2021_2021学年高中数学第二章数列2.4.1等比数列同步作业含解析新人教A版必修.doc
等 比 数 列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列an中,a1=8,a4=64,则a3等于()A.16B.16或-16C.32D.32或-32【解析】选C.由a4=a1q3得q3=8,即q=2,所以a3=32.2.已知等比数列的公比q=-,则=()A.B.C.2D.4【解析】选D.由题意可=4.3.(2019·哈尔滨高一检测)数列an满足:an+1=an-1(nN*,0,R),若数列an-1是等比数列,则的值是()A.1B.2C.D.-1【解析】选B.数列an-1为等比数列=q,即:an-2=qan-q,恒成立,可知:=2.4.在等比数列an中,a4=4,则a2·a6等于()A.4B.8C.16D.32【解析】选C.因为=a2·a6,所以a2·a6=16.5.(2019·新乡高二检测)在正项等比数列an中,a4,a46为方程x2-100x+9=0的两根,则a10·a25·a40=()A.9B.27C.64D.81【解析】选B.由已知得a4·a46=9=,因为an是正项等比数列,所以 a25=3,所以a10·a25·a40=27.6.已知数列an满足a1=1,an+1=an,nN*,则an=()A.B.C.D.【解析】选A.因为an+1=an,所以q=.所以an=a1qn-1=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等比数列an中,a2=2,a4=4,则a6=_. 【解析】设公比为q,由条件知解得q2=2,故a6=a1q5=a1q·q4=2×22=8.答案:88.若a1,a2,a3,a4成等比数列,公比为2,则的值为_. 【解析】由题意q=2,所以=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2.求证:an是等比数列.【证明】当n=1时,S1=a1=22-2=2,当n2时,Sn-1=2n-2,所以Sn-Sn-1=an=2n+1-2n=2n,n=1时满足an=2n.又=2,所以an是首项为2,公比为2的等比数列.10.已知an是递增的等比数列,a2+a3=4,a1a4=3.求数列an的通项公式.【解析】方法一:设等比数列an的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4=3,所以解得或因为an是递增的等比数列,所以a1=,q=3.所以数列an的通项公式为an=3n-2.方法二:设等比数列an的公比为q,因为a2+a3=4,a1a4=a2a3=3,所以a2,a3是方程x2-4x+3=0的两个根.解得或因为an是递增的等比数列,所以a2=1,a3=3,则q=3.所以数列an的通项公式为an=3n-2.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-,则公比q=()A.2B.-2C.D.-【解题指南】根据已知条件,找出等比数列的首项a1和公比q所满足的等量关系式,两式相除,消元求公比q的值.【解析】选C.显然q1,由已知,a1+a2=a1+a1q=-1,a1-a3=a1-a1q2=-,两式相除得=2,解得q=.2.各项不为零的等差数列an中,4a3-+4a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.4B.8C.16D.64【解析】选D.由等差数列性质可得:4a3-+4a11=4(a3+a11)-=8a7-=0.又an各项不为零,所以a7=8,即b7=8.由等比数列性质可得:b6b8=64.3.已知为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= ()A.7B.5C.-5D.-7【解析】选D.由题意得所以或所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.4.已知数列是等比数列,a1=1,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a2+a3+a4=()A.7B.12C.14D.64【解题指南】先根据已知条件解出公比,再根据等比数列通项公式求结果.【解析】选C.因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a2=4a1+a3又因为a1=1所以4q=4+q2,解得q=2,所以a2+a3+a4=2+22+23=14.5.已知数列an的前n项和Sn=an-1(a0,aR),那么数列an()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.要么是等差数列,要么是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列【解析】选C.当a=1时,该数列的各项为0,此时为等差数列,但不是等比数列;当a1时,由Sn=an-1得,an=Sn-Sn-1=an-1-an-1+1=(a-1)an-1(n2),此式对n=1也成立,所以=a(n2),此时an是等比数列,但不是等差数列.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·成都高二检测)已知数列an的前n项和Sn=2an-1,则该数列的通项公式an=_. 【解析】由Sn=2an-1得:Sn+1=2an+1-1,所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an又S1=2a1-1,则a1=1.由此可得,数列an是以1为首项,2为公比的等比数列则an=2n-1.答案:2n-17.在等比数列an中,a4=2,a5=4,则数列lg an的通项公式为_. 【解析】因为a5=a4q,所以q=2,a1=,所以an=·=,lg an=(n-3)lg2.答案:lgan=(n-3)lg28.在正项等比数列an中,若3a1,a3,2a2成等差数列,则= _. 【解析】设正项等比数列an的公比为q>0,因为3a1,a3,2a2成等差数列,所以2×a3=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q,所以q2-2q-3=0,又因为q>0,解得q=3,所以=.答案:9.某计算机病毒开机时占据2M内存,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机_秒,该病毒占据64 G内存 (1 G=210 M). 【解析】由已知,每3秒病毒占据的内存容量构成一个等比数列,设病毒占据64G内存时共复制了n次,则2×2n=64×210=216,所以n=15,即开机45秒,该病毒占据64 G内存.答案:45三、解答题(每小题10分,共30分)10.设an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=4,a3=9.(1)求an的通项公式.(2)lg a1+lg a2+lg an.【解析】(1)数列an是各项均为正数的等比等列,且a1+a2=4,a3=9.设首项为a1,公比为q,则:,整理得:4q2-9q-9=0,解得:q=3或-(负值舍去),故:a1=1,所以:an=1·3n-1=3n-1.(2)由于an=3n-1,则:lg a1+lg a2+lg an=lg(1·31·32·3n-1)=lg 31+2+(n-1)=lg 3.11.已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,S5=35,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)因为S5=5a3=35,所以a3=7,设an公差为d,因为a1,a4,a13成等比数列,所以=a1a13,即(7+d)2=(7-2d)(7+10d),解得d=0(舍)或2,因为a3=a1+2d=7,所以a1=3,所以an=2n+1.(2)由(1)知Sn=n(n+2),所以=,所以Tn=(-+-+-+-+-)=-.12.已知数列an的前n项和为Sn,且an=,nN*.(1)若数列an+t是等比数列,求t的值.(2)求数列an的通项公式.(3)记bn=+,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)当n=1时,由a1=,得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7,由已知a1+t,a2+t,a3+t成等比数列,所以(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n2,即an+1为等比数列成立,所以实数t的值为1.(2)由(1)知,当n2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以an+1是首项为2,公比为2的等比数列,an+1=2×2n-1=2n,所以an=2n-1.(3)由(2)知bn=+=-,所以Tn=-+-+-+-+-=1-.
