2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷-(含答案解析).docx

2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）1. 已知集合 =< < 5， =< < 7，则 = ( )A.B.C.D.< < 3< < 5< < 7< < 72. 函数 = lg(4 2 )的定义域是( )A.B.C.D.(2,4)(2, +) 0,(0,2)(, 2)+23. 已知函数= 若 ) >，则 的取值范围是( )2a , < 0.2A.B.(1,2)C.D.(2,1)4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )B.C.D.D.A.=+ 1= 3=2 + 1= 25.=+ 2在 1 , 3上的最小值与最大值分别为( )22A. 34B.1C.13434，2 ，2 ，3446. 设函数是定义在 上的奇函数，当 (0,2)时，= 2 1，则的值为( )RD.D.A.B.C. 1212127. 若0 < < < 1，则下列选项中正确的是( )B.C.A.2 < log 2log > loglog1212(1) > (1)>22228. 设 = 2 ， = log 2， = log 2，则( )0.50.54A.9. 函数A.B.C.D.D.D.D.< << << << <的单调减区间为( )B.C.(0,1(0,2)(1,2)0,2的图象过点(4, ，那么 1 )的值为( )1)210. 幂函数16B.C.1A. 122411. 设函数= log ，若+ 1) < 2，则 的取值范围为( )a2A.B.C.(1,3)(, 3)(, 1)(1,1)12. 下列函数中是奇函数且有零点的是( )A.B.D.= += 1 +C.=+)第 1 页，共 14 页 log3 ,> 013. 已知函数 ( ) =取值范围是( )，且函数( ) = ( ) + 有且只有一个零点，则实数 的2a 0A.B.C.D.(, 11,+ )(1,+ )(, 1)14. 要使关于 的方程 + 2 = 0的一根比 1 大且另一根比 1 小，则实数 的取值范x22a围是( )A.C.B.D. 1 < < 2< 2 2 < < 1> 1 1+15. 已知函数=，若存在实数 ，使得关于 的方程b x= 有三个不> 12同的根，则 的取值范围是( )mA.B.D.(, 0)(, 0) (1, +)RC.(1, +)二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）16. 已知集合 = 1, 2，4， = 4，7，若 = 1,4 ，则 =_+ 1) = 1 ，则 =_17. 已知函数18. 已知函数满足+ , 0,2=若+ 0，则实数 的取值范围是_a , < 0.219. 设 > 0， 1，函数_有最大值，则不等式log2+ 7) > 0的解集为=220. 若规定 =, 10的子集, ,为 的第 个子集，其中 = 2+ 2+21Ek1112122+ + 2 1.则31, 是 的第_ 个子集；E13的第 211 个子集是_ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 40.0 分）21. (1)已知 = ， = ，求112 的值；23212) 123223(2)计算2+ lg 5 +的值2322. 计算：(1)已知log 3 = ，3 = 7，试用 ， 表示log 56；a b212第 2 页，共 14 页 + 2+2323. 设函数(1)求= 31，函数=+2在0,1上的值域；(2)若对于任意 0,1，总存在 0,1，使得2) =)成立，求 的取值范围a12124. 已知集合 =+19 = 0， =+ 6 = 0， = 2, 4 ，若 ，222 = ，求实数 的值m25. 已知函数(1)求证：(2)若，当 ， 时，恒有x+=+= 0；= ，试用 表示a；1(3)如果 +时，< 0，且=，试求在区间2,6 上的最大值和最小值2第 3 页，共 14 页 第 4 页，共 14 页 - 答案与解析 -1.答案：B解析：解： =< < 5， =< < 7， =< < 5故选B由A 与B 求出两集合的交集即可此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.答案：D解析：解：由函数 = lg(4 2 )，得到4 2 > 0，即2 < 4 = 22，解得： < 2，则函数的定义域是(, 2)，故选：D根据负数和0 没有对数，求出函数的定义域即可此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题解决此题的关键是根据 的解析式得到 在 上为增函数，进而建立关于a 的不等式求解【解答】+= ( + 2) 4, 022解：= ,= ( 2) + 4, < 022由 的解析式可知 在(, +)上是单调增函数，由 2) > 得2 2 > ，即 2 + 2 < 0，解得2 < < 1故选C4.