案：log2+1三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知a，b，c成等差数列，求证：a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差数列.【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，所以4b2=(a+c)2，因为2(b2-ac)-(a2-bc)+(c2-ab)=2(b2-ac)-a2+c2-b(a+c)=2(b2-ac)-a2-c2+2b2=4b2-(a+c)2=0，所以2(b2-ac)=(a2-bc)+(c2-ab)，所以a2-bc，b2-ac，c2-ab是等差数列.8.在ABC中，若a2=b(b+c)，求证：A=2B.【证明】因为a2=b(b+c)，所以cos A=，cos 2B=2cos2B-1=2-1=2-1=，所以cos A=cos 2B.又A，B是三角形的内角，所以A=2B.(15分钟·30分)1.(5分)设x，yR，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，则+的最大值为()A.2B.C.1D.【解析】选C.因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，所以+=log3(ab)log3=1.2.(5分)下面的几个不等式：a2+b2+c2ab+bc+ca；a(1-a)；+2；(a2+b2)·(c2+d2)(ac+bd)2.其中恒成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.因为(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20，a(1-a)-=-a2+a-=-0，(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2.所以应选C.3.(5分)若0<a<1，0<b<1，且ab，则a+b，2，a2+b2，2ab中最大的是_. 【解析】由0<a<1，0<b<1，且ab，得a+b>2，a2+b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a+b>a2+b2，从而a+b最大.答案：a+b4.(5分)已知a，b，c，mR，且满足a<<b<<c，则m的取值范围为_. 【解析】因为a<<b<<c，所以>0，且>0，<0，因为a<b<c，所以b-a>0，b-c<0.所以>0，<0，>0，所以m<0或1<m<2.所以m的取值范围为(-，0)(1，2).答案：(-，0)(1，2)5.(10分)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-n(nN*).(1)证明：数列an+1为等比数列.(2)若数列bn为等差数列，且b3=a2，b7=a3，求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=2an-n，得Sn-1=2an-1-n+1(n2)，两式作差可得：an=2an-2an-1-1，即an=2an-1+1(n2)，所以an+1=2(an-1+1)(n2).由Sn=2an-n，取n=1，可得a1=1，则a1+1=2.所以数列an+1是以2为首项，以2为公比的等比数列.(2)由(1)知，an+1=2n，所以an=2n-1.b3=a2=3，b7=a3=7.因为数列bn为等差数列，所以公差d=1.所以bn=b3+(n-3)×1=n，所以=-，则数列的前n项和Tn=1-+-+-+-=1-=.1.已知，为实数，给出下列三个论断：>0；|+|>5；|>2，|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题_.(用序号及“”表示) 【解析】因为>0，|>2，|>2，所以|+|2=2+2+2>8+8+2×8=32>25.所以|+|>5.故可得.答案：2.已知函数f(x)=.(1)证明：函数f(x)是偶函数.(2)记A=f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)，B=f(1)+f+f+f，求A+B的值.(3)若实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)>1，求证：|x1x2|>1.【解析】(1)对任意实数x，有f(-x)=f(x)，故函数f(x)是偶函数.(2)当x0时，f(x)+f=+=+=1，所以A+B=f(1)+f(1)+=2 019.(3)由f(x1)+f(x2)>1+>1(+1)+(+1)>(+1)(+1)>1|x1x2|>1.