江苏省南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研数学试题附答案解析.docx

2020-2021 学年度高三年级第一学期期初调研数学2020.9.2一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. x( )1记全集 = ，集合 = | ³16 ，集合 = | 2 ³ 2 ，则= ().UA x x2BxABUA4,+¥)B(1,4C1,4)D(1,4)2已知 = log 2, = log 2, = 0.5 ，则 , , 的大小关系为(a b c).abca-257A < <b a cB < <a b cC < <c b aD < <c a b3p5ppæö÷øæçèö÷øæçèö÷ø()=3若cosa b+,sin b-=,a,bÎ0,，则cosa+= ().ç541324è33A -6533655665D-16BC654我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配23 艘驱逐舰，12 艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为().A30B60w j),(w 0,|j | p)C90D1205 函 数 ( ) = 2sin(f x+><( )的 图 像 过的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 且xf xpæçèö( ),1 , Bp, 1- 两点，为了得到 g x( ) 2sin( )=w x 的图像，只需将 f x 的图像().A÷2ø5p5p5p5pA向右平移B向左平移C向左平移D向右平移6612126易经是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，-表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为().18143812ABCD1 x2y27设 , 分别为双曲线 C :-a2 b2=1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点，过 的直线 与F1F Fl12O : x+ y= a相切， 与 的渐近线在第一象限内的交点是 ，若PF x 轴，则双曲线的lC222P2离心率等于(A).B2CD432 28对于函数 =y f(x) ，若存在区间a,b，当 xÎa,b 时的值域为ka,kb(k > 0)，则 称y = f (x)为 倍值函数.若 f (x) = e + 2x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是().kx12æö÷øæö()()A +1,+¥B + 2,+¥C + ,+¥D + ,+¥eeeeçç÷èeèeø二、多选题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9下列说法正确的是().A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B设有一个回归方程 = 3- 5 ，变量 x 增加 1 个单位时， y 平均减少 5 个单位yxC线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱rD在某项测量中，测量结果x 服从正态分布 N(1,s )(s > 0) ，则 (x >1)= 0.5P210已知抛物线 : = 2 过点 (1,1)，则下列结论正确的是().PC y2px3A点 到抛物线焦点的距离为P25B过点 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 ，则OPQ 的面积为PQ32C过点 与抛物线相切的直线方程为 - 2 +1= 0PxyD过点 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点 , ，则直线 的斜率为定值MNPM N11111在ABC 中，已知 cos + cos = 2 ，且+=，则().bC cBbtan A tan B sinCA , , 成等比数列a b cBsin : sin : sin = 2 :1: 2ABCC若a = 4 ，则= 7D , , 成等差数列A B CSABC12已知函数 ( ) = ln ，若0 < < ，则下列选项正确的是(f x x x).x1x2f (x ) - f (x )A<0B +( )< + ( )f x12xf xxx - x1122122 1C( ) <x f x( )x f xD当 > > 时，( ) +x f x( ) >x f x( ) +( )x f xxxx f x2211221e1122112三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.113高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占全班人数的 ，而且三好学生6中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为_.14曲线 = ln + +1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.x xy15已知 是边长为 2 的正六边形内的一点，则的取值范围是_.AP ABPABCDEF×16椭圆与双曲线有相同的焦点 (- ,0), ( ,0) ，椭圆的一个短轴端点为 ，直 线 与双F BF c F cB121曲线的一条渐近线平行 .