2021_2022学年高中数学第三章不等式4.3简单线性规划的应用课时素养评价含解析北师大版必修.doc

二十三简单线性规划的应用 (20分钟35分)1.当前疫情阶段,口罩成为热门商品,小明决定制作两种口罩:N95口罩和N90口罩.已知制作一只N95口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉,制作一只N90口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉,现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉,且一只N95口罩有4元利润,一只N90口罩有3元利润,为了获得最大利润,那么小明应该制作()A.5只N95口罩,8只N90口罩B.6只N95口罩,6只N90口罩C.7只N95口罩,6只N90口罩D.6只N95口罩,7只N90口罩【解析】选D.设制作x只N95口罩,y只N90口罩,根据题意有,可行域如图所示:利润z=4x+3y,目标函数看作斜率为-的直线,当目标函数表示的直线经过可行域内的点,且在y轴上的截距最大时,z最大,由,求得B(5.5,8),因为x,y需要取整数,在可行域内与点B最接近的整点为(6,7),所以当x=6,y=7时,z的值最大,所以小明应该制作6只N95口罩,7只N90口罩.2.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件则z=10x+10y的最大值是()A.80B.85C.90D.95【解析】选C.该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影中的整点部分.由于x,yN+,计算区域内与最近的点为(5,4).故当x=5,y=4时,z取得最大值为90.3.(2020·衡阳高一检测)某企业通过前期考察与论证可知,投资每个A项目第一年需资金20万元,从中可获利5万元;投资每个B项目第一年需资金30万元,从中可获利6万元.现公司拟投资两个项目共不多于8个且投入资金不超过200万元,需合理安排这两个项目的个数使第一年获利最多,则获利最多可达到()A.40万元B.44万元C.48万元D.50万元【解析】选B. 设投资x个A项目,y个B项目,则再求z=5x+6y的最大值.则投资的项目组合(x,y)为不等式组的可行域中的整数点.易得z=5x+6y在即(4,4)处取得最大值.最大值为z=5×4+6×4=44万元.4.(2020·苏州高一检测)某家具公司生产甲、乙两种书柜,制柜需先制白胚再油漆,每种柜的制造白胚工时数、油漆工时数的有关数据如表:工艺要求产品甲产品乙生产能力/(工时/天)制白胚工时数612120油漆工时数8464单位利润/元2024则该公司合理安排这两种产品的生产,每天可获得的最大利润为元. 【解析】设x,y分别为甲、乙两种柜的日产量,根据题意知,需求出线性目标函数z=20x+24y的最大值,其中线性约束条件为如图所示阴影部分中的整点为线性约束条件的可行域.作出直线l:20x+24y=0,平移l,当l过点Q时,z取到最大值,解得Q(4,8),代入z=20x+24y,可得zmax=20×4+24×8=272元.答案:2725.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品,甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为. (1)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱;(2)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱;(3)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱;(4)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱.【解析】设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱,由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y.画出可行域如图所示.点M(15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知在点M(15,55)处z取得最大值.答案:(2)6.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足即让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某实验室至少需要某种化学药品10 kg,现在市场上出售的该药品有两种包装,一种是每袋3 kg,价格为12元;另一种是每袋2 kg,价格为10元.但由于保质期的限制,每一种包装购买的数量都不能超过5袋,则在满足需要的条件下,花费最少为()A.56元B.42元C.44元D.54元【解析】选C.设购买价格为12元的x袋,价格为10元的y袋,花费为z元,则约束条件为:目标函数为z=12x+10y,作出可行域,使目标函数为z=12x+10y取最小值的整数点(x,y)是A(2,2),此时z=44.故购买价格为12元的2袋,价格为10元的2袋,花费最少为44元.2.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元,生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg,生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg,B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件,则合理安排生产可使每日获得的利润最大为()A.500元 B.700元C.400元 D.650元【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x,y件,则x,y满足利润z=30x+20y.不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点,根据目标函数的几何意义,在直线2x+3y=60和直线4x+2y=80的交点B处取得最大值,解方程组得B(15,10),代入目标函数得zmax=30×15+20×10=650.3.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为()A.31 200元B.36 000元C.36 800元D.38 400元【解析】选C.设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z,则画出可行域(图中阴影区域中的整数点),则目标函数z=1 600x+2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800.4.车间有男工25人,女工20人,要组织甲、乙两种工作小组,甲组要求有5名男工,3名女工,乙组要求有4名男工,5名女工,并且要求甲种组数不少于乙种组数,乙种组数不少于1组,则要使组成的组数最多,甲、乙各能组成的组数为()A.甲4组、乙2组B.甲2组、乙4组C.甲、乙各3组 D.甲3组、乙2组【解析】选D.设甲种x组,乙种y组.则总的组数z=x+y,作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分,寻找整点分析,x=3,y=2时,为最优解.5.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2 000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5 000斤,成本3 000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元B.5.5万元C.6.5万元D.10万元【解析】选B.设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,由题意可知,总利润z=x+y=0.3x+0.4y,作出可行域如图阴影部分:联立,解得,平移直线0.3x+0.4y=0,当过点A时,一年的种植总利润z取最大值5.5万元.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·南京高一检测)一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料,甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁,乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是2 000 L李子汁和1 000 L苹果汁,厂方的利润是生产1 L甲种饮料得3元,生产1 L乙种饮料得4元,那么厂方获得的最大利润是元. 