2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课时素养评价含解析新人教A版选修2_.doc
课时素养评价二导数的几何意义(15分钟30分)1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2),则f(1)的值为()A.1B.0C.-1D.2【解析】选B.因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2),所以过点(1,2)的切线平行于x轴,即切线的斜率为0,所以f(1)=0.2.若曲线f(x)=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于()A.1B.C.-D.-1【解析】选A.因为f(1)=(2a+ax)=2a,所以2a=2,所以a=1.3.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为()A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26【解析】选D.=(x)2+3x0x-3x+3-6x0.所以f(x0)=(x)2+3x0x-3x+3-6x0=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.4.若曲线y=x2在点P处的切线与直线y=-x+1垂直,则过点P的切线方程为()A.2x-y-1=0B.2x-y-2=0C.x+2y+2=0D.2x-y+1=0【解析】选A.与直线y=-x+1垂直的直线的斜率为2.由y=x2知,y= =(2x+x)=2x.设点P的坐标为(x0,y0),则2x0=2,即x0=1,故y0=1.所以过P(1,1)且与直线y=-x+1垂直的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.5.已知曲线y=x3上一点P,求:(1)点P处的切线的斜率.(2)点P处的切线方程.【解析】(1)由y=x3,得y= = = =3x2+3xx+(x)2=x2,y=22=4.所以点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程为y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为x+2y-3=0,那么()A.f(x0)>0B.f(x0)<0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在【解析】选B.由x+2y-3=0知斜率k=-,所以f(x0)=-<0.2.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.D.【解析】选D.因为y=x2,所以k=y= (2x+x)=2x,所以2x=tan=1,所以x=,则y=.3.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为()A.y=-2x+4B.y=-2x-4C.y=2x-4D.y=2x+4【解析】选C.=,所以当x0时,f(1)2,即k=2.所以切线方程为y+2=2(x-1).即y=2x-4.4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9B.15C.9D.-3【解析】选C.因为y=x3+11,所以y=3x2+3x·x+(x)2=3x2,则y=3×12=3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0解得y=9,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.5.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0)处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2 020的值为()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k=2b,由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以=-,故数列的前n项和为Sn=+=1-,所以S2 020=1-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为,则a=_. 【解析】因为f(a)=3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为,由题设知三角形面积为·|a3|=,解得a=±1.答案:±17.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于_. 【解析】因为y=2x3,所以y=2=2(x)2+3xx+3x2=6x2.所以y=6.所以点A(1,2)处切线的斜率为6.答案:68.已知函数f(x)=x3-3ax(aR).若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值范围为_. 【解析】由题意,得f(x)=3x2-3a=-1无解,即3x2-3a+1=0无解,故<0,解得a<.答案:a<三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.【解析】设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f(x)= =3x2-4x.由导数的几何意义,得k=f(x0)=3-4x0=4,解得x0=-或x0=2,所以切点坐标为或(2,3).当切点为时,有=4×+a,所以a=.当切点为(2,3)时有3=4×2+a,所以a=-5,因此切点坐标为或(2,3),a的值为或-5.10.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】=2x+x,则y=(2x+x)=2x,设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=f(x0)=2x0,由点斜式可得,所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,所以=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是a|a<2.已知点M(0,-1),F(0,1),过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.(1)求直线l的方程.(2)求以点F为焦点,l为准线的抛物线C的方程.【解析】(1)y=f(x)=x3-4x+4,所以f(2)=0,即曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线斜率为0,而l与此切线平行,故l的斜率也为0.又l过点M(0,-1),所以直线l的方程为y=-1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点,y=-1为准线,设抛物线方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.
