2020届江苏省徐州市高三上学期第一次质量抽测数学试题(解析版).docx

徐州市 20192020 学年度高三年级第一次质量检测数学113( )n1, x ,L , xs = å x - xn参考公式：样本数据 x的方差2，其å .圆锥的体积 =，Sh2x =xiV12nnnii=1i=1其中 S 是圆锥的底面圆面积，h 是高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. B = x -1< x <1， ，则A = x 0 < x < 2AUB=1.已知集合_.【答案】x -1< x < 2【解析】【分析】利用并集的定义可计算出集合 AUB. Q A = x 0 < x < 2B = x -1< x <1AÈ B = x -1< x < 2 .【详解】，因此，x -1< x < 2 .故答案为：【点睛】本题考查并集的计算，熟悉并集的定义是关键，考查计算能力，属于基础题.z = _.2.已知复数 z满足 z2 = -4，且 z 的虚部小于0 ，则-2i【答案】【解析】【分析】z = a +bi(a,bÎR)设，可知 < 0 ，利用复数的乘法法则可得出关于实数a 、 的方程组，解出即可.b b( )2()( )z = a +bi a,bÎR= a +bi = a -b + 2abi = -4，【详解】设，由题意可知 z222ì - = -4a2b2ìa =0ï2ab = 0b < 02z= - iíïîí则，解得b = -2，因此，.î-2i故答案为：.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的乘法运算和复数相等，解题的关键就是利用复数相等列方程组 求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.若一组数据7 、 x 、6 、8、8的平均数为7 ，则该组数据的方差是_.4【答案】5【解析】【分析】利用平均数求出实数 x 的值，然后利用方差公式可计算出该组数据的方差.7 + x + 6 +8+8= 7= 6，【详解】由平均数公式可得，解得 x7( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 - 7 + 6 -7 + 6 -7 + 8-7 + 8-7222224因此，该组数据的方差为 2s= .554故答案为： .5【点睛】本题考查几个数据的平均数和方差的计算，利用平均数和方差公式计算是关键，考查计算能力，属于基础题.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_.20【答案】【解析】【分析】根据程序伪代码，列举出程序的每一步，即可得出输出结果.=1< 6= + =1 1 2 S = 0+ 2 = 2， ；【详解】当 I时， I当 I，= 2 < 6时， I = 2+1= 3 S = 2+3 = 5； 当 I当 I， ；= 3 < 6时， I = 3+1= 4 S = 5+ 4 = 9，= 4 < 6时， I = 4+1= 5 S = 9+5 =14；= 5 < 6I = 5+1= 6 S =14+ 6 = 20， .当 I时，I = 6 < 6不满足，输出 的值为20S.20故答案为：.【点睛】本题考查利用程序伪代码求输出结果，只需结合程序伪代码列举出程序的每一步，计算即可，考查计算能力，属于基础题.f (x) = log x - 2 的定义域是5.函数2【答案】4, +¥)【解析】log x - 2 ³ 0 x ³ 4 ，故定义域为4, +¥)解：因为236.某学校高三年级有 A、 两个自习教室，甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙B两人不在同一教室上自习的概率为_.1【答案】2【解析】【分析】3利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种，利用分步乘法23计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.3【详解】由题意可知，甲、乙、丙 名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种，23甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A、 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教B室自习，则丙可在 A、 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有2´2=4种选B择.4 1因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 = .8 21故答案为： .2 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.( )1,37.若关于 x 的不等式 x2 - mx+ 3 < 0 的解集是，则实数m 的值为_.【答案】4【解析】【分析】1 3x-+ 3 = 0由题意知，关于 的方程 x mx的两根分别为 和 ，利用韦达定理可求出实数m 的值.21 3的两根分别为 和 ，由韦达定理得m =1+3 = 4.x-+ 3 = 0【详解】由题意知，关于 的方程 x mx24故答案为： .