2021_2021学年新教材高中数学单元素养评价一第五章数列含解析新人教B版选择性必修第三册.doc

单元素养评价(一)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列2,3,2,则12是它的()A.第28项B.第29项C.第30项D.第31项【解析】选B.将数列变为,所以an=,因为12=,144=5n-1,所以n=29,所以是数列的第29项.2.等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d等于()A.2B.1C.-1D.-2【解析】选D.因为S3=6,所以a1=4,所以2d=-4,d=-2.3.在各项均为正数的等比数列an中,a1=2,且a2,a4+2,a5成等差数列,记Sn是数列an的前n项和,则S6=()A.62B.64C.126D.128【解析】选C.设正数的等比数列an的公比为q>0,a1=2,因为a2,a4+2,a5成等差数列,所以a2+a5=2(a4+2),所以2q+2q4=2(2q3+2),解得q=2.所以S6=126.4.已知等差数列an中a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d=()A.-B.-C.D.【解析】选D.由题意,得,解得.5.(2020·全国卷)数列中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.取m=1,则an+1=a1an,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则an=2n,所以ak+1+ak+2+ak+10=2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.6.若用数学归纳法证明等式1+2+3+4+5+3n=,则当n=k+1时的等式左端应在n=k的基础上加上()A.3k+1B.3(k+1)C.D.(3k+1)+(3k+2)+3(k+1)【解析】选D.当n=k时,等式的左端为1+2+3+4+3k,表示从1到3k的累加;则当n=k+1时,等式的左端应该表示从1到3k+3的累加,即1+2+3+4+3k+(3k+1)+(3k+2)+(3k+3),故增加的项为(3k+1)+(3k+2)+(3k+3).7.已知数列an是等比数列,若a2=1,a5=,则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=()A.B.C.D.【解析】选B.数列an是等比数列,且a2=1,a5=,所以由通项公式可得 解得所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=2+=.8.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为()A.钱 B.钱C.钱D.钱【解析】选B.设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5.所以a=1,则a-2d=a-2×=a=.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知数列an中,an=n2-kn(nN+),且an单调递增,则k可以取()A.1B.2C.3D.4【解析】选AB.因为an单调递增,所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k>0,所以k<2n+1,所以k<3.故k可取1,2.10.已知数列an是等差数列,若a1=3,a2,a5-3,a6+6成等比数列,则数列an的公差为()A.-3B.3C.2D.-【解析】选BD.依题意设等差数列an的公差为d,因为a1=3,a2,a5-3,a6+6成等比数列,所以(a5-3)2=a2×(a6+6),即(3+4d-3)2=(3+d)(3+5d+6),所以11d2-24d-27=0,即(11d+9)(d-3)=0,所以d=3或-.11.等差数列an中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值为()A.1B.-C.D.-1【解析】选AC.因为数列an是等差数列,所以设数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,所以=,因为是一个与n无关的常数,所以a1-d=0或d=0,所以可能是1或.12.(2020·淮安高二检测)已知数列an是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是()A.B.log2anC.an·an+1D.an+an+1+an+2【解析】选ACD.由题意,可设等比数列an的公比为q(q0),则an=a1·qn-1.对于A:=·.所以数列是一个以为首项,为公比的等比数列;对于B:log2an=log2(a1·qn-1)=log2a1+(n-1)log2q.所以数列log2an是一个以log2a1为首项,log2q为公差的等差数列;对于C:因为=q2,所以数列an·an+1是一个以q2为公比的等比数列;对于D:因为=q,所以数列an+an+1+an+2是一个以q为公比的等比数列.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.公差为2的等差数列an中,a1,a3,a6成等比数列,则an的前10项和为_. 【解析】由题意,(a1+4)2=a1(a1+10),解得a1=8,所以S10=8×10+×2=170.答案:170 14.在等比数列an中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于_. 【解析】在等比数列an中,因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,所以a4-a3=2S3+1-(2S2+1)=2(S3-S2)=2a3,所以a4=3a3,所以q= =3.答案:315.等差数列an中, a7=4,a19=2a9,则an的公差d=_,通项公式an=_. 【解析】由题意, 解得 所以an=.答案:16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得最佳乐观系数x的值等于_. 