2021_2021学年新教材高中数学第七章三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式课时素养检测含解析新人教B版必修第三册.doc
课时素养检测五同角三角函数的基本关系式(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.若为锐角,sin =,则cos =()A.-B.C.-D.【解析】选D.因为sin =,且为锐角,所以cos =.2.化简:(1+tan2)·cos2等于()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.原式=·cos2=cos2+sin2=1.【补偿训练】已知sin +sin2 =1,则cos2 +cos6 +cos8 的值为()A.1B.C.D.【解析】选A.因为sin +sin2 =1,所以sin =1-sin2 =cos2 ,所以cos2 +cos6 +cos8 =sin +sin3 (1+sin )=sin +sin2 (sin +sin2)=sin +sin2 =1.3.(多选题)下列说法中,可能成立的是()A.sin =且cos =B.sin =0且cos =-1C.tan =1且cos =-D.为第四象限角,tan =-【解析】选BC.因为sin2+cos2=1所以选项A一定不成立.选项B满足sin2+cos2=1,可能成立.选项C中,tan =1,所以sin =cos ,所以cos =sin =-,可能成立.选项D中,应有tan =,故tan =-不成立.4.已知是第三象限角,且sin4+cos4=,则sin cos 的值为()A.B.-C.D.-【解析】选A.sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-2sin2cos2=,所以sin2cos2=,因为是第三象限角,所以sin cos =.【补偿训练】已知cos =,则sin2等于()A.B.±C.D.±【解析】选A.sin 2=1-cos 2=.5.若<<,则+的化简结果为()A.B.-C.D.-【解析】选D.原式=+=+=.因为<<,所以原式=-.6.已知sin -cos =,(0,),则tan =()A.-1B.-C.D.1【解析】选A.由sin -cos =两边平方,得1-2sin cos =2,所以sin cos =-.所以=-,所以tan 2+2tan +1=0,所以(tan +1)2=0,所以tan =-1.【补偿训练】若=2,则sin cos =()A.-B.C.±D.【解析】选D.由=2,得tan =4,sin cos =.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知角的终边在直线y=x上,则tan =;sin2+sin cos =. 【解析】tan =1,sin2+sin cos =1.答案:118.在ABC中,sin A=,则A=. 【解析】因为2sin2A=3cos A,所以2(1-cos2A)=3cos A,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,所以cos A=或cos A=-2(舍去),所以A=60°.答案:60°三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知3sin -2cos =0,求下列各式的值.(1)+.(2)sin 2-2sin cos +4cos2.【解析】因为3sin -2cos =0,显然cos 0,所以tan =,(1)+=+=+=.(2)sin2-2sin cos +4cos2=.10.已知tan =,且是第三象限角,求sin ,cos 的值.【解析】由tan =,得sin =cos ,又sin2+cos2=1,由得cos2+cos2=1,即cos2=.又是第三象限角,所以cos =-,sin =-.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知是三角形的一个内角,且sin +cos =,那么这个三角形的形状为 ()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.(sin +cos )2=,所以2sin cos =-<0,又因为(0,),sin >0.所以cos <0,所以为钝角,则这个三角形的形状为钝角三角形.【补偿训练】已知sin -cos =-,则sin cos 等于()A.B.-C.-D.【解析】选C.将所给等式两边平方,得1-2sin cos =,故sin cos =-.2.已知2cos +sin =,是第四象限角,则tan =()A.B.-C.3D.-3【解析】选B.因为是第四象限角,所以cos >0,sin <0,设x=cos >0,y=sin <0,则解方程组得所以tan =-.【补偿训练】已知x,sin xcos x=-,则tan x=. 【解析】因为x,所以sin x-cos x>0,sin x+cos x>0,所以sin x+cos x=,sin x-cos x=,所以sin x=,cos x=-,所以tan x=-=-.答案:-3.(多选题)(原创)已知为任意角,sin +cos =,则tan 的可能值为()A.-B.C.D.-【解析】选AD.将sin +cos =两边平方,得1+2sin cos =1-,即sin cos =-,易知+2k(kZ).故sin cos =-,解得tan =-或tan =-.4.若0,2),且有+=sin -cos ,则角的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.因为+=+=sin -cos ,所以sin 0,cos 0,又因为0,2),所以.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在ABC中,若tan A=,则sin A=. 【解析】因为tan A=>0,则A是锐角,则sin A>0,解方程组得sin A=.答案:6.已知为第四象限角,sin +3cos =1,则tan =. 【解析】因为(sin +3cos )2=1=sin2 +cos2 ,所以6sin cos =-8cos2 ,因为为第四象限角,cos 0,所以上式两边同除以cos2 ,得tan =-.答案:-7.已知tan =cos ,那么sin =. 【解析】由于tan =cos ,则sin =cos2,所以sin =1-sin2,解得sin =.又sin =cos20,所以sin =.答案:8.已知sin =,cos =,则m=, tan =. 【解析】由sin2+cos2=1得,m=0或8.当m=0时,sin =-,cos =,tan =-;当m=8时,sin =,cos =-,tan =-.答案:0或8-或-三、解答题(共38分)9.(12分)(2020·柳江高一检测)已知sin =,0<<.(1)求tan 的值;(2)求的值.【解析】(1)因为0<<,所以cos =,因此,tan =×=.(2)原式=×=.10.(12分)求证:sin (1+tan )+cos =+.【证明】左边=sin +cos =sin +cos +=+=+=右边.即原等式成立.11.(14分)已知sin ,cos 是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,且<<2,求角.【解析】由题意,得将代入(sin +cos )2=1+2sin cos ,得m=.又因为<<2.所以sin cos =<0,所以sin +cos =m=,所以sin =-,cos =.又因为<<2,所以=.【补偿训练】设A是三角形的内角,且sin A和cos A是关于x的方程25x2-5ax-12a=0的两个根.(1)求a的值.(2)求tan A的值.【解析】(1)因为sin A和cos A是关于x的方程25x2-5ax-12a=0的两个根,所以由根与系数的关系得将两边分别平方得sin2A+2sin Acos A+cos2A=a2,即1-a=,解得a=-25或a=1.当a=-25时,sin A+cos A=-5不合题意,故a=1.(2)由(1)得得sin A>0,cos A<0,所以sin A=,cos A=-.所以tanA=-.