答案：B解析：第5 页，共14 页 【分析】本题考查函数单调性和奇偶性，根据偶函数以及增函数的定义即可得结果【解答】解：选项 A 中函数不是偶函数，故错误；对于 B 中函数在(0, +)上是增函数，且为偶函数，故正确；对于 C 中函数在(0, +)上不是增函数，故错误；对于 D 中函数在(0, +)上不是增函数，故错误故选 B5.答案：B解析：解： = 2+ 2 = 3) 12 ；24 = 3 1时，原函数取到最小值 ；24= 3时，原函数取到最大值 2故选 B对原函数进行配方即可得到它的最小值，最大值考查二次函数的最值，以及配方法求二次函数的最值6.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，本题解题的关键是利用函数的对称性，本题是一个基础题由题意可得：【解答】=，又因为当 (0,2)时，是 R 上的奇函数，= 2 1，= 2 1，进而得到答案解：由题意可得：函数所以又因为当 (0,2)时，=，所以= (21 1) = 1.故选 A.7.答案：D解析：【分析】利用指数函数与对数函数的单调性对 A，B，C，D 判断即可得答案，属于基础题【解答】第 6 页，共 14 页 1 >log21 , log 2 > log 2，故 A 错误;解：0 < < < 1，log2= log 为增函数，log < log ，故 B 错误；22212为增函数，0 < < < 1，1212，故 C 错误;=<= (1) 为减函数，0 < < < 1，( ) > ( ) ，故 D 正确11222故选 D8.答案：C解析：【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解： = 20.5 > 1， = log 2 < 0， = log 2 (0,1)，0.54 < < 故选：C9.答案：A解析： 【分析】本题考查了求复合函数的单调区间，按照“同增异减”的方法求单调区间，属于容易题【解答】解：令 = 2 > 0，求得0 < < 2，= log可得函数的定义域为< < 2，且，13本题即求函数 t 在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的增区间为(0,1故选 A10.答案：D1)，2解析：解：幂函数的图象过点(4,1 = 42= 1则，解得，幂函数为：= 1，2211 ) = (1 ) = 421616故选：D求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可第 7 页，共 14 页 本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法是基础题11.答案：A解析：【分析】本题考查了对数函数的性质与对数不等式，属于基础题由题意将不等式化为log2 + 1) < log 4，求出a 的取值范围即可2【解答】解：由题意知，log2 + 1) < 2，即log2 + 1) < log 4，2 0 < + 1 < 4，解得1 < < 3， 的取值范围是(1,3)故选 A12.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及函数的零点，可依次判断，是容易题【解答】解：对于选项 A：对于选项 B：= + 不是奇函数，与题意不相符，= 1 + 为奇函数，没有零点，与题意不符，对于选项 C：= +1为奇函数，是连续函数，时， < 0， 时， > 0，函数存在零点，符合题意，对于选项 D：是偶函数，与题意不符，故选：C13.答案：Blog3 ,> 0 0的图像，如图所示，根据题意函数( ) = ( ) + 解析：由已知，画出函数 ( ) =2有且只有一个零点，就是 = ( )的图象与 = 的图象有且只有一个交点，如图：显然当 > 1第 8 页，共 14 页 时，两个函数有且只有一个交点，故选14.答案：B解析：【分析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题由题，需满足 = 1时， < 0，求解即可【解答】解：由题意，设 = 2 + 2 的一根比 1 大且另一根比 1 小，+ 2，要使得关于x 的方程 +2+ 2 = 02则根据二次函数的图象与性质，知需满足 = 1时， < 0，即 2 + 2 < 0，即 + 2) < 0，解得2 < < 1故选 B15.