2020-2021学年山东省青岛胶州市高二上学期期中考试数学试题-.docx

青岛胶州市 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学本试卷 4 页，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效；3考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线 x= 2021的倾斜角为（）A90°B0°C180°a b，则实数t =245°DD= (1,2,t),b = (t,1, 2)2已知向量aA1，且（）23-1-CB3: ax + y +1 = 0l : x + ay + 2a -1 = 02=3若直线l与直线平行，则实数a （）1-1C0±1DA1B- A B C=B C 的中点，则 AP （）4已知三棱柱 ABC，点 P 为线段111111A AB111+ AC + AAAB + AC + AAB222211111D AB1C AB + AC - AA+ AC + AA222211ab的大小为60°A B,分别在半平面a, bC D 内，- l -为棱l 上不同两点，5已知二面角，= BD = 2AB = 2AC, BD 均垂直于棱l， AC，则异面直线CD与 AB 所成角的余弦值为（）1551312ABCD5- 4x + y + 3 = 06若过原点的直线l与圆 x有两个交点，则l 的倾斜角的取值范围为（）22p pp pp5p 2p0, ) ( ,p) 0, ) ( ,p)Dp(- , )(- , )ABC3 36 66633 x2C : + y =1,上两点 A B ，若 AB 的中点为 D ，直线17已知椭圆2OD的斜率等于 ，则直线 AB4的斜率等于（）11-1B1-DAC24xy: x + y = r (r > 0)+=1,AB = 2 3交于 A B 两点，且 ，则圆O与8已知圆O222与直线22(x) = ln(x -1)函数 fA2的图象交点个数为（）个B1C0D3二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.: x - my + m -1 = 09已知直线l，则下述正确的是（）A直线l的斜率可以等于0B直线l的斜率有可能不存在C直线l可能过点(2,1)= ±1D若直线l的横纵截距相等，则m16x + 25y = 40010已知椭圆C ：，关于椭圆C 下述正确的是（）22A椭圆C 的长轴长为10(0,-3) (0,3)和B椭圆C 的两个焦点分别为3C椭圆C 的离心率等于5325,Q| PQ |=D若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于 P ，则2PF(-1,0), F (1,0)= 22 =11已知点 F，动点 P 到直线 x的距离为d ，则（）212d1A点 P 的轨迹是椭圆C点 P 的轨迹方程为B点 P 的轨迹曲线的离心率等于2x2+ y =1DPF F 的周长为定值4 2D2212212已知四面体 ABCD的所有棱长均为 ，则下列结论正确的是（）A异面直线 AC 与 BD 所成角为60°2 6B点 A 到平面 BCD的距离为36pC四面体 ABCD的外接球体积为 60°PD动点 在平面与BCD上，且 AP ACP，则点 的轨迹是椭圆所成角为三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.+ y + 4x = 0C : (x - 2) + (y -1) = 913圆C : x21与圆的位置关系为2222x2y12+ =1m 9=的离心率等于 ，则实数m14已知椭圆3- A B C D=AC 上一点，| PA | 1，则点 P 到平面15已知正方体 ABCDABCD的距离为的棱长为1，点 P 为线段1111116在平面直角坐标系中， A(1,2),D(2,1)，点 B,C 分别在 x 轴、 y 轴上，则（1）| AB |+ | BD |的最小值是 ；（2）| AC | + | CB | + | BD |的最小值是（第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10 分）ÎR+ y - a -1 = 0 a（+ =），圆O : x y 1已知O为坐标原点，直线l : ax22°a（1）若l的倾斜角为120 ，求 ；- y = 0（2）若l与直线l : 2x的倾斜角互补，求直线l 上的点到圆O上的点的最小距离；0（3）求点O到l的最大距离及此时a 的值18（12 分）在平面直角坐标系中，圆C 过点 E(1,0)和点 F(0,1) ，圆心C 到直线 x（1）求圆C 的标准方程；+ y = 0的距离等于 2 （2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 做圆C 的两条切线，切点分别为 A, B ，四边形 MACB的面积为 3 ，求点 M 的轨迹方程19（12 分）在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为 的正方形，PD 平面ABCD，M 为PC中点4P= 4（1）如果 PD，求证： PC 平面 MAD ；（2）当 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值最大时，- MBC求三棱锥 D20（12 分）的体积V 在平面直角坐标系中，C (0,- 2)，圆C : x + (y - 2) =12，动 圆 P 过C 且与圆C 