2020届江苏省徐州市高三上学期第一次质量抽测数学试题(教师版).docx

徐州市 20192020 学年度高三年级第一次质量检测数学1 ( )13n1 ån .圆锥的体积 =参考公式：样本数据 x x, , ,x 的方差 s2n= å x - x ，其，2=VShxxnn12iii=1i=1Sh其中 是圆锥的底面圆面积， 是高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. A = x 0 < x < 2B = x -1< x <1A B=1.已知集合，则_.【答案】x -1< x < 2【解析】【分析】利用并集的定义可计算出集合 A B. B = x -1< x <1A = x 0 < x < 2AÈ B = x -1< x < 2【详解】，因此，.故答案为：x -1< x < 2.【点睛】本题考查并集的计算，熟悉并集的定义是关键，考查计算能力，属于基础题.z =2.已知复数 z 满足 = - ，且 的虚部小于 ，则z2_.4z0-2i【答案】【解析】【分析】z = a +bi(a,bÎR)，可知 < ，利用复数的乘法法则可得出关于实数a 、 的方程组，解出即可.设b 0b( )()( )z = a +bi a,bÎRz= a + bi = a -b + 2abi = -42【详解】设，由题意可知2，22ì - = -a b422ìa =0ï= 0z 2i .= -í2abí则，解得b = -2，因此，îïb < 0î-2i故答案为：.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的乘法运算和复数相等，解题的关键就是利用复数相等列方程组求解，考查运算求解能力，属于基础题. x3.若一组数据 、 、 、8、8的平均数为 ，则该组数据的方差是_.76745【答案】【解析】【分析】x利用平均数求出实数 的值，然后利用方差公式可计算出该组数据的方差.7 + x + 6 +8+8= 7=，解得 x 6 ，【详解】由平均数公式可得7( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 - 7+ 6 -7+ 6 -7+ 8-7+ 8-7222224因此，该组数据的方差为 2s= .554故答案为： .5【点睛】本题考查几个数据的平均数和方差的计算，利用平均数和方差公式计算是关键，考查计算能力，属于基础题.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_.【答案】20【解析】【分析】根据程序伪代码，列举出程序的每一步，即可得出输出结果.=1< 6S = 0+ 2 = 2；【详解】当 I时， I=1+1= 2，当 I当 I当 I当 I，= 2 < 6时， I = 2+1= 3 S = 2+3 = 5；，= 3 < 6时， I = 3+1= 4 S = 5+ 4 = 9；，= 4 < 6时， I = 4+1= 5 S = 9+5 =14；= 5 < 6I = 5+1= 6 S =14+ 6 = 20， .时， I = 6 < 6不满足，输出 的值为20.S故答案为：20.【点睛】本题考查利用程序伪代码求输出结果，只需结合程序伪代码列举出程序的每一步，计算即可，考查计算能力，属于基础题.= log x - 25.函数 f (x)的定义域是2+¥)【答案】4,【解析】log x - 2 ³ 0 x ³ 4 ，故定义域为4,+¥)解：因为26.某学校高三年级有 A、 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、B乙两人不在同一教室上自习的概率为_.1【答案】2【解析】【分析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙 3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种，利用分步乘法23计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有 种，23甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A、 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教B室自习，则丙可在 A、 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有2´2=4种选B择.4 1因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 = .8 21故答案为： .2【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.( )1,37.若关于 x 的不等式 x - mx + 3 < 0 的解集是，则实数m 的值为_.2【答案】【解析】4 【分析】由题意知，关于 的方程 x mx 3 0 的两根分别为1和3，利用韦达定理可求出实数m 的值.x-+ =2【详解】由题意知，关于 的方程 x mx + 3 = 0 的两根分别为1和3，由韦达定理得m 1 3 4.x-= + =2故答案为： .4【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.x28.