2014年福建省高一数学竞赛-参考答案.doc

2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】 A 【解答】时，符合要求。时，。由知，。，解得。 的取值范围为。2若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A B C D【答案】 A 【解答】设圆锥底面半径为，母线长为，则，。又。因此，。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径，其体积。3函数的值域为（ ）A B C D【答案】 B 【解答】由，知，。 ，。又，因此，。值域为。4给出下列命题：（1）设，是不同的直线，是一个平面，若，则。（2），是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。（3）在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。（4）在空间四边形中，各边长均为1，若，则的取值范围是。其中正确的命题的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 C 【解答】（1）显然正确。（2）若存在平面，使得，则。但，是未必垂直。故不正确。（3）作于，则为正三角形的中心，是与平面所成角。设，则，。故，（3）正确。（4）取中点，则。由、构成三角形知，。故，（4）正确。5已知是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，则函数在区间上的零点个数为（ ）A6个 B7个 C8个 D9个【答案】 D 【解答】由知，或。 在区间内有唯一零点1。结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。又由知，在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。又由，知，。又。 在区间上的零点个数为9。6已知函数。给出下列四个判断：（1）的值域是； （2）的图像是轴对称图形；（3）的图像是中心对称图形； （4）方程有解。其中正确的判断有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 B 【解答】设，则。（1） ，与轴不相交（即、三点不共线）。 等号不成立，的值域是。（1）不正确。（2）， ，的图像关于直线对称。（或从几何图形上看，当与关于点对称时，）。（2）正确。（3）显然不正确。（若（3）正确，则结合（2）可得为周期函数，矛盾。）（4） ，又， 方程有解（是方程的解）。（4）正确。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知集合，若，则实数的取值范围为 。【答案】 【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。 ，且圆心到直线的距离。 。8如图，在等腰直角三角形中，、分别为、的中点。将沿折起，使得折起后二面角为。则折起后四棱锥的体积为 。【答案】 【解答】由条件知，在四棱锥中，。 是二面角的平面角，且。 ，且。作于，则。由知，为正三角形，。 四棱锥的体积。9已知函数的图像关于点对称，则点的坐标为 。【答案】 【解答】由函数定义域为；值域为。猜测点坐标为。下面给出证明： 。 的图像关于点对称。10中，已知，若，则面积的最大值为 。【答案】 【解答】以中点为坐标原点，直线为轴建立直角坐标系，则，。设。则由，知。整理，得。 点在以为圆心，半径为的圆（除与轴的交点）上运动。 点到直线即轴距离的最大值为。 面积的最大值为。11已知二次函数，若对任意均有成立，则的最大值为 。【答案】 8【解答】，。 ，当且仅当，即时，等号成立。 的最大值为8。12不等式的解集为 。【答案】 【解答】不等式化为 ；或 。由，得，由于函数为增函数，且。所以，不等式的解为。由，得。设，。如图，在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点， ()，其中，。所以，的解为。由、可知，不等式的解集为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13（本题满分16分）求二次函数在区间上的最小值的表达式。【解答】。当时，在区间上的最小值为。 4分当时，。若，即时，在区间上的最小值为。 8分若，即时，在区间上的最小值为。 12分若，即时，在区间上的最小值为。 。 16分14（本题满分16分）已知两个同心圆：和：，圆上一点。过点作圆的两条切线，切点分别为、。（1）若点坐标为，求四边形的面积。（2）当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。【解答】（1）依题意，且，。 。 四边形的面积为。 4分（2）设，则。当点在圆上运动时，恒有。 点、在以为圆心，为半径的圆上。该圆方程为。 8分又点、在圆：上。联立两圆方程，消二次项，得。即。 直线方程为。 12分 原点到直线的距离为定值。 圆恒与直线相切。 存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。 16分注：本题也可以用平面几何方法求解：设与的交点为，则。 8分在中，由，知。 12分 以为圆心，1为半径的圆恒于直线相切。 存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。 16分15. （本题满分16分）如图，在中，为的平分线且与交于点，为中点，、为、上的点，且。求证：。【解答】如图，过点作的平行线交直线于点，于点。则由为中点知，为中点。 4分 平分， 。 ，。结合知，、四点共圆。 8分 。 。 ，。同理，。 12分 ，、四点共圆。 。 16分16（本题满分16分）给出5个互不相同的实数，若这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：这5个数的平方都是有理数。【解答】设为其中的一个数，依题意，其余的4个数为或的形式，其中为有理数。 4分（1）若这4个数中至少有2个为（）的形式，设它们为，（且，）。则由条件知，与中至少有1个成立。当时，成立。当时，成立。 8分（2）若这4个数中最多只有1个为（）的形式，则至少有3个数为（）的形式。设这三个数为，（，互不相同，且，）。下面考虑这三个数的和与积。 若，中至少有两个为有理数。不妨设，为有理数，则。 ，成立。 12分 若，中最多只有1个为有理数，则，中至少有两个为有理数。不妨设，为有理数。则，。两式相减，得，。 ，成立。由、知，此时成立。综上可得，。因此，这5个数的平方都是有理数。 16分17（本题满分14分）（1）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？（2）设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？【解答】（1）构造的下列13个子集：，（中每一个数恰好属于2个子集）。由于从中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。因此，中任意7个元素都不能同时属于集合。即中最多只有6个元素。 4分又中任意两数之差都不等于6或7。集合符合要求。 集合中最多有6个元素。 7分（2）由（1）知，任意连续13个正整数中最多只有6个数满足任意两数之差都不等于6或7。由于，因此，集合中最多只有个数满足任意两数之差都不等于6或7。 11分又显然集合是集合的子集，且集合中任意两数之差都不是6或7。集合中有930个元素。 集合中最多有930个元素。 14分