2012上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案.doc

2012一级注册建造师2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1如图，正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 2已知正整数满足：，则的最小可能值是 3若，则 4已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 5如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，则 6方程的非负整数解 7一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 （用数字作答）8数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 二、解答题9（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为求的表达式，并写出x的取值范围10（本题满分14分）给定实数，求函数的最小值11（本题满分16分）正实数满足；求证：（1）；（2）12（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：；A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和（1）求的值；（2）求证：2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案1、 2、92 3、11 4、5、 6、 7、 8、40259解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 （2分）在OBC中，由余弦定理，所以 ， 由，得 （5分）所以：，故：， 所以 ： （10分）由可得，故因为，结合，可得：，解得（结合） 综上所述， （14分）10解 当时，此时：，且当时不等式等号成立，故 （6分）当时，此时“耐克”函数在内是递减，故此时 综上所述， （14分）11证 （1）记，由平均不等式： （4分）于是 ，所以 ，而，所以，即，从而 （10分） （2）又因为：，所以 ，故 （16分）12解 （1）设集合，且A满足（a），（b）则由于不满足（b），故又 都不满足 （b），故而集合满足（a），（b），所以 （6分） （2）首先证明： 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于，故又，所以，集合，且B满足（a），（b）从而： （10分）其次证明： 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于 ，所以，且而， ，从而B满足（a），（b），于是： （14分）由，得 反复利用，可得 （16分）页脚内容3