若椭圆与双曲线的离心率分别为3e + e 的最小值为_.,e ，则 e e = _；且e121 22122四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(10 分)已知函数 ( ) 2 3 sin cosf x =x +2sin 2x -1 .x(1)求函数 ( ) 的单调递增区间；f xp(2)在ABC 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，若 ( ) = 2, = , = 2 ，求的A B C a b cf ACcABC4面积.3 18(12 分)2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为 11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育不满意.满意不满意男生女生合计120(1)完成 2x2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8 名学生，再在 8 名学生xx中抽取 3 名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为 .求出 的分布列及期望值n(ad - bc)(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)2附公式及表 K =，其中 = + + + .n a b c d20.150.100.050.0250.0100.0050.00102.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k04 19(12 分)已知椭圆 的中心在原点，其焦点与双曲线2 - 2 =1的焦点重合，点 (0, 3)CxyP22: y = kx + m交椭圆于不同两点 A,B ，且OA OB( 为坐标原点).= 0 O在椭圆 上，动直线lC×()求椭圆的方程;(2)讨论2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.7m -12k220(12 分)已知函数 ( ) =f x+f x+ ，且 ( ) £ 0的解集为-1,2 .bx cx2(1)求函数 ( ) 的解析式；f x(2)解关于 的不等式 ( ) > 2( - -1),( ³ 0) ；xmf xx mm(3)设 g(x) = 2，若对于任意的 , Î-2,1都有| ( ) - ( ) |£ ，求 的最小值x x g x g x MMf (x)+3x-112125 2x -121(12 分)已知 ( ) = ( - ln ) +f x a x，.xx2(1)讨论 ( ) 的单调性;f x3(2)当 =1时，证明 ( ) > '( ) + 对于任意的 Î1,2成立，af x f xx222(12 分)已知点 是抛物线 : = 4 的准线上任意一点，过点 作抛物线的两条切线PC y12xP、PA PB，其中 、 为切点，A B(1)证明:直线过定点，并求出定点的坐标;ABSx2y2(2)若直线的最小值.交椭圆 :+=1于C 、 两点，S ,S分别是PAB,PCD 的面积,求ABCD143S21226 高三数学期初答案一、单选题1-4 CACD5-8 CCAB二、多选题9.BD10.BCD11.BC12.CD三、填空题1= 2x(-2,6 )2 313.14. y15.16. 18四、解答题( )= 2 3sinxcosx+ 2sin2x -1= 317 解：（1） f xsin2xcos2xp2sin（2x-），2 分6ppppp- £ - £+- £ xk+令 2k2x2kk Z， ，解得kk Z， ，26263pp-+函数 （ ）的单调递增区间为：kf x，k k Z， 4 分63p-（2）f（A）2sin 2A（）2，6psin（2A-）1，6pp 11p，2A-A 0 （ ， ），（），666p ppA- =A=2，解得，6 分6 23pC=c 2， ，4p pæçèö÷2´sin+c×sin B3 4abø=1+ 3，8 分 由正弦定理，可得bsinA sin B2sinC2112 3+ 3S= absinC= ´6 ´（1+ 3 ´）=10 分ABC 22221118 解：（1）因为男生人数为：120´于是可完成2´2列联表，如下：满意 不满意 总计= 55，所以女生人数为120-55 = 65，11+137 男生 30女生 50合计 8025154055651204 分根据列联表中的数据，得到 2的观测值K120´(30´15- 25´50) 9602k =» 6.713 > 6.635，55´65´80´40143所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. 6 分xx，并且 服0,1,2,3（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知 的可能取值为C Ck( )P x = k =3-k538()k = 0,1,2,3 ，即从超几何分布，3CC5C C 15353825C13P(x = 0) =P = =, (x 1)=,.C282838C C15C15CC123333P(x = 2) =, (x 3)P = =5656388可得分布列为x01235128 28 56 56P515151 9( ) = 0´ +1´ + 2´ + 3´ =可得 Ex.12 分28285656 8( )1, 02x - 2y =1C=1，19. 