【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.x2- = 的右准线与渐近线的交点在抛物线 yy12 = 2px 上，则实数p8.在平面直角坐标系的值为_.xOy 中，双曲线231【答案】4【解析】【分析】x2- y =1p的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数 的求出双曲线23方程.3x2x2- y =12的半焦距为 ，则双曲线- y =1=的右准线方程为 x【详解】双曲线，渐近线方程为22332æ 33 ö3,±y = ±x ，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为ç÷ .223èø2æö1，解得 p = .4332±= 2p´由题意得ç÷ç÷2èø1故答案为： .4 【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. aa + a = 8 S = -5S，则9.已知等差数列的前n 项和为 S ，的值为_.n29515n【答案】135【解析】【分析】 设等差数列 a 的公差为d ，根据题意列出关于a 和d 的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列1nS15的求和公式可计算出的值.ì + =2a + 9d = 8= -5= 2a aìíîa1d aí291【详解】设等差数列的公差为d ，则，解得，S = 5a +10d = -55nî115´14( )=15a +d =15´ -5 +105´2 =135.因此， S2151故答案为：135 .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，解题的关键就是求出等差数列的首项和公差，考查方程思想的应用与计算能力，属于基础题.= cos 2x=3 sin 2xyAC10.已知函数 y的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是 、 、 ，则DABC的B面积为_.3p【答案】2【解析】【分析】yyD设 A、 、C 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，求出这三个点的坐标，即可计算出 ABCB的面积.yy【详解】设 A、 、C 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，B( ) ( ) ( )3A x , yB x , yC x , y3 sin 2 = cos 2xx ，得 xtan 2 =设点、，令，1122333ppp( )k ( )2x = + kp k ÎZx = +k ÎZ.得，解得612 2 yy由于 A、 、 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，CBæöæö÷øæ13pöp7p13pp37p33Aç ,÷、 Bç ,-,=x =2x =，则 x，可得÷ 、C ç÷，ç÷çç÷12121212 212212 213èøèèø113DABC的面积为p3 =p .因此，= ´ x - x ´ y - y = ´ ´S222DABC13123故答案为：p .2【点睛】本题考查三角函数图象交点坐标的计算，同时也涉及了三角形面积的计算，求出交点坐标是关键，考查计算能力，属于中等题.( ): x + y - 4x -8y +12 = 011.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M22，圆0,mN 与圆 M 外切于点 ，且( )0,-2过点，则圆 N 的标准方程为_.( )+ 2 + y = 8【答案】 x22【解析】【分析】( ) ( )A 0,m B 0,-2、将圆 M 的方程化为标准方程，可求出 m 的值，记点，可知圆心 为直线AM和线段 ABN中垂线的交点，进而可求出点 N 的坐标，计算出BN为圆 的半径，即可得出圆 的标准方程.NN( ) ( )A 0,m B 0,-2、( )2,4( ) ( )-2 + y - 4 = 8M，圆心【详解】记点，圆 M 的标准方程为 x22，= 2将点 A的坐标代入圆M 的方程得 m2 -8m +12 = 0 ，得 m或6 .( )= 6，则点，线段 AB 的中垂线方程为 y=2x + y =，直线AM的方程为6，A0,6若 m由题意可知，圆心 N 在直线上，且在线段的中垂线上，ABAMì =2ìx = 4y( )4,2联立 í，解得 í，则圆心 N 的坐标为，îx + y - 6 = 0îy = 2( )BN = 4 + 2 + 2 = 4 22 2，圆 N 的半径为2， MN，圆 M 的半径为2=2 2- 2 2 = MN此时， BN，则两圆内切，不合乎题意；( )0,2= 2A若 m，则点，线段 AB 的中垂线方程为y = 0，直线 - + 2 = 0AM的方程为 x y ， 由题意可知，圆心 N 在直线上，且在线段 AB 的中垂线上，AMìy = 0xì = -2( )-2,0，联立 íx - y + 2 = 0，解得í = 0îy，则圆心 N 的坐标为î( )= 4 2= -2 + 2 = 2 2 MN2 2，圆 N 的半径为 BN2，圆 M 的半径为2+ 2 2 = MN此时， BN，则两圆外切，合乎题意.( )+ 2 + y = 8.综上所述，圆 N 的标准方程为 x22( )+ 2 + y = 8.