相切22121C2D（1）求动点 P 的轨迹C 的标准方程；14（2）若直线l过点(0,1) ，且与曲线C 交于A, B ，已知A, B 中A 点在直线x= -上，B求直线 的方程l21（12 分） 如图，在几何体ABCDEF中，四边形 ABCD为菱形，DBCF 为等边三角形，ÐABC = 60°，AB = 2, EF / CD ，平面 BCF 平面ABCDAOF ；（1）证明：在线段 BC 上存在点O，使得平面 ABCD 平面- AF -C（2）求二面角 B的余弦值；（3）若 ED / 平面 AOF ，求线段 EF 的长度22（12 分）x2y2+ =1(a > b > 0)F , F | F F |= 2， ，已知O为坐标原点，椭圆C :的左右焦点分别为2a b21212= - 2P 为椭圆的上顶点，以 P 为圆心且过 F , F 的圆与直线 x相切12（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C 于M, N两点DOMN（）若直线 的斜率等于1，求l面积的最大值；×ON = -1lOD l证明：存在定点W ，使得| DW |为定值（）若OM，点 D 在 上， 2020-2021 学年度第一学期期中检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1-8:ACBDBCDA二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9.BD;10.ACD;11.AC;12.BC;三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。38113.相交；14.8或 ；15.；16.（1）；（2）3 2 ；1038四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）解：（1）由题知：直线l 的斜率等于tan120 = - 3 = -a ··········· 2 分解得a = 3 ······························ 3 分l : 2x - y = 0（2）因为l与直线的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数 ··· 4 分0-a = -2a = 2+ - =: 2x y 3 0所以，即，所以l··············· 5 分··················· 6 分3 53 5l的距离 =>1则圆心O 到直线d5所以直线l 上的点到圆O上的点的最小距离为-1············ 7 分5（3）直线l恒过定点W(1,1)······················· 8 分所以O到l的最大距离小于等于| OW |= 2················· 9 分 lk 1× = -，解得a 1 ··············· 10 分此时，OW，所以k=OWl18（12 分）解:（1）因为圆C 过点 E(1,0)和点 F(0,1)= x所以圆心C 在线段 EF 的垂直平分线 y上，所以可设圆心为C(a,a) ························· 2 分因为圆心C 到直线 x+ y = 0的距离等于 2| a + a |= 2= ±，解得a 1 ······················ 4 分所以2=1时，圆心为(1,1)当 a，半径 r=| EC |=1，-1) + (y -1) =1圆C 的方程为：(x22当 a圆C 的方程为：(x所以圆C 的标准方程为：(x= -1时，圆心为(-1,-1)=，半径r | EC | 5 ，=+1) + (y +1) = 522-1) + (y -1) =1 (x +1) + (y +1) = 5或····· 6 分2222 MA（2）由题知：因为CA······················· 7 分所以四边形 MACB的面积SCAMB= 2S= CA × AM = 3········· 8 分DCAM因为| CA |=1，所以 AM=3 ······················ 9 分= CA + AM = 4······················ 10 分所以 CM所以 CM222= 2，点的轨迹是以C 为圆心，半径为 的圆 ·········· 11 分M2z··············· 12 分-1) + (y -1) = 4所以点 M 的轨迹方程为：(x22P19（12 分）M DPDCPD = DC证明：（1）在所以 PC中， M 为 PC 中点， DM········· 1 分AD Ì平面ABCD因为 PD 平面ABCD， AD所以 PD又因为 AD CD=， PD CD DPCDPCD所以 AD 平面······ 3 分Ì因为 PC 平面 PC所以 AD因为 AD DM········· 4 分= D所以 PC 平面 MAD ·························· 5 分= t（2）设 PD，以 D 为坐标原点，分别以 DA, DC, DP 所在方向为 x, y, z 轴正方向，t空间直角坐标系，则 D(0,0,0), B(4,4,0), M (0,2, ) ,- xyzP(0,0, t)建立O·· 6 分2t= (x, y, z)DM = (0,2, ), DB = (4,4,0) BP = (-4,-4,t)设平面 MBD 的法向量为n，所以，2ìtì× DM = 0× DB = 0+ z = 0ïnï2y4=1，可得n = (-1,1,- )， ····· 8 分所以í，得 í2，令 ytï nîï+ 4y = 