2021_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直一课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc
课时素养检测三十直线与平面垂直(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若空间三条直线a,b,c满足ab,bc,则直线a与c()A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直【解析】选D.两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直.2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.3.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在,也可能不存在C.有无数多个D.一定不存在【解析】选B.当l1l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.4.已知直线a平面,直线b平面,则a与b的关系为()A.abB.abC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直【解析】选B.由b,过b作平面,使=c,则bc,且c.因为a,所以ac.所以ab.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A.PADB.PDAC.PDBD.PDC【解析】选B.因为PA平面ABCD,所以AD是PD在平面ABCD上的射影,故PDA是PD与平面ABCD所成的角.6.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,为一个平面,下列命题正确的有()A.若l,则l与相交B.若m,n,lm,ln,则lC.若lm,mn,l,则nD.若,l则l【解析】选ACD.A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l,故B错误;对C,由lm,mnln,由l,得n,故C正确;对D,l则l正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于_. 【解析】如图,可将直三棱柱ABC-A1B1C1补成一个正方体ABDC-A1B1D1C1,所以AC1BD1.所以BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形,所以A1BD1=60°.即BA1与AC1所成的角为60°.答案:60°8.(三空题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于_;AB1与平面ADD1A1所成的角等于_;AB1与平面DCC1D1所成的角等于_. 【解析】B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.答案:45°45°0°三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AESB,AGSD.【证明】因为SA平面ABCD,所以SABC.又BCAB,SAAB=A,所以BC平面SAB.又AE平面SAB,所以BCAE.因为SC平面AEFG,所以SCAE.又BCSC=C,所以AE平面SBC,所以AESB.同理可证AGSD.【补偿训练】如图,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,求证:BCPC.【证明】因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.因为AB是O的直径,所以BCAC.而PAAC=A,所以BC平面PAC.因为PC平面PAC,所以BCPC.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB平面ACM;(2)证明:AD平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【解析】(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PBMO.因为PB平面ACM,MO平面ACM,所以PB平面ACM.(2)因为ADC=45°,且AD=AC=1,所以DAC=90°,即ADAC.又PO平面ABCD,AD平面ABCD,所以POAD,而ACPO=O,所以AD平面PAC.(3)取DO的中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MNPO,且MN=PO=1.由PO平面ABCD,得MN平面ABCD,所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在RtDAO中,AD=1,AO=,所以DO=,从而AN=DO=.在RtANM中,tanMAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直,则l;如果直线l与平面内的任意一条直线垂直,则l;如果直线l不垂直于,则内没有与l垂直的直线;如果直线l不垂直于,则内也可以有无数条直线与l垂直.A.0B.1C.2D.3【解析】选D.由直线和平面垂直的判定定理知正确;由直线与平面垂直的定义知,正确;当l与不垂直时,l可能与内的无数条直线垂直,故不对;正确.2.直线l与平面所成的角为70°,直线lm,则m与所成的角等于()A.20°B.70°C.90°D.110°【解析】选B.因为lm,所以直线l与平面所成的角等于直线m与平面所成的角,又直线l与平面所成的角为70°,所以直线m与平面所成的角为70°.3.若斜线段AB是它在平面上的射影长的2倍,则AB与平面所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示,ABO即是斜线AB与平面所成的角,又AB=2BO,所以cosABO=,即ABO=60°.4.(多选题)下列说法中错误的是()A.若直线m平面,直线lm,则lB.若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面必相交C.过平面外一点有且只有一条直线和平面垂直D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直【解析】选AB.A错误.若直线m平面,直线lm,则l与平行、相交或l在内都有可能.B错误.若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面平行、相交或l在内都有可能,C.D正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设点E,F分别是空间四边形ABCD的边AB,CD的中点,且EF=5,BC=6,AD=8,则异面直线AD与EF所成角的正弦值是_. 【解析】取BD中点G,连接EG,FG,因为在ABD中,E,G分别为AB,BD的中点,所以EGAD且EG=AD=4,同理可得:FGBC且FG=BC=3,所以FEG(或其补角)就是异面直线AD与EF所成的角因为在FGE中,EF=5,EG=4,FG=3,所以EF2=25=EG2+FG2,所以FEG为直角三角形,所以sinFEG=.答案:6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为_. 【解析】如图所示,连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.在RtBD1B1中,tanBD1B1=,则BD1B1=.答案:7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有AC1B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形) 【解析】要找底面四边形ABCD所满足的条件,使AC1B1D1,可从结论AC1B1D1入手.因为AC1B1D1,BDB1D1,所以AC1BD.又因为CC1BD,而CC1AC1=C1,CC1平面ACC1,AC1平面ACC1,所以BD平面ACC1,所以BDAC.此题答案不唯一.答案:BDAC(答案不唯一)8.如图所示,E是正方形ABCD所在平面外一点,E在平面ABCD上的正投影F恰在AC上,FGBC,AB=AE=2,EAB=60°,则以下结论中正确的有_(填序号). (1)CD平面GEF.(2)AG=1.(3)以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是8.(4)EAD=60°.【解析】连接EG,由EF平面ABCD得EFCD,又FGBC,所以FGAB,所以CDFG.即得CD平面GEF,故(1)正确;因为EAB=60°,所以AG=AE=1,故(2)正确;由题意得AF=,所以EF=,所以以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是×2=4,故(3)不正确;根据对称性可得EAD=EAB=60°,故(4)正确.答案:(1)(2)(4)三、解答题(共38分)9.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PACD,PA=1, PD=.(1)求证:PA平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA=1,PD=,所以PD2=PA2+AD2,所以PAAD,又PACD,ADCD=D,所以PA平面ABCD.(2)四棱锥P-ABCD的底面积为1,因为PA平面ABCD,所以四棱锥P-ABCD的高为PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为.10.(12分)如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,所以BB1AD,因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.又BCBB1=B,所以AD平面BCC1B1.(2)连接C1D.由(1)AD平面BCC1B1,则AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角.在RtAC1D中,AD=,AC1=,sinAC1D=,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.11.(14分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,A1D1的中点,求:(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值;(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.【解析】(1)如图所示,连接DB,因为D1D平面ABCD,所以DB是D1B在平面ABCD内的射影.则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.因为DB=AB,D1B=AB,所以cosD1BD=,即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2)因为E是A1A的中点,A1A平面A1B1C1D1,所以EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在RtEA1F中,因为F是A1D1的中点,所以EFA1为45°.