解：（1）因为双曲线22的焦点为，所以在椭圆 中cy2( )x22+=1 a > 0设椭圆 C 的方程为，aa-12( )3P 0, 3 在椭圆 C 上得=14 -1 = 3，2 = 4 Þ = 2，则b=由点，解得aaa2 -1x2y2+ =1所以椭圆 C 的方程为.4 分4 38 （2）7m -12k 为定值，理由如下：22( ) ( )A x , y ,B x , yx x + y y = 0可知 ，= 0设，由OA OB×11221 21 2ì = +y kx m( )ïÞ 3+ 4k x +8mkx + 4m -12 = 0，联立方程组íx2y2222+=1ïî 4 3( )( )D = 64m k - 4 3+ 4k 4m -12 > 0得 m < + k ，6 分3 4由2222228km4m -122x + x = -, x x =，8 分3+ 4k3+ 4k1221 22( )( )x x + y y = 0 及 = + 得 x x + kx + m kx + m = 0 ，由y kx m1 2121 212( )( )1+ k x x + km x + x + m = 0整理得22，1 212( )4m -128km21+ k ×- km×+ m = 0，将式代入上式可得223+ 4k3+ 4k22( )( )1+ k 4m -12 -8k m + 3m + 4m k = 0，同时乘以3+ 4k 可化简得22222222所以7 -12 =12，即7m -12k 为定值.m2k22212 分f (x) £ 0的解集为-1,2，所以 x bx c+ + = 0的根为 ，2，-120 解：（1）因为2-b =1 c = -2b = -1 c = -2， ；所以 f(x) = x - x - 2所以，即2；2 分(x) > 2(x - m -1)(- x - 2) > 2(x - m -1)，整理（2）mf，化简有m x2(mx - 2)(x -1) > 0，= 0时，不等式的解集为(-¥,1)所以当 m，2æç,+¥ö当0 < m < 2时，不等式的解集为(-¥,1)÷，è mø(-¥,1) (1,+¥)当 = 2 时，不等式的解集为，m2( )(-¥, ) 1,+¥当 > 2 时，不等式的解集为，7 分，根据二次函数的图像性质，有mmÎ-2,1( ) + 3 -1 = + 2 - 3时 f x（3）因为 xxxx2f (x) + 3x -1 = x + 2x - 3Î-4,0 ，29 1éù则有 g(x) = 2= 2 2，所以，g(x)Îê,1，9 分f (x)+3x-1x +2x-3ú16ëûx , x Î-2,1都有| g(x ) - g(x ) |£ M ，因为对于任意的1212| g(x ) - g(x ) | £ Mg(x) - g(x) £ M，即求，转化为10 分12MaxMaxMin1( ) = (1)=1 g(x) = g(-1) =g xg，所以，而16MinMax1516³此时可得 M，15所以 M 的最小值为16.12 分21.解：（1）的定义域为；1 分a 2 2 (ax- 2)(x -1)2f '(x) = a - - + =.x x2x3x3'(x) > 0当，时， f，单调递增；xÎ(1,+¥)时, f '(x) < 0 ，单调递减.a(x -1)22'(x) =(x + )(x - )当当当当时， f.x3aa，xÎ'(x) > 0或时， f，单调递增；xÎ'(x) < 0时， f，单调递减；xÎ'(x) ³ 0时，时，在内， f，单调递增；，xÎ'(x) > 0或时， f，单调递增；10 xÎ'(x) < 0当时， f，单调递减.5 分综上所述，当当时，函数在在内单调递增，在内单调递增，在内单调递减；时，内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.6 分（2）由（）知，时，2x -11 2 2- (1- - + ) = x - ln x + + - -1 ，x x x x3 1 2f (x) - f '(x) = x - ln x +x22x32x3，令，.(x) - f '(x) = g(x) + h(x)x -1则 f由 g，'(x) =³ 0可得，当且仅当时取得等号.8 分x-3x - 2x + 62又 h'(x) =，x4xÎ设，则，在单调递减，因为所以在上存在 使得时，时，所以函数h(x)在上单调递增；在，因此上单调递减，当且仅当由于取得等号， 10 分11 32(x) - f '(x) > g(1)+ h(2) =所以 f，3(x) > f '(x) +即 f对于任意的恒成立12 分2( ) ( )A x , yB x , y22.解：（1）证明：设点、，11222( )( )，y - y =x - xy y= 2 x + x则以 A为切点的切线方程为，即1y1111( )y y = 2 x + x同理以 为切点的切线方程为，2 分B22( )ì = 2 -1+ïtyì2 - - 2 = 0x tyx( )P -1,t，两条切线均过点í1(1)，即í11，ïty = 2 -1+ x2x -ty - 2 = 0îî22222x -ty - 2 = 0所以，点 A、 的坐标满足直线的方程，4 分B2x -ty - 2 = 0所以，直线 AB 的方程为，( )在直线 AB 的方程中，令 y= 0，可得 x =1，所以，直线 AB 过定点 1, 0；6 分1d × ABABS21=（2）设点 到直线 AB 的距离为 ，则 PAB.PdSPCDCDd × CD2由题意可知，直线 AB 不与 x 轴重合，可设直线 