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线- y =1=的右准线与渐近线的交点在抛物线 y 2 px 上，则实数p223的值为_.1【答案】4【解析】【分析】x2- y =1p的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数 的求出双曲线23方程.x2x232- y =1- y =1=的右准线方程为 x【详解】双曲线的半焦距为 ，则双曲线2，渐近线方程为2233æö333，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为ç ,±÷.y= ±x223èøæö23321，解得 p = .4±= 2p´由题意得ç÷ç÷2èø1故答案为： .4【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. aa + a = 8 S = -5S，则 的值为_.159.已知等差数列的前n 项和为 S ，n29n5【答案】135【解析】【分析】 a设等差数列的公差为d ，根据题意列出关于a 和d 的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列1n 的求和公式可计算出S 的值.15ì + = 2 + 9 = 8a aì = -a 5a1d 【详解】设等差数列 a 的公差为 ，则 í，解得í 1，29dS= 5a +10d = -5=d 2nîî5115´14( )d =15´ -5 +105´2 =135.=15a +因此， S2151故答案为：135.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，解题的关键就是求出等差数列的首项和公差，考查方程思想的应用与计算能力，属于基础题.DABC的= 3 sin 2xy= cos 2x的图象相邻的三个交点分别是 、 、C ，则BA10.已知函数 y的图象与函数面积为_.3p【答案】2【解析】【分析】yyD设 A、 、C 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，求出这三个点的坐标，即可计算出 ABCB的面积.yy【详解】设 A、 、C 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，B( ) ( ) ( )3A x , yB x , yC x , y，令 3 sin 2x = cos 2x ，得 tan 2x =设点、，1122333ppp( )k ( )p= + k k ÎZx = +，解得k ÎZ .得 2x612 2yy由于 A、 、C 是两个函数图象在 轴右边且靠近 轴的三个交点，Bæöæö÷øæ13pöp7p13pp37p33x =1， x =， x =÷、 Bç ,-÷ 、C ç,12 2÷，则，可得 Aç ,ç÷çç÷12121212 212223èøèèø113DABC的面积为 Spp.= ´ x - x ´ y - y = ´ ´ 3 =因此，DABC21312223故答案为：p .2【点睛】本题考查三角函数图象交点坐标的计算，同时也涉及了三角形面积的计算，求出交点坐标是关键，考查计算能力，属于中等题. ( )0,m，且+ y - 4x -8y +12 = 011.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M : x2，圆 N 与圆 M 外切于点2( )0,-2过点，则圆 N 的标准方程为_.( )+ 2 + y = 8【答案】 x22【解析】【分析】( ) ( )A 0,m B 0,-2、将圆 M 的方程化为标准方程，可求出 m 的值，记点，可知圆心 为直线AM和线段 ABN中垂线的交点，进而可求出点 N 的坐标，计算出BN为圆 的半径，即可得出圆 N 的标准方程.N( ) ( )A 0,m B 0,-2、( )M 2,48，圆心 ，( ) ( )-y 4+ -=【详解】记点，圆 M 的标准方程为 x 222将点 A的坐标代入圆M 的方程得 m -8m +12 = 0 ，得 m2= 2或 .6( )= 6，则点 A 0,6，线段 AB 的中垂线方程为 y 2 ，直线=+ =AM的方程为 x y 6，若 m由题意可知，圆心 N 在直线AM上，且在线段 AB 的中垂线上，ì = 2ì = 4xy( )联立 í，解得 í，则圆心 N 的坐标为 4,2 ，+ y - 6 = 0îy = 2îx( )圆 N 的半径为 BN= 4 + 2 + 2 = 4 2 MN，圆 M 的半径为2 2，22= 2 2- 2 2 = MN此时， BN，则两圆内切，不合乎题意；( )A 0,2= 0- + = 2yAM的方程为 x y 2 0 ，直线若 m，则点，线段 AB 的中垂线方程为由题意可知，圆心 N 在直线AM上，且在线段 AB 的中垂线上，ì = 0ì = -2xy( )-2,0，联立 í，解得í，则圆心 N 的坐标为îx - y + 2 = 0= 0îy( )= 4 2= -2 + 2 = 2 2 MN，圆 N 的半径为 BN，圆 M 的半径为，2 222+ 2 2 = MN此时， BN，则两圆外切，合乎题意.( )+ 2 + y = 8综上所述，圆 N 的标准方程为 x.22( )+ 2 + y = 8.故答案为： x22【点睛】本题考查利用两圆外切求圆的标准方程，解题的关键就是确定圆心的位置和半径，考查分析问题 和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数( )是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线xf x(x 0,1( )f x= -eax=1对称，当Î时，（其()f 2020-ln2 = 8中 e 是自然对数的底数，若，则实数a 的值为_.