答案：D解析：【分析】本题考查根的存在性及个数的判断，考查数形结合思想，注意解题方法的积累，属于中档题通过作图可知，“关于 x 的方程= 有三个不同的根”等价于“ =的图象和直线 = 有三个不同的交点”，记= 2 +> 1)，分 1、 > 1两种情况讨论即可【解答】第 9 页，共 14 页 1解：函数=> 1,+2当 1时，函数当 > 1时，函数的图象可以画出，的图象是开口向上、对称轴为 = 的抛物线的一部分，从图象上看，“关于 的方程x= 有三个不同的根”等价于“ =的图象和直线 = 有三个不同的交点”，记= 2 +> 1)，则：在(1, +)上单调递增，< 1，解得： < 0；(1)当 1时，< 1，即1 +(2)当 > 1时，此时显然满足题意；综上所述， < 0或 > 1，故选 D16.答案：1, 2，4，7解析：【分析】本题考查交集及其运算，并集及其运算，属于基础题先由 = 1,4 求出 = 1，再由并集的运算法则可得 【解答】解：集合 = 1, 2，4， = = 1， = 1, 4，7， = 1, 2，4，74，7， = 1,4 ，故答案为1, 2，4，717.答案：2 第 10 页，共 14 页 解析：【分析】本题考查函数解析式的求法，属于基础题采用换元的方法求函数的解析式【解答】解：设 + 1 = ，则 =，2所以 ( ) = 1 2 ×= 2，2所以= 2故答案为218.答案：(, 2解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，属于基础题利用奇函数的定义得函数 是奇函数，再利用二次函数的单调性得函数在(, +)上单调递增，最后利用函数的单调性解不等式得结论.【解答】解：对于任意 > 0，则< 0，而 ( ) = + 2，( ) = ( ) ( ) = ( + ) ，22所以 ( ) =( )，是奇函数，因此函数且在(, +)上单调递增，于是由=2)，得 2，解得 2 故答案为(, 2 19.答案：(2,3)2解析：解：设 > 0， 1，函数又 + 3) 有最大值，=，2 0 < < 1，则不等式log+ 7) > 0的解为2+ 7 > 0+ 7 < 12，2解得2 < < 3，所以不等式的解集为(2,3)第 11 页，共 14 页 故答案为：(2,3)函数不等式的解集有最大值，由于23) ，可得a 的范围，然后解不等式，可求=2本题考查指数函数，对数函数的性质，以及一元二次不等式组的解法是简单的中档题20.答案：5； , , , , 12578解析：解：, =, 化成二进制101(0为不出现，1 为出现)，1331这里 出现， 不出现， 出现，所以是 101；321二进制的 101 等于十进制 5，故第一个空填 5；故答案为：5(2)十进制 211 等于二进制 11010011，即对应集合 , , , , ，87521又由 , , , , =, , , , 8752112578故第二空填 , , , , .12578故答案为： , , , , .12578(1)由 = 222 2 受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出1112131来，0 为不出现，1 为出现，进而可得答案；(2)十进制 211 等于二进制 11010011，将其对应的集合写出即可本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证21.答案：解：32122) 221332231232231= =)2 22 2243834) =2 2 = 1 , = 1，232原式= ( 1 )83( 1 ) = (2321)8(213) = 2 = 1；440232(2) 2lg 523=lg 52=lg 52= 2= 2= 3解析：(1)先利用有理指数幂的运算性质化简，然后代入 ， 的值计算；a b(2)直接利用对数的运算性质化简求值第 12 页，共 14 页 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，关键是对运算性质的记忆，是基础题22.答案：解：(1)由3 = 7得 = log 7，3由log 3 = 得，211+ 3 ×1 + 2 ×2+ 3+ 2=+=;(2)原式= 3+· (1 += lg(25 × 4) += 2 +·+解析：本题主要考查了对数的运算法则与换底公式的应用，考查了计算能力，属于基础题(1)利用对数的运算法则及换底公式即可得出(2)利用对数的运算法则即可得出23.答案：解：(1) 在0,1上单调递减，= 0，= 2，在0,1上的值域0,2 . (4分)在0,1上的值域0,2，函数在0,1上的值域 ，则0,2 D= 0，= ，值域0,5，符合条件； (6分)> 0，对称轴 = < 0，函数5在0,1上单调递增，= 5 由5 2， 3， 0 < 3 . (8分)< 0，对称轴 = > 05当0 < < 1即 < 时，最小值在 = 0或 = 1处取，不合题意552当 1即 < 0时，函数55在0,1上单调递增，不合题意. (12分)2综上， 0,3 (13分)解析：(1)利用在0,1上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意 0,1，总存在 0,1，使得2) =1)成立转化为两个函数值域的关系 ，12列出不等式求出 的范围a第 13 页，共 14 页 本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想24.