【解析】因为c-a=x(b-a),b-c=(b-a)-x(b-a),(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,所以x(b-a)2=(b-a)2-x(b-a)2,所以x2+x-1=0,解得x=,因为0<x<1,所以x=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在数列an中,a1=1,an+1=3an.(1)求an的通项公式;(2)数列bn是等差数列,Sn为bn前n项和,若b1=a1+a2+a3,b3=a3,求Sn.【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an,所以数列an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1.(2)由(1)得:b1=a1+a2+a3=1+3+9=13,b3=9,则b3-b1=2d=-4,d=-2,所以Sn=13n+×(-2)=-n2+14n.18.(12分)(2019·全国卷)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列.(2)求an和bn的通项公式.【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.所以an=(an+bn)+(an-bn)=+n-,bn=(an+bn)-(an-bn)=-n+.19.(12分)正项等比数列an中,已知a3=4,a4=a2+6.(1)求an的前n项和Sn;(2)对于(1)中的Sn,设b1=S1,且bn+1-bn=Sn(nN+),求数列bn的通项公式.【解析】(1)设正项等比数列an的公比为q(q>0),则由a3=4及a4=a2+6得4q=+6,化简得2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-(舍去),于是a1=1,所以Sn=2n-1,nN+.(2)由已知b1=S1=1,bn+1-bn=Sn=2n-1(nN+),所以当n2时,由累加法得bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n-1+2n-2+21)-(n-1)+1=-n+2=2n-n,又b1=1也适合上式,所以bn的通项公式为bn=2n-n,nN+.20.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=3,2Sn+3=an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)若等差数列bn的前n项和为Tn,且T1=a1,T3=a3,求数列的前n项和Qn.【解析】(1)当n=1时,a2=9,由2Sn+3=an+1得2Sn-1+3=an(n2),两式相减得2(Sn-Sn-1)=an+1-an,又Sn-Sn-1=an,所以an+1=3an(n2),又a2=3a1,所以an+1=3an(nN+),显然an0,=3,即数列an是首项为3、公比为3的等比数列,所以an=3×3n-1=3n.(2)设数列bn的公差为d,则有b1=3,由T3=a3得3b1+3d=27,解得d=6,所以bn=3+6(n-1)=3(2n-1), 又=所以Qn=.21.(12分)已知数列an满足an=3an-1+n,n=2,3,4,.(1)若a1,a2,a3成等差数列,求a1的值;(2)是否存在a1,使数列an为等比数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意an=3an-1+n,n=2,3,4,a2=3a1+2,a3=3a2+3=9a1+9,若a1,a2,a3成等差数列,则a1+a3=2a2,即a1+9a1+9=2(3a1+2),解得a1=-.(2)若数列an为等比数列,则a1,a2,a3必成等比数列,则a1·a3=,即a1(9a1+9)=(3a1+2)2,解得a1=-,此时a2=-2,a3=-3,公比q=,又a4=3a3+4=-5,=,所以, 不存在a1使数列an为等比数列.22.(12分)(2020·苏州高二检测)已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+an(x-1)n(其中nN+),(1)当n=6时,计算a0及a1+a3+a5;(2)记Sn=a1+a2+an,试比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小,并说明理由.【解析】(1)当n=6时,取x=1,得a0=26=64,取x=2,得a0+a1+a2+a6=36,取x=0,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=1,将-得:2(a1+a3+a5)=36-1,所以a1+a3+a5=364.(2)由(1)可知Sn=a1+a2+an=3n-2n,要比较Sn与(n-2)2n+2n2的大小,只要比较3n-2n与(n-2)2n+2n2的大小,只要比较3n+2n与n2n+2n2的大小,当n=1时,左边=5,右边=4,所以左边>右边;当n=2时,左边=13,右边=16,所以左边<右边;当n=3时,左边=35,右边=42,所以左边<右边;当n=4时,左边=97,右边=96,所以左边>右边;当n=5时,左边=275,右边=210,所以左边>右边;猜想当n4,nN+时,左边>右边,即3n+2n>n·2n+2n2.下面用数学归纳法证明:当n=4时已证;假设当n=k(k4,kN+)时,3k+2k>k·2k+2k2成立,则当n=k+1时,左边=3k+1+2k+1=3(3k+2k)-3·2k+2k+1>3(k·2k+2k2)-2k,因为3(k·2k+2k2)-2k-(k+1)·2k+1-2(k+1)2=k·2k-3·2k+4k2-4k-2>2k+4k2-4k-2>0,所以3k+1+2k+1>(k+1)·2k+1+2(k+1)2,即当n=k+1时不等式也成立.由可知,3n+2n>n·2n+2n2对n4的一切正整数都成立.综上所述:当n=2或n=3时,Sn<(n-2)2n+2n2,当n=1或n4时Sn>(n-2)2n+2n2.关闭Word文档返回原板块