【答案】3【解析】【分析】( )y = f x() ( ) ( )f 2020-ln 2 = f -ln2 = - f ln2 = 8，代值计算，即可先推导出函数的周期为4 ，可得出求出实数a 的值.【详解】由于函数( )y = f x( ) ( )-x = - f xf是定义在 R 上的奇函数，则，( ) ( )=1对称，则- =f 1 x f 1 x+，又该函数的图象关于直线 x( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 4+ x = - f x + 2 = f xf 2 + x = f é1- 1+ x ù = f -x = - f x所以，则，ëû( )y = f x所以，函数是周期为 的周期函数，4( )a(所以 f 2020) ( ) ( )- ln 2 = f -ln 2 = - f ln 2 = e = ealn2= 2 = 8，解得a = 3.ln2a故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13.如图，在DABC中， 、 E 是D上的两个三等分点，则cosÐADE的最小值为BCAB AD 2AC AE=××_.4【答案】7【解析】【分析】 利用基底、DA DE表示向量、AC、，结合等式AB× AD = 2AC × AE可得出cosÐADE的表达式，ABAE然后利用基本不等式可求出cosÐADE的最小值.【详解】由于 、 是 BC 上的两个三等分点，则BD DE EC=，DE由图形可得AB DB DA=-= -，=-=-，DE DA AC DC DA 2DE DA AE DE DA=-，( )( ) ( )( )u uur uuru uuru u uurQ AB × AD = 2AC × AE-DE - DA × -DA = 2 2DE - DA × DE - DA，即，× DE cosÐADE = DA2+ 4 DE2整理得7DA DE DA×=+，即7 DA，24DE2DA + 4 DE222×´4 DE24由基本不等式得cos ADEÐ=³= ，7 DA × DE7 DA × DE7DA = 2 DE当且仅当时，等号成立，4的最小值为 .因此，cosÐADE74故答案为： .7【点睛】本题考查由平面向量数量积的运算求最值，解题的关键就是找出合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.( )( )f x£ M Î -1,1 ，其中a 、f x = x - ax -bbÎR.若14.设函数，x恒成立，则当 M 取得最小值时，3a+b的值为_.3【答案】4【解析】【分析】( )( )0,-bg x = x3 -ax-b³构造函数，可知该函数关于点对称，然后分 £ 、a 3、0 < a < 3三种情况讨a 0( )y = g x( ) ( ) -f x = g x在区间 1,1 上最值的可能取值，-在区间 1,1 上的单调性，得出函数论，分析函数利用绝对值三角不等式可求出当M 取得最小值时a+b的值.( )( ) ( )f x= g xg x = x3 -ax-b【详解】构造函数，则，() ()( ) ( )g x + g -x = x - ax -b + -x + ax -b = -2b由于，33 ( )y = g x( )( )g¢ x = 3x - a.0,-b2所以，函数的图象关于点对称，且( )¢ ³g x 0( )= y g x -在区间 1,1 上单调递增，当 a £ 0 时，函数( )ì ³= - -ïM f 1 1 a b则 í，( )ïM ³ f -1 = -1+ a -bî(1) ()1- a -b + -1+ a -b- a -b - -1+ a -b所以 ³³1 a 1 a 1= - = - ³ ，M22= 0 - £ £此时，当a， 1 b 1时， M 取最小值 ；1( )¢ £g x 0( ) -当 a³ 3时，对任意的 xÎ -1,1 ，函数y g x在区间 1,1 上单调递减，=( )ì ³= - -ïM f 1 1 a b则 í，( )ïM ³ f -1 = -1+ a -bî(1) ()1- a -b + -1+ a -b- a -b - -1+ a -b所以 ³³1 a a 1 2= - = - ³ ，M22= 3 -2b2，此时，当a时， M 取最小值 ；2( )¢ =g x 0aa ( )Î0,1 ，列表如下：3= ±=当0 < a < 3时，令，得 x，令t3( )-t,txt+00( )g x极大值极小值( )ì ³M f 1 1 a b= - -ï( )³ f t = -2t -bïMï3( )g 0 = -b ³ 0£，则b 0 ，则í不妨设，( )³ f -t = 2t -bïMï3( )³ f -1 = -1+ a -bïMî( ) ( ) ( ) ( )M ³ max f 1 , f t , f -t , f -1，( ) ( ) ( )g -t + g t = 2g 0 ³ 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t < g -t g -t ³ g t = f t，且， ( ) ( ) ( )g -1 + g 1 = 2g 0 ³ 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )g-1 ³ g 1 = f 1g -1 ³ g 1，若，则，( ) ( ) ( )( ) ( )g -t > g -1，g -1 < g 1g 1 > 0若，则，但( )( ) ( )()( )( )g -t - g 1 = 2t -b - 1- a -b = 2t + a -1= 2t +3t -1= 2t -1 t +1 2 ，3332ìï( )12g 1 ,0 < t £ï( ) ( )max g -t , g 1 = í所以，.