2021_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1第1课时空间中点直线和平面的向量表示及空间中直线平面的平行素养作业提技能含解析新人教A版选择性必修第一册.doc
第一章1.41.4.1第1课时请同学们认真完成练案 6 A组·素养自测一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则(B)AlBlClDl与斜交解析u2a，ua，l2下列命题中，正确的个数有(C)(1)直线l的方向向量是唯一的；(2)若点A、B是平面上的任意两点，n是平面的法向量，则·n0；(3)若向量n1、n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行；(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反A1个B2个C3个D4个解析只有错误，其余都正确3(多选题)若M(1,0，1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(AB)A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1)D(3,0,1)解析M，N在直线l上，(1,1,3)，故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量4已知向量a(2,4,5)、b(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则(D)Ax6，y15Bx3，yCx10，y15Dx10，y解析l1l2，ab，5设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k(C)A2B4C4D2解析，k4，故选C二、填空题6已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，1,1)、C(3，)，若，则等于_解析(1，3，2)、(2，2，3)，·0，23(2)2(3)0，解得7已知直线l的方向向量为u(2,0，1)，平面的一个法向量为v(2,1，4)，则l与的位置关系为_l或l_解析u·v2×(2)0×1(1)×(4)0，l或l8在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_(不唯一)(0,0,1)_，直线BC1的一个方向向量为_(0,1,1)_解析DD1AA1，(0,0,1)，直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；BC1AD1，(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)三、解答题9设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：(1)a(4,6，2)、b(2，3,1)；(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)；(3)a(2，1，1)、b(4，2，8)解析(1)a(4,6，2)、b(2，3,1)，a2b，ab，l1l2(2)a(5,0,2)、b(0,1,0)，a·b0，ab，l1l2(3)a(2，1，1)，b(4，2，8)，a与b不共线也不垂直l1与l2相交或异面10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，PA底面ABCD，PA2，点M为PA的中点，点N为BC的中点AFCD于F，如图建立空间直角坐标系求出平面PCD的一个法向量并证明MN平面PCD解析由题设知：在RtAFD中，AFFD，A(0,0,0)，B(1,0,0)，F，D，P(0,0,2)，M(0,0,1)，N，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z，得n(0,4，)因为·n·(0,4，)0，又MN平面PCD，所以MN平面PCDB组·素养提升一、选择题1从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长|34，则B点的坐标为(A)A(18,17，17)B(14，19,17)CD解析设B点坐标为(x，y，z)，则a(0)，即(x2，y1，z7)(8,9，12)，因为|34，即34，得2，所以x18，y17，z172已知点A(4,1,3)、B(2，5,1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为(C)ABCD解析C在线段AB上，设C(x，y，z)，则由得，(x4，y1，z3)(24，51，13)，即，解得故选C3(多选题)下面各组向量为直线l1与l2方向向量，则l1与l2平行的是(ABC)Aa(1,2，2)、b(2，4,4)Ba(1,0,0)、b(3,0,0)Ca(2,3,0)、b(4,6,0)Da(2,3,5)、b(4,6,8)解析l1与l2不平行则其方向向量一定不共线A中：b2a，B中：b3a，C中：b2a故选ABC4(多选题)对于任意空间向量a(a1，a2，a3)、b(b1，b2，b3)，则下列说法正确的是(CD)AabB若a1a2a31，则a为单位向量Caba1b1a2b2a3b30D若a为平面的法向量，则向量(ka1，ka2，ka3)(k为非零实数)，也为平面的法向量解析由ab，反之不一定成立，故A不正确；B显然错误；CD是正确的，故选CD二、填空题5平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则平面的法向量u可以是_(0,1，1)_解析(2,1,1)，(3，1，1)，设平面的法向量u(x，y，z)，则令z1，y1，x0，u(0,1，1)6已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,2，3)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_x2y3z0_解析由题意得e，则·e(x，y，z)·(1,2，3)0，故x2y3z07在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,3)、B(2,1，1)，向量的坐标为_(1,3，4)_，若直线AB交平面xOz于点C，则点C的坐标为_解析设点C的坐标为(x,0，z)，则(x1,2，z3)，(1,3，4)，因为与共线，所以，解得，所以点C的坐标为三、解答题8如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PM MABN ND5 8求证：直线MN平面PBC证明()()，与、共面，平面BCP，MN平面BCP，MN平面BCP9如图，在正方体ABCDABCD中，求证：平面ABD平面BDC分析证明面面平行常用的方法有两种，一是证明它们的法向量共线；二是转化为线面平行、线线平行即可证明方法1：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,1)，D(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，C(0,1,1)，于是(0,1,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，(0,1,1)设平面ABD的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1，n，即令y11，则x11，z11，可得平面ABD的一个法向量为n1(1,1，1)设平面BDC的法向量为n2(x2，y2，z2)则n2，n2，即令y21，则x21，z21，可得平面BDC的一个法向量为n2(1,1，1)所以n1n2，所以n1n2，故平面ABD平面BDC方法2：由方法1知(1,0,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，(0,1,1)，所以，即ADBC，ABDC，所以AD平面BDC，AB平面BDC又ADABA，所以平面ABD平面BDC方法3：同方法1得平面ABD的一个法向量为n1(1,1，1)易知(1,1,0)，(0,1,1)因为n1·(1,1，1)·(1,1,0)0，n1·(1,1，1)·(0,1,1)0，所以n1也是平面BDC的一个法向量，所以平面ABD平面BDC