答案：解：由 中方程变形得： 3) = 0，B解得： = 2或 = 3，即 = 2,3， =+ 19 = 0， = 2, 4，且 ， = ，22将 = 3代入集合 中方程得：2 10 = 0，即+ 2) = 0，A解得： = 5或 = 2，当 = 5时， =2 2 + 6 = 0 = 2,3，此时 = 2，不合题意，舍去； 15 = 0 = 3, 5，满足题意，当 = 2时， =则 的值为2m解析：由 ， ， ，以及 ， = ，确定出 的值即可A B C m此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键25.答案：解：(1)令 = = 0得 = 0，再令 =得=，+= 0(2)由=，=+ 3 + +3) =(3)设 < ，则 2) =+ ) =1) + )1212121又> 0，21 ) < 0，211) + ) <1)，212) <1)在 上是减函数，R= 1，= 6 × (1) = 32解析：(1)令 = = 0得(2)由(1)知得 ，再由(3)要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明设 < ，则，再令 =得=变形=+ 3 + +3) =求解2) =12+ ) =1) + )在 上是减函数，得到结论R12121本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性第 14 页，共 14 页本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，关键是对运算性质的记忆，是基础题22.答案：解：(1)由3 = 7得 = log 7，3由log 3 = 得，211+ 3 ×1 + 2 ×2+ 3+ 2=+=;(2)原式= 3+· (1 += lg(25 × 4) += 2 +·+解析：本题主要考查了对数的运算法则与换底公式的应用，考查了计算能力，属于基础题(1)利用对数的运算法则及换底公式即可得出(2)利用对数的运算法则即可得出23.答案：解：(1) 在0,1上单调递减，= 0，= 2，在0,1上的值域0,2 . (4分)在0,1上的值域0,2，函数在0,1上的值域 ，则0,2 D= 0，= ，值域0,5，符合条件； (6分)> 0，对称轴 = < 0，函数5在0,1上单调递增，= 5 由5 2， 3， 0 < 3 . (8分)< 0，对称轴 = > 05当0 < < 1即 < 时，最小值在 = 0或 = 1处取，不合题意552当 1即 < 0时，函数55在0,1上单调递增，不合题意. (12分)2综上， 0,3 (13分)解析：(1)利用在0,1上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意 0,1，总存在 0,1，使得2) =1)成立转化为两个函数值域的关系 ，12列出不等式求出 的范围a第 13 页，共 14 页 本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想24.答案：解：由 中方程变形得： 3) = 0，B解得： = 2或 = 3，即 = 2,3， =+ 19 = 0， = 2, 4，且 ， = ，22将 = 3代入集合 中方程得：2 10 = 0，即+ 2) = 0，A解得： = 5或 = 2，当 = 5时， =2 2 + 6 = 0 = 2,3，此时 = 2，不合题意，舍去； 15 = 0 = 3, 5，满足题意，当 = 2时， =则 的值为2m解析：由 ， ， ，以及 ， = ，确定出 的值即可A B C m此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键25.答案：解：(1)令 = = 0得 = 0，再令 =得=，+= 0(2)由=，=+ 3 + +3) =(3)设 < ，则 2) =+ ) =1) + )1212121又> 0，21 ) < 0，211) + ) <1)，212) <1)在 上是减函数，R= 1，= 6 × (1) = 32解析：(1)令 = = 0得(2)由(1)知得 ，再由(3)要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明设 < ，则，再令 =得=变形=+ 3 + +3) =求解2) =12+ ) =1) + )在 上是减函数，得到结论R12121本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性第 14 页，共 14 页