( ) 1ïg -t , < t <1ïî212( )14< t £M ³ g 1 =1- a -b =1-3t -b ³1-3t ³当 0时，22a 1341当且仅当b= 0，t=3 2时，即当a=，b = 0时， M 取得最小值 ;4( )1当M³ g -t = 2t -b ³ 2t > 2< t <1时，.332313=a + b =，b 0时， M 取得最小值 ，此时综上所述，当a.4443故答案为： .4【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.- ABCPBC .15.如图，在三棱锥 P中， PA= AB M , N，分别为棱PB, PCPAB 的中点，平面 平面求证：（1）平面；AMNBCPBC（2）平面 AMN 平面. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）证得 MNBC，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得 AM 平面PBC.由面面垂直的判定定理证明即可M , NPB, PC的中点，MNBC【详解】（1）分别为棱Ë又 BC 平面 AMN ， BC 平面 AMN .（2） PA= AB，点M为棱的中点，PB PB AM，又平面 PAB 平面PBCPAB Ç平面AM PBC，平面PBC PB=，平面.Ì AM 平面 AMN ，平面AMN平面 PBC.【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题5DABCb16.在中，角 A、 、 的对边分别为a 、 、c ，且cos A =.CB5= 5（1）若a，c = 2 5 ，求b 的值；pB =（2）若，求tan 2C的值.43= 5【答案】（1）b；（2） tan 2C = - .4【解析】【分析】> 0（1）利用余弦定理得出关于b 的二次方程，结合b，可求出b 的值；( )（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出cosC = -cos A+ B系求出 tanC 的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan 2C 的值.的值，利用同角三角函数的基本关DABC+ c - 2bccos A = a【详解】（1）在中，由余弦定理b2得，225，即b -4b-5 = 0，b2 + 20 - 2´ 2 5 ´b = 2525= 5 b = -1（舍），所以b = 5或解得b；551 ( )2 5< A <p=（2）由cos A及0得，sin A1 cos A= -2= -2=，555 p210所以=p - +cosC cos( (A B)= -cos(A+= - =(cos A sin A)，)4210103 10< C <又因为0p ，所以，sinC = 1- cos C = 1- () =2210103 10102tan C2´33sinCcosC从而= 3 ，所以tan 2C=1 tan C 1 3= - .tanC-4101022【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在圆锥中，底面半径 为3，母线长 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆RSOl心为O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO ，记圆锥OO111体积为V .（1）将V 表示成 r 的函数；（2）求V 的最大值.416(3r - r )，0 < r < 3；（2）【答案】（1）V(r)=.2399【解析】分析】43（1）求出SO，利用SNO SAO，求出SO ，可得出OO 41= -r ，然后利用圆锥的体积公式可得出11V 关于 r 的函数表达式，结合实际情况求出该函数的定义域；4(3r - r )求导，求出该函数的极大值，利用极值与最值的关系可得出 的最大值.V（2）对函数V(r)=239 【详解】（1）在DSAO中，SO = SA - AO = 5 - 3 = 42222SO r4SNO SAO= ，所以 SO = r ，1由可知，1SO R314144所以OO = 4 - r ，所以V(r) = r (4 - r) = (3r - r ) ，0 < < 3；r223333914（2）由（1）得V(r) = (3r - r ) ，0 < < 3，r2394¢ = -¢(6r 3r ) ，令 V (r) 0 ，得 r = 2，=所以V (r)29Î(0,2)Î(2,3)¢ >时，V (r) 0 ，所以V (r) (0, 2)在当 r当 r上单调递增；¢ <时，V (r) 0 ，所以V (r) (2,3)16上单调递减.