0î4x所以 BP 与平面 MBD 的法向量n 所成角的正弦值为-4413| cos < BP,n >|=|=£1625616 +16 + t 1+1+80 + 2(t +)22tt22256=，即t= 4时等号成立） ················ 10 分（当且仅当t2t2- MBC所以三棱锥 D的体积11= V41 1163V=V= V= ´ ´4´4´4 =4 3········ 12 分D-MBCM -DBC2P-DBCP-ABCD20（12 分）= r=-， PC 2 3 r ···· 1 分解:（1）设动圆 P 的半径为 ，由题意知： PCr12+ PC = 2 3 > C C = 2 2所以 PC·················· 2 分1212所以 P 点的轨迹是以C ,C 为焦点的椭圆. ················· 3 分122 = 2 2 b = a -c =1，= 2 3,其长轴长2a焦距为 c， ·········· 4 分··················· 5 分关于 x 轴对称，不合题意 ·········· 6 分22y2+ x =1所以曲线C 的标准方程为：23A,B（2）若直线斜率不存在，则若直线斜率存在，设其方程为 yy2= kx +1将 y= kx +1代入+ x =1得：(3 k )x 2kx 2 0 ·········· 7 分+- =22232k+ x = -所以 x·························· 8 分3+ k122x + x1k1= -2= -所以······················· 9 分23+ k42- 4k + 3 = 0k =1 k = 3或 ·················· 11 分所以 k2，解得y = x +1 y = 3x +1或 ··············· 12 分所以，直线l的方程为： 21（12 分）解：（1）取线段 BC 的中点O，连接OA,OFBC OA,BC OF,OA OF = ODBCF DABC，因为、均为等边三角形，BC AOF ······· 3 分所以，所以ABCD，所以平面 ABCD 平面Ì又因为 BC 平面所以，线段 BC 的中点O，使得平面 ABCD 平面平面 AOF ·········· 4 分AOFABCD= BC FO BC（2）因为平面 BCF 平面ABCD，平面 BCF平面两两垂直轴建立空间直角坐标系O xyz，所以 FO 平面ABCD，所以OA,OB,OF、y、z、OB、OF x-以OA为-1,0), D( 3, -2,0)则 A( 3,0,0,), B(0,1,0), F(0,0, 3), C(0,设平面 ABF 的一个法向量········ 5 分zm =（x , y , z )，EF1因为 AB11= (- 3,1,0)，AF = (- 3,0, 3) ，ììï× AB = 0× AF = 0-+ =3x y 0ïmíí由，得11，ïmïî- 3x + 3z = 0îC11=（1, 3,1)所以 m设平面 ACF 的一个法向量n= ( 3,1,0) CF = (0,1, 3)········· 6 分O=（x , y , z )，222因为CA，ììíAB×CA = 0×CF = 0+ =ï 3x y 0ïmyxí=（ -，所以n 1, 3,1) ·········· 7 分由，得22ïmy + 3z = 0ïîî22| m×n | 1- AF -C=| m | n | 5设二面角 B的平面角为q ，所以cosq········ 8 分1- AF -C所以二面角 B的余弦值为··················· 9 分5(3)因为 EF/CD/AB ，设 FE= tBA = ( 3t,-t,0) F(0,0, 3)，-t, 3) DE = ( 3t - 3, 2 - t, 3)，则所以 E( 3t,············· 10 分又因为平面 AOF 的一个法向量为OB= (0,1,0)··············· 11 分×OB = ( 3t - 3, 2 - t, 3) ×(0,1,0) = 2 - t = 0因为 DE所以t= 2，所以| FE |= 2 | BA |= 4····················· 12 分22（12 分）F (-1,0) F (1,0)·················· 1 分解:（1）由题意知：，12= PF + PF = 2 2由椭圆定义知，所以2a················· 2 分12设椭圆的半焦距为c ，所以b + c = a ，所以a= 2, b =1,c =1222x2所以椭圆C 的标准方程为：+ y =1··················· 3 分22= kx + t（2）（）设直线l 的方程为： yx2y = kx + t(1+ 2k22+ 4ktx + 2t - 2 = 02y 1得：+ =将带入)x22 4kt2t - 22+ x = -, x x =,1 2, ·················· 4 分所以 x1+ 2k1+ 2k12224 3- t2又因为 k=1，得=- = + ×| AB | 2 | x x | 1 k(x x ) 4x x-+=· 5 分22312121 2| t |1+ k21 | t | 4 3-t| t |d =点O到直线l 的距离··················· 6 分222 t +3-t2222= ×2 2×=´ t (3-t ) £´() =所以 S··· 7 分22DAOB3332262DOMN等号当仅当t = 3- t 时取，即当t = ±时，的面积取最大值为· 8 分2222y = kx + t（）显然直线l的斜率一定存在，设直线l 的方程为：，4kt2t - 22+ x = -, x x =1 2,由（）知： x1+ 2k1+ 2k1222t - 2k22= (kx + t)(kx + t) = k x x + kt(x + x ) + t =所以 y y1······· 10 分221+ 2k2121 21223t - 2 - 2k22×ON = x x + y y = -1所以OM·············· 11 分1+ 2k1 21221333，直线过定点 Z(0, ) 或(0,3t =解得 2= ±-)，t333333所以 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W (0, ) 或(0,- )，半径等于D66633- )63所以存在定点W (0, ) 或(0,，使得| DW |为定值········· 12 分6621（12 分）解：（1）取线段 BC 的中点O，连接OA,OFBC OA,BC OF,OA OF = ODBCF DABC，因为、均为等边三角形，BC AOF ······· 3 分所以，所以ABCD，所以平面 ABCD 平面Ì又因为 BC 平面所以，线段 BC 的中点O，使得平面 ABCD 平面平面 AOF ·········· 4 分AOFABCD= BC FO BC（2）因为平面 BCF 平面ABCD，平面 BCF平面两两垂直轴建立空间直角坐标系O xyz，所以 FO 平面ABCD，所以OA,OB,OF、y、z、OB、OF x-以OA为-1,0), D( 3, -2,0)则 A( 3,0,0,), B(0,1,0), F(0,0, 3), C(0,设平面 ABF 的一个法向量········ 5 分zm =（x , y , z )，EF1因为 AB11= (- 3,1,0)，AF = (- 3,0, 3) ，ììï× AB = 0× AF = 0-+ =3x y 0ïmíí由，得11，ïmïî- 3x + 3z = 0îC11=（1, 3,1)所以 m设平面 ACF 的一个法向量n= ( 3,1,0) CF = (0,1, 3)········· 6 分O=（x , y , z )，222因为CA，ììíAB×CA = 0×CF = 0+ =ï 3x y 0ïmyxí=（ -，所以n 1, 3,1) ·········· 7 分由，得22ïmy + 3z = 0ïîî22| m×n | 1- AF -C=| m | n | 5设二面角 B的平面角为q ，所以cosq········ 8 分1- AF -C所以二面角 B的余弦值为··················· 9 分5(3)因为 EF/CD/AB ，设 FE= tBA = ( 3t,-t,0) F(0,0, 3)，-t, 3) DE = ( 3t - 3, 2 - t, 3)，则所以 E( 3t,············· 10 分又因为平面 AOF 的一个法向量为OB= (0,1,0)··············· 11 分×OB = ( 3t - 3, 2 - t, 3) ×(0,1,0) = 2 - t = 0因为 DE所以t= 2，所以| FE |= 2 | BA |= 4····················· 12 分22（12 分）F (-1,0) F (1,0)·················· 1 分解:（1）由题意知：，12= PF + PF = 2 2由椭圆定义知，所以2a················· 2 分12设椭圆的半焦距为c ，所以b + c = a ，所以a= 2, b =1,c =1222x2所以椭圆C 的标准方程为：+ y =1··················· 3 分22= kx + t（2）（）设直线l 的方程为： yx2y = kx + t(1+ 2k22+ 4ktx + 2t - 2 = 02y 1得：+ =将带入)x22 4kt2t - 22+ x = -, x x =,1 2, ·················· 4 分所以 x1+ 2k1+ 2k12224 3- t2又因为 k=1，得=- = + ×| AB | 2 | x x | 1 k(x x ) 4x x-+=· 5 分22312121 2| t |1+ k21 | t | 4 3-t| t |d =点O到直线l 的距离··················· 6 分222 t +3-t2222= ×2 2×=´ t (3-t ) £´() =所以 S··· 7 分22DAOB3332262DOMN等号当仅当t = 3- t 时取，即当t = ±时，的面积取最大值为· 8 分2222y = kx + t（）显然直线l的斜率一定存在，设直线l 的方程为：，4kt2t - 22+ x = -, x x =1 2,由（）知： x1+ 2k1+ 2k1222t - 2k22= (kx + t)(kx + t) = k x x + kt(x + x ) + t =所以 y y1······· 10 分221+ 2k2121 21223t - 2 - 2k22×ON = x x + y y = -1所以OM·············· 11 分1+ 2k1 21221333，直线过定点 Z(0, ) 或(0,3t =解得 2= ±-)，t333333所以 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为W (0, ) 或(0,- )，半径等于D66633- )63所以存在定点W (0, ) 或(0,，使得| DW |为定值········· 12 分66