等比数列前n项和-(公开课教案).docx
§6.3.3 等比数列的前 n 项和（一）教学目的：1掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题教学重点：等比数列的前 n 项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1 课时教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一、复习：首先回忆一下前两节课所学主要内容：1等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母 q 表示（q0），即：a a 成等比数列ÛÎ N +,q0）n+1 =q（ nann“ a 0”是数列a 成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。nn2. 等比数列的通项公式:a = a ×qn-1 (a ×q ¹ 0) ， a = a ×qm-1 (a ×q ¹ 0)n11nm13既是等差又是等比数列的数列：非零常数列4等比中项：G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=±（a,b 同号）.ab5性质：若 m+n=p+q， a ×a = a ×amnpq6判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法= 5×3n-1 ，与公式 a = a ×q (a ×q ¹ 0)比较我们可以如： 有一个数列满足a-1nnn11= 5,q = 3判断出这个数列为等比数列且a1。二、讲解新课：*创设情境 兴趣导入第 1 页（共 4 页） 【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨班达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒，在第二个格子内放上 2 颗麦粒，在第三个格子内放上 4 颗麦粒，在第四个格子内放上 8 颗麦粒，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的 2 倍的规律，放满棋盘的 64 个格子并把这些麦粒赏给您的仆人吧”国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放 1 粒，第二个格内放 2 粒，第三个格内放 4粒，第四个格内放 8 粒，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为 1，公比为 2 的等比数列，大臣西萨班达依尔所要的奖赏就是这个数列的前 64 项和*动脑思考 探索新知如何求数列 1，2，4，262，263 的各项和以 1 为首项，2 为公比的等比数列的前 64 项的和，可表示为：S =1+ 2 + 4 + 8L+ 262 + 26364= 2 + 4 +8 +16L+ 2 + 22 S636464= 2 -1由可得：S6464这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法nS =或11n1- q1- qnn当 q=1 时， Sn1当已知a , q, n 时用公式；当已知a , q,时，用公式.a11n公式的推导方法一：一般地，设等比数列a,a + a ,La L它的前 n 项和是123nS = a + a + a +Lan123nì = + + +LSa a aa由 ín123na = a qîn-1n1ì = +a a q a q+ïS2La qn-2 a qn-1得 í11111nï=+qSa q a q a q La q23n-1a q1înn1111第 2 页（共 4 页） (1- q)S = a - a qnn11a (1- q )a - a qnS =当 q¹ 1时， S =或11n1- q1- qnn= na当 q=1 时， Sn1公式的推导方法二：S = a + a + a +La a + q(a + a + a +La )n123n1123n-1+ qSa + q(S - a ) a1n-11nnÞ (1- q)S = a - a q （结论同上）n1n“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为1(1- 2 )64S = 264 -1 »1.84´10 ，19641- 2据测量，一般麦子的千粒重约为 40g ，则这些麦子的总质量约为 7.36×1017g，约 合7360多亿吨我国2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！*巩固知识 典型例题例 5 写出等比数列1,-3,9,-27,L的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和- 3=1,q = -3，所以等比数列的前 n 项和公式为解 因为a111´1- (-3) 1- (-3)nnS =n=，1- (-3)41- (-3)8故= -1640 S84例 6 求等比数列 1，2，4，从第 5 项到第 10 项的和.解 由a =1,a = 2 得q = 2121´ (1- 2 )1´ (1- 2 )410S = 15， S = 10231- 21- 2410第 3 页（共 4 页） 从第 5 项到第 10 项的和为S - S =1008104例 7 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？解 根据题意可知，获知此信息的人数成首项 =1, = 2的等比数列aq11- 2241- 2= 2 -1 = 1677721（5 人）则：一天内获知此信息的人数为：S24241- 232= 2 -1 = 429496729（5 人） S321- 2321- 2331- 2S = 2 -1 = 858993459（1 人）3333最快 33 个小时全球人都知道这个消息。*运用知识 强化练习练习 6.3.31 2 4 81求等比数列 ， ， ， ，的前 10 项的和9 9 9 92已知等比数列a 的公比为 2， S ，求 S n48*归纳小结 强化思想= na1. 等比数列求和公式：当 q=1 时， Sn1a - a qa (1- q )nS =当 q¹ 1时， S =或；1n11- q1- qnn2这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题 63A 组（必做）；教材习题 63B 组（选做）*教学反思第 4 页（共 4 页）(1- q)S = a - a qnn11a (1- q )a - a qnS =当 q¹ 1时， S =或11n1- q1- qnn= na当 q=1 时， Sn1公式的推导方法二：S = a + a + a +La a + q(a + a + a +La )n123n1123n-1+ qSa + q(S - a ) a1n-11nnÞ (1- q)S = a - a q （结论同上）n1n“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为1(1- 2 )64S = 264 -1 »1.84´10 ，19641- 2据测量，一般麦子的千粒重约为 40g ，则这些麦子的总质量约为 7.36×1017g，约 合7360多亿吨我国2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！*巩固知识 典型例题例 5 写出等比数列1,-3,9,-27,L的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和- 3=1,q = -3，所以等比数列的前 n 项和公式为解 因为a111´1- (-3) 1- (-3)nnS =n=，1- (-3)41- (-3)8故= -1640 S84例 6 求等比数列 1，2，4，从第 5 项到第 10 项的和.解 由a =1,a = 2 得q = 2121´ (1- 2 )1´ (1- 2 )410S = 15， S = 10231- 21- 2410第 3 页（共 4 页） 从第 5 项到第 10 项的和为S - S =1008104例 7 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？最快几小时全球（67.6亿）人都知道这个消息？解 根据题意可知，获知此信息的人数成首项 =1, = 2的等比数列aq11- 2241- 2= 2 -1 = 1677721（5 人）则：一天内获知此信息的人数为：S24241- 232= 2 -1 = 429496729（5 人） S321- 2321- 2331- 2S = 2 -1 = 858993459（1 人）3333最快 33 个小时全球人都知道这个消息。*运用知识 强化练习练习 6.3.31 2 4 81求等比数列 ， ， ， ，的前 10 项的和9 9 9 92已知等比数列a 的公比为 2， S ，求 S n48*归纳小结 强化思想= na1. 等比数列求和公式：当 q=1 时， Sn1a - a qa (1- q )nS =当 q¹ 1时， S =或；1n11- q1- qnn2这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前 n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题 63A 组（必做）；教材习题 63B 组（选做）*教学反思第 4 页（共 4 页）