所以当 r = 2时，V (r) 取得最大值V(2)=.916答：小圆锥的体积 的最大值为V.9【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是求出函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.x2y218.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C :+ =1(a > b > 0)的右顶点为 A，过点 A作直线l 与圆a b22O : x + y = b 相切，与椭圆C 交于另一点 ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k .222P（1）用k 表示椭圆C 的离心率；×OQ = 0，求椭圆C 的离心率.（2）若OP1；（2） .21【答案】（1） =ek2 +1【解析】【分析】（1）由题意可得出直线l 的方程为kx - y - ak = 0，利用该直线与圆 相切，得出圆心到直线l 的距离等于O b2=半径可得出k，由此可计算出e 关于 的关系式；k2a -b22( )2c c > 0（2）设椭圆C 的焦距为，将直线l 的方程与椭圆C 的右准线方程联立，可求出点Q 的坐标，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，可求出点 的坐标，再由OP×OQ = 0，结合（1）中的结论，可得出P关于 a 、c 的齐次等式，从而求出椭圆C 的离心率.= k(x - a)kx - y - ak = 0，【详解】（1）直线l 的方程为 y，即-akb2= b：x + y = b=因为直线l 与圆O相切，所以，故 k.2222k +1a -b222b21所以椭圆C 的离心率 = 1-；e=a2k +12a2=（2）设椭圆C 的焦距为 ，则右准线方程为 x2c，cì =y k(x a)-ïa ac-a k(a ac)a222Q( ,2由 í得 y= k( - a) = k，所以)，a2x =ccccïîcìxy22ï +=1+ a k )x - 2a k x + a k - a b = 0，由 í a b得(b22222232422 2ïy = k(x - a)îa k - aba k - ab-2ab k3223222=y = k(p- a) =解得 x，则，b + a k2b + a k2b + a kp2222222a k - ab -2ab k3222（所以 P，b + a k b + a k) ，222222a a k - ab k(a - ac) -2ab k232222×OQ = 0×+×=0 ，因为OP，所以c b + a kcb + a k222222- b ) = 2b k (a - c)即 a(a k2，2222b2a b222b (a - c)4=a(-b ) =由（1）知，k，所以，22a -ba -b2a -b22222c 1=，故椭圆C 的离心率为 .1= 2a -2c=，即 a 2c ，所以所以 aa 22 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，同时也考查了椭圆中向量的数量积的计算，解题的关键就是结合题意得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于难题.æçè1 öf (x) = a - ln x(a Î R )19.已知函数÷.x ø= f (x)+ - =x y 1 0（1）若曲线 y在点(1,f (1)处的切线方程为，求a 的值；¢（2）若 f (x) 的导函数 f (x) 存在两个不相等的零点，求实数 的取值范围；a( )f x 恒成立？若存在，求出l 的最大值；若³ l= 2l（3）当a时，是否存在整数 ，使得关于x 的不等式不存在，说明理由.( )-e ,0= 0-；（3）存在，最大值为 1.【答案】（1） a；（2）-2【解析】【分析】( )y = f x( )¢f x( )¢ = -f 11从而可求出实数a 的值；（1）求出函数的导数，由题意得出-1+ ln x( ) ( )g x = ax-1+ ln x 0,+¥0，可得知函数 在( ) ax¢（2）令 f x=³上有两个零点，分a 0 和x2( ) ( )y = g x+0, ¥上的单调性和极值，由题意转化为函数a < 0两种情况讨论，利用导数分析函数在区间( )y = g x极值相关的不等式，解出即可得出实数a 的取值范围；( )=y f xæ1 ö( )f x 2= -（3）将a= 2代入函数的解析式得出ç÷ln x ，对该函数求导得出èx ø-1+ ln x( )( )y = f x( ) 2x¢f x=h x = 2x -1+ ln x，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的x2æ 1 ö( ) ( ) ( )x Î ,1ln x =1- 2xf x = f x Î -1, 0极小值点ç÷ ，并满足，结合此关系式计算得出，从而可0 è 2 ø000minl得出整数 的最大值.( )1 1x x1¢=ln x a+ -【详解】（1） f (x)，x2= f (x)+ - =x y 1 0因为曲线 y在点(1,f (1)处的切线方程为，¢ = - = - =所以 f (1) a 1 1，得 a 0；ax -1+ ln x¢=（2）因为 f (x)存在两个不相等的零点.x2 1x= ax -1+ ln xg¢(x) = + a.所以 g(x)存在两个不相等的零点，则¢ >时， g (x) 0，所以 y g(x) 单调递增，至多有一个零点=³ 0当 a1a¢ >=，当 < 时，因为当 xÎ