故答案为： x22【点睛】本题考查利用两圆外切求圆的标准方程，解题的关键就是确定圆心的位置和半径，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.( )是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线xf x=1对称，当xÎ(0,1时，( )f x= -eax（其12.已知函数()f 2020-ln2 = 8中 e 是自然对数的底数，若，则实数 的值为_.a【答案】3【解析】【分析】( )y = f x() ( ) ( )f2020-ln2 = f -ln2 = - f ln2 = 8，代值计算，即可4的周期为 ，可得出先推导出函数求出实数a 的值.【详解】由于函数( )y = f x( ) ( )-x = - f xf是定义在 R 上的奇函数，则，( ) ( )1- x = f 1+ x又该函数的图象关于直线 x=1对称，则f，( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 2 + x = f é1- 1+ x ù = f -x = - f xf4+ x = - f x + 2 = f x所以，则，ëû( )y = f x4是周期为 的周期函数，所以，函数( )a() ( ) ( )2020 - ln 2 = f -ln 2 = - f ln 2 = e = e= 2 = 8a = 3.，解得所以 fln2ln2aa3故答案为： .【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题. uuur uuurAB AD×uuur uuur= 2AC AE13.如图，在DABC_.，则cosÐADE的最小值为中， D 、 是上的两个三等分点，EBC×4【答案】7【解析】【分析】u uru uuur、DA DEuuur uuur、AB ACuuur、AEuuur uuurAB AD×uuur uuurAC AE×利用基底表示向量，结合等式可得出cosÐADE的表达式，= 2然后利用基本不等式可求出cosÐADE的最小值.uuur uuur uuurBD DE EC= =【详解】由于 D 、 是上的两个三等分点，则，EBCuuur uuur uuur=uuur uuur2DE - DAuuur uuur uuurAB DB DA= -uuur uuuruuur uuur uuurAE DE DA= -由图形可得= -，DE DA AC DC DA-=，( )( ) ( )( )uuur uuur-DE - DA × -DA = 2 2DE - DA × DE - DA，uuuruuur uuur uuur uuuru uur uuru uuru u uurQ AB × AD = 2AC × AE，即uuur uuuruuuruuuruuur uuur uuurDA DE DA× =uuur+ 4DE2 ，即7 DA × DE cosÐADE = DA2+ 4 DE，2整理得72uuuruuuruuuruuur24222×´4DE2DA + DEuuur uuurDAuuur uuur7 DA × DE4由基本不等式得cosÐADE=³= ，77 DA × DEuuuruuurDA = 2 DE当且仅当时，等号成立，4因此，cosÐADE的最小值为 .74故答案为： .7【点睛】本题考查由平面向量数量积的运算求最值，解题的关键就是找出合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.( )( )f x£ M f x = x - ax -b3Î -1,1 ，其中a 、bÎR.若14.设函数，x恒成立，则当取得最小值时，Ma+b的值为_. 34【答案】【解析】【分析】( )( )0,-bg x = x -ax-b³构造函数3，可知该函数关于点对称，然后分 £ 、a 3、0 < a < 3三种情况讨a 0( )y = g x( ) ( ) -f x = g x在区间 1,1 上最值的可能取值，-在区间 1,1 上的单调性，得出函数论，分析函数利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时a+b的值.( )( ) ( )f x= g xg x = x -ax-b【详解】构造函数3，则，() ()( ) ( )g x + g -x = x - ax -b + -x + ax -b = -2b由于，33( )y = g x( )0,-b( )¢ =g x 3x2 a-所以，函数的图象关于点对称，且.( )¢ ³g x 0( )= y g x -在区间 1,1 上单调递增，当 £ 时，a 0，函数( )ì ³= - -ïM f 1 1 a b则 í，( )ïM ³ f -1 = -1+ a -bî(1) ()1- a -b + -1+ a -b- a -b - -1+ a -b所以 ³³1 a 1 a 1= - = - ³ ，M22= 0 - £ £此时，当a， 1 b 1时， M 取最小值 ；1( )¢ £g x 0( ) -当 a³ 3时，对任意的 xÎ -1,1 ，函数y g x在区间 1,1 上单调递减，=( )ì ³= - -ïM f 1 1 a b则 í，( )ïM ³ f -1 = -1+ a -bî(1) ()1- a -b + -1+ a -b- a -b - -1+ a -b所以 ³³1 a a 1 2= - = - ³ ，M22= 3 -2b2，此时，当a时， M 取最小值 ；2( )¢ =g x 0aa ( )Î0,1 ，列表如下：3= ±=当0 < a < 3时，令，得 x，令t3( )-t,t(t,11, t- - )-txt ( )¢g x+00( )g xZ极大值极小值Z( )ì ³M f 1 1 a b= - -ï( )³ f t = -2t -bïMï3( )g 0 = -b ³ 0£，则b 0 ，则í不妨设，( )³ f -t = 2t -bïMï3( )³ f -1 = -1+ a -bïMî( ) ( ) ( ) ( )M ³ max f 1 , f t , f -t , f -1，( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )g -t ³ g t = f tQ g -t + g t = 2g 0 ³ 0g t < g -t，且，若，( ) ( ) ( )Q g -1 + g 1 = 2g 0 ³ 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )g-1 ³ g 1 = f 1g -1 ³ g 1，则，( ) ( ) ( )( ) ( )g -t > g -1，g -1 < g 1g 1 > 0若，则，但( )( ) ( )()( )( )Q g -t - g 1 = 2t -b - 1- a -b = 2t + a -1= 2t +3t -1= 2t -1 t +1 2 ，3332ìï( )12g 1 ,0 < t £ï( ) ( )max g -t , g 1 = í所以，.( ) 1ïg -t , < t <1ïî212( )14< t £M ³ g 1 =1- a -b =1-3t -b ³1-3t ³当 0时，22a 1341当且仅当b= 0，t=3 2时，即当a=，b = 0时， M 取得最小值 ;4( )1当M³ g -t = 2t -b ³ 2t > 2< t <1时，33.2313=a + b =，b 0时， M 取得最小值 ，此时综上所述，当a.4443故答案为： .4【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤., N,P- ABC 中，PA AB=， M分别为棱 PB PC 的中点，平面PAB平面 PBC .15.如图，在三棱锥求证：（1） BC 平面 AMN ；PBC（2）平面 AMN 平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】PBC.（1）证得 MNBC，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得 AM 平面由面面垂直的判定定理证明即可M , NPB, PC【详解】（1）分别为棱的中点，MNBC平面 AMN .为棱 的中点，Ë又 BC 平面 AMN ，BC（2） PA= AB，点MPB PB AM，又平面 PAB 平面PBCÇ，平面 PAB 平面， AM 平面PBCPBC PB=.PBCÌ AM 平面，平面AMN平面.AMN【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题5DABCbcosA中，角 A、 、C 的对边分别为a 、 、c ，且=.16.在B5= 5，c =2 5 ，求b 的值；（1）若apB =tan 2C（2）若，求的值.434= 5tan 2C= -【答案】（1）b；（2）. 【解析】【分析】> 0（1）利用余弦定理得出关于b 的二次方程，结合b，可求出b 的值；( )（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出cosC = -cos A+ B的值，利用同角三角函数的基本关tanC 的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan 2C 的值.系求出DABC+ c - 2bccosA = a得，【详解】（1）在中，由余弦定理b2225b2 + 20 - 2´ 2 5 ´= 25 ，即 2-bb4b-5 = 0，5= 5 b = -1（舍），所以b = 5或解得b；552 50 < A <（2）由cos A =及p得，sin，A = 1- cosA = -1 ( )=22555p210所以cos = cos(p - ( + ) = -cos( + ) = -(cos - sin ) =，CA BAAA4210103 1010又因为0 < C <，p ，所以sin = 1- cosC2C= 1- () =2103 101010102tan C2´33sinCcosC从而 tan = 3 ，所以tan 2C = - .C1- tan C 1- 3422【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.3l 517.如图，在圆锥SO中，底面半径 为 ，母线长 为 .