AB 的方程为 x= my +1，( )ì = 4( ) ( )y2xC x , yD x , y2 - 4 - 4 = 0 D =16 m +1 > 0设、，由í，得 ymy，2恒x= my +13344î成立，y + y = 4m ， y y = -4 ，由韦达定理得121 2( )()2由弦长公式可得 AB = 1+ m y - y = 1+ my + y - 4y y = 4 m +122212121 28 分ìx2y2( )2ï +=13m + 4 y +6my -9 = 0由 í 4 3，得2，ïx = my +1î( ) ( )D = 36m +36 3m + 4 =144 m +1 > 0222恒成立.6m9y + y = -y y = -由韦达定理得，3m + 43m + 434234212 ( )12 m +12( )由弦长公式得= 1+- = 1+y yy y+- 4 =y y.2CDm2m23m + 4343434210 分( )4 m +123 + 4m4 4= m + ³SSAB2= ( ) =PAB212 1+ m233 3 ，CDPCD3m + 42当且仅当m= 0时，等号成立.12 分S4因此， 1 的最小值为 .S3221.(1)a £ 0,(0,1) (1,+¥)a > 01 a = 2,(0, +¥)2 0 < a < 2,(0,1) (1, ) ( 2,+¥)2aa2) ( 2,1) (1,+¥)3 a > 2,(0,aa3 1x + +x x25(2)原不等式等价于- ln x - >0-22x3111é ùéùx - ln x ³1 ，令 t = Î ,1， ( ) = -2 + + 3 ， '( ) = -6 + 2 + 3 存在 Î ,1 使得s tttts tttt322êúêú202ë ûx ëû133 12 3æ ö-6t + 2t + 3 = 0 ， s= ,s(1)= 2 ，所以 +- ³ ，因为等号不同时取，所以20ç ÷2è ø220x x2 x33 1x + +x x25- ln x - > 023-2x22.(1)过焦点(1,0)41æ3ö4SABsin a(2)设倾斜角为 ，则=212=+1 ³a1ç÷3è sinaø 3SCD224 - cos a21332(x) - f '(x) > g(1)+ h(2) =所以 f，3(x) > f '(x) +即 f对于任意的恒成立12 分2( ) ( )A x , yB x , y22.解：（1）证明：设点、，11222( )( )，y - y =x - xy y= 2 x + x则以 A为切点的切线方程为，即1y1111( )y y = 2 x + x同理以 为切点的切线方程为，2 分B22( )ì = 2 -1+ïtyì2 - - 2 = 0x tyx( )P -1,t，两条切线均过点í1(1)，即í11，ïty = 2 -1+ x2x -ty - 2 = 0îî22222x -ty - 2 = 0所以，点 A、 的坐标满足直线的方程，4 分B2x -ty - 2 = 0所以，直线 AB 的方程为，( )在直线 AB 的方程中，令 y= 0，可得 x =1，所以，直线 AB 过定点 1, 0；6 分1d × ABABS21=（2）设点 到直线 AB 的距离为 ，则 PAB.PdSPCDCDd × CD2由题意可知，直线 AB 不与 x 轴重合，可设直线 AB 的方程为 x= my +1，( )ì = 4( ) ( )y2xC x , yD x , y2 - 4 - 4 = 0 D =16 m +1 > 0设、，由í，得 ymy，2恒x= my +13344î成立，y + y = 4m ， y y = -4 ，由韦达定理得121 2( )()2由弦长公式可得 AB = 1+ m y - y = 1+ my + y - 4y y = 4 m +122212121 28 分ìx2y2( )2ï +=13m + 4 y +6my -9 = 0由 í 4 3，得2，ïx = my +1î( ) ( )D = 36m +36 3m + 4 =144 m +1 > 0222恒成立.6m9y + y = -y y = -由韦达定理得，3m + 43m + 434234212 ( )12 m +12( )由弦长公式得= 1+- = 1+y yy y+- 4 =y y.2CDm2m23m + 4343434210 分( )4 m +123 + 4m4 4= m + ³SSAB2= ( ) =PAB212 1+ m233 3 ，CDPCD3m + 42当且仅当m= 0时，等号成立.12 分S4因此， 1 的最小值为 .S3221.(1)a £ 0,(0,1) (1,+¥)a > 01 a = 2,(0, +¥)2 0 < a < 2,(0,1) (1, ) ( 2,+¥)2aa2) ( 2,1) (1,+¥)3 a > 2,(0,aa3 1x + +x x25(2)原不等式等价于- ln x - >0-22x3111é ùéùx - ln x ³1 ，令 t = Î ,1， ( ) = -2 + + 3 ， '( ) = -6 + 2 + 3 存在 Î ,1 使得s tttts tttt322êúêú202ë ûx ëû133 12 3æ ö-6t + 2t + 3 = 0 ， s= ,s(1)= 2 ，所以 +- ³ ，因为等号不同时取，所以20ç ÷2è ø220x x2 x33 1x + +x x25- ln x - > 023-2x22.(1)过焦点(1,0)41æ3ö4SABsin a(2)设倾斜角为 ，则=212=+1 ³a1ç÷3è sinaø 3SCD224 - cos a213