【解题指南】设生产甲种饮料x L,生产乙种饮料y L,根据题意列出x,y满足的不等关系,然后求(3x+4y)max.【解析】设生产甲种饮料x L,生产乙种饮料y L,生产甲种饮料需要x李子汁和x苹果汁,生产乙种饮料需要y李子汁和y苹果汁,则利润z=3x+4y,由解得作出可行域,如图四边形OABC内部(含边界),作直线l:3x+4y=0,平移直线l,当l过点B(2 000,1 000)时,z=3x+4y取得最大值10 000.答案:10 000【补偿训练】某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品,甲种产品每件体积为5 m3,重量为2吨,运出后,可获利润10万元;乙种产品每件体积为4 m3,重量为5吨,运出后,可获利润20万元,集装箱的容积为24 m3,最多载重13吨,该企业可获得的最大利润是. 【解析】设甲种产品装x件,乙种产品装y件(x,yN),总利润为z万元,则且z=10x+20y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线l0:10x+20y=0,即x+2y=0.当l0向右上方平移时z的值变大,平移到经过直线5x+4y=24与2x+5y=13的交点(4,1)时,zmax=10×4+20×1=60(万元),即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大,最大利润为60万元.答案:60万元7.(2020·厦门高一检测)回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨;回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约为0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约吨. 【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,由已知条件可得即z=100x+120y.作出不等式组表示的可行域如图所示,y=-x+平移直线可得当直线过点A时,在y轴的截距最大,即z最大.由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.答案:9 0008.(2020·北京高一检测)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:最多可以购买4份一等奖奖品;最多可以购买16份二等奖奖品;购买奖品至少要花费100元;共有20种不同的购买奖品方案,其中正确结论的序号为. 【解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x,y,则根据题意有 作可行域为:解得2x4,6y16,所以最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品, 故正确,购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元,故正确,由可行域知:A,B,C,可行域内的整数点有,共11+6+1=18个.故错误.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·合肥高一检测)雾霾大气严重影响人们的生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品,策划部制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且还要考虑可能出现的亏损,经过市场调查,公司打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%,可能的最大亏损率分别为20%和10%,投资人计划投资金额不超过9万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.4万元.(1)若投资人用x万元投资甲项目,y万元投资乙项目,试写出x,y所满足的条件,并在平面直角坐标系内作出表示x,y范围的图形;(2)根据(1)的规划,投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?【解析】(1)由题意,知x,y满足的条件为不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界).(2)根据第(1)问的规划和题设条件,依题意可知目标函数为z=x+0.6y,在图中,作直线l0:x+0.6y=0,平移直线l0,当经过直线x+y=9与2x+y=14的交点A时,其纵截距最大,解方程x+y=9与2x+y=14,解得x=5,y=4,即A(5,4),此时z=5+0.6×4=7.4(万元),所以当x=5,y=4时,z取得最大值7.4,即投资人用5万元投资甲项目,4万元投资乙项目,才能确保亏损不超过1.4万元,且使可能的利润最大.10.某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂,流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天,在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图).第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万m3;第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3,从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前,有20%可自然净化.环保要求:河流中工业废水的含量应不大于0.2%,因此,这两个工厂都需各自处理部分工业废水,第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m3,第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问:在满足环保要求的条件下,两个化工厂应各自处理多少工业废水,才能使这两个化工厂总的工业废水处理费用最小?【解析】设第一化工厂每天处理工业废水x万m3,需满足:0.2%,0x2;设第二化工厂每天处理工业废水y万m3,需满足:0.2%,0y1.4.两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z=1 000x+800y元.问题即为:约束条件即求目标函数z=200(5x+4y)的最小值.如图,作出可行域.可知当x=1,y=0.8时目标函数有最小值,即第一化工厂每天处理工业废水1万m3,第二化工厂每天处理工业废水0.8万m3,能使这两个化工厂总的工业废水处理费用最小.某人有楼房一幢,室内面积共计180 m2,拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名旅客每天住宿费40 元;小房间每间面积为15 m2,可以住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需要1 000元,装修小房间每间需600元.如果此人只能筹8 000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?【解析】设隔出大房间x间,小房间y间,则即目标函数为z=5×40x+30×50y,作出约束条件可行域,根据目标函数z=200x+150y,作出一组平行线200x+150y=t,当此线经过直线18x+15y=180和直线1 000x+600y=8 000的交点C时,目标函数取最大值为,由于不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是它的最优解,同时经过整点(0,12)也是最优解,即应隔大房间3间,小房间8间,或者隔大房间0间,小房间12间,所获利益最大.如果考虑到不同客人的需要,应隔大房间3间,小房间8间.【补偿训练】(2020·咸阳高一检测)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:现有A种原料 200 吨, B种原料 360 吨,C种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元. 分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.原料肥料ABC甲483乙5510【解析】(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分:(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一条平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24),所以zmax=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.