用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆R心为O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO ，记圆锥OO111体积为 .V （1）将V 表示成 r 的函数；（2）求V 的最大值.416(r)= (3r - r ) 0 < r < 3【答案】（1）V，；（2）.2399【解析】分析】43SNO : SAO= 4 -（1）求出SO ，利用，求出SO ，可得出OOr ，然后利用圆锥的体积公式可得出111V 关于 r 的函数表达式，结合实际情况求出该函数的定义域；4(r)= (3r - r )V（2）对函数V求导，求出该函数的极大值，利用极值与最值的关系可得出 的最大值.239【详解】（1）在DSAO中，SO = SA=4 ，- AO=5 3-2222SO r143SNO : SAO=SO R=由可知，所以 SOr ，114144= 4 - rV(r) = r (4 - r) = (3r - r ) 0 < < 3所以OO，所以，；223r333914(r) = (3r - r ) 0 < < 3（2）由（1）得V，23r94¢( ) = (6 -3 )¢( ) = 02，得 r = ，所以V rr r ，令 V r29Î(0,2)¢( ) > 0 ，所以V (r)时，V r(0, 2)当 r当 r在上单调递增；Î(2,3)¢( ) < 0 ，所以V (r)时，V r(2,3)上单调递减.162( ) V(2) =所以当 r = 时，V r 取得最大值.9答：小圆锥的体积V 的最大值为16.9【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是求出函数的解 析式，考查计算能力，属于中等题.xy22: + =1(a > b > 0)18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C的右顶点为 A，过点 A作直线l 与圆a2b2O : x + y = b 相切，与椭圆C 交于另一点 ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .222P（1）用k 表示椭圆C 的离心率；uuur uuur×OQ = 0（2）若OP，求椭圆C 的离心率.1；（2） .21【答案】（1） =ek2 +1【解析】【分析】- y - ak = 0（1）由题意可得出直线 l 的方程为 kx，利用该直线与圆 相切，得出圆心到直线 l 的距离等Ob2=，由此可计算出e 关于k 的关系式；于半径可得出k2a2-b2( )2c c > 0（2）设椭圆C 的焦距为，将直线l 的方程与椭圆C 的右准线方程联立，可求出点Q 的坐标，将uuur uuur×OQ = 0直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，可求出点 的坐标，再由OP，结合（1）中的结论，可得出P关于 a 、c 的齐次等式，从而求出椭圆C 的离心率.y = k(x - a)kx - y - ak = 0，【详解】（1）直线l 的方程为，即-akb2= b：x + y = b=因为直线l 与圆O2 相切，所以，故 k.222+1-b2k2a2b2a21所以椭圆C 的离心率 = 1-；e=k2 +1 a2c=（2）设椭圆C 的焦距为 2 ，则右准线方程为 x，cì =(x - a)y kï-( - )k a aca2a2aca22= k( - a) = kQ( ,，所以)，由 í得 ya2x =ccccïîcìx2y22ï +=1(b + a k )x - 2a k x + a k - a b = 0由 í a b得，22222324222ïy = k(x - a)îa3k2- ab2y = k(a3k2- ab2-2abk2=- a) =解得 x，则，b + a k2b + a k2b + a kp22p22222a k - ab -2ab k3222（所以 P，b)，b2+ a2k22+ a2k2uuur uuur×OQ = 0因为OP-( - ) -2k aa2a3k2ab22acab+ a2k×c b+×=0，所以，+ akcbk222222(a k - b ) = 2b k (a - c)即 a22222，b2a2b22b (a - c)4=a(-b ) =由（1）知，k，所以，22a2-b2a2-b2a2-b2c 11= 2a -2c= 2，即 a c ，所以=所以 a，故椭圆C 的离心率为 .a 22【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，同时也考查了椭圆中向量的数量积的计算，解题的关键就是结合题a bc意得出关于 、 、 的齐次等式，考查计算能力，属于难题.1æçèöf (x) = a - ln x(a Î R )19.已知函数÷.x ø= f (x)(1, (1)x y+ -1= 0，求a 的值；（1）若曲线 y在点f处的切线方程为(x)( )的导函数 f x 存在两个不相等的零点，求实数 的取值范围；a（2）若 f（3）当a¢( )f x= 2时，是否存在整数l ，使得关于x 的不等式³ l恒成立？若存在，求出 的最大值；若l不存在，说明理由.( )-e ,0；（3）存在，最大值为 .= 0-1【答案】（1） a；（2）-2【解析】 【分析】( )y = f x( )¢f x( )f¢ 1 = -1从而可求出实数a 的值；（1）求出函数的导数，由题意得出-1+ ln x( )( )( ) ax¢= 0g x = ax-1+ ln x 0,+³ 0和¥（2）令 f x，可得知函数在上有两个零点，分ax2( ) ( )y = g x0,+¥a < 0 两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数( )y = g x极值相关的不等式，解出即可得出实数a 的取值范围；1( )=y f xæö( )f x= 2代入函数的解析式得出= 2 - lnx，对该函数求导得出（3）将aç÷èx ø2x -1+ ln x( )( )y