江苏省徐州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题.docx

江苏省徐州市 2020-2021 学年高一上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题 = -1,0,1 N = 0,1,2 =，则M N （ ）1已知全集M，集合 1, 0 0,-1,2 -1,0,11,0,1,2ABCD(sing,tan g)g2已知点MA第一象限在第四象限，则角 在( )B第二象限C第三象限D第四象限y = log (2x -3)3函数的定义域是()13333 ,+¥)B2,+¥) ,2( ,2ACD2224九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积1所用的经验方式为：弧田面积= （弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所2围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有2p圆心角为 ，半径等于4 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是3( 3 »1.73)9A6 平方米C12 平方米B 平方米D15 平方米-25 ( , > 0)a b 得(5化简)(2a b )×(-3a b) ¸(4a b-)3-3-1-433- b232323D b27373-bA2Bb2C(x) = log (x + 3) +10¹1)的图象恒过定点 ，若角 的终边P>aa6已知函数 f( a 且apcos( +a)经过点 ，则P的值为()252 52 555ABC-D-555 DABC中， AD 为 BC边上的中线， 为边 AD 的中点，若,7在= ，AB a AC bE,b则可用 a 表示为（）EB13341341a + b4143a + b4- ba - bA aBCD)4441-sina1+ sina1+ sina1-sinaa-8若 为第四象限角，则可以化简为 (222-2tanD aABCsin cosatana二、多选题= xa的性质，描述正确的有(9下列关于幂函数 y)= -1时函数在其定义域上是减函数 B当a = 0时函数图象是一条直线= 3时函数有一个零点 0D当aA当aC当a= 2时函数是偶函数p10要得到函数 = sin(2 + ) 的图象，只要将函数 =sin x的图象()yxy3pA每一点的横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个长度31pB每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个长度261pC向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)321pD向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)26p(0, )4p11下列函数中，周期为 ，且在上为增函数的是()ppp= tan(x + )y = tan(2x + )y = cos(2x - )CA yB222p= sin(2x + )D y212下列命题中，不正确的有()的定义域是x | x £1，则它的值域是y | y £ 2= 2xA若函数 yB若函数 y= log x | £ 2，则它的定义域是 x x | 0 < £ 4的值域是 y y21x5y = x + | 0 < < 2y | y ³ ，则它的值域是C若函数的定义域是 xx2y | 0 £ y £ 9，则它的定义域一定是 | -3 £ £ 3xxD若函数 y x 的值域是2三、填空题1cos = -qtanq 的值为_.，且 为第二象限角，则13若q3 = (1,1)c = (1,k)/( + 2 )，若c a b ，则k 的值为_.14已知向量a， = (-1,1)，bpÎ0, (x) = sin x，15已知定义在 R 上的偶函数 ( ) 的最小正周期为 ，且当 xp时 ，ff x25( ) =则 fp_.3四、双空题ì1æ öx-1, x £ 0ïç ÷(x) =( ) = log ( -1) (a 1)(2019). f的值为16设函数 fíè øï2， g xxaf (x - 2), x > 0î_；若函数h(x) = f (x) - g(x)恰有3 个零点，则实数a 的取值范围是_.五、解答题= RA =x | 0 < x < 3 B = x | a £ x £ a + 2，17设全集U，集合.（1）若a= 2时，求 A B，A( B)；U= B（2）若 A B18已知函数（1）求函数 f，求实数 的取值范围.apf (x) = 2 sin(2x - ) ( Î )x R .4(x)的单调递减区间；p pÎ- , （2）当 x时，求 f (x) 的值域.8 4| a |= 3 | |= 4， b120°.19已知，且 与 的夹角为a b(1)求 × 的值；a b(2)求| a + b |的值；(2a - b) (a + kb)(3)若，求实数k 的值.20如图，在矩形中，点 是E边上的中点，点 在边CD 上.BC FABCD= BC = 2 ，点 F 是边CD（1）若 AB的靠近 的三等分点，求CAE EF×的值；= 2，当（2）若 AB =3 BC，AE BF= 0×时，求CF 的长. sin(3p -a)cos(5p +a)3pf (a) =f (a )p21已知.cos ( -a) + sin ( +a)2222p( )6（1）化简，并求f的值；的值；( )f atan = 3（2）若a，求1225a (0,p)sina cosaÎ-（3）若 f()，求的值.x2(xÎ Rx ¹ 2)(x) =22已知函数 f，且.x - 2（1）判断并证明 f(x)在区间(0, 2)上的单调性；(x) = x - 2ax与函数 f (x) 在 xÎ0,1上有相同的值域，求a 的值；（2）若函数 g2(x) = (1- 3b )x + 5b, ³1, Î0,1xÎ0,1，总存在（3）函数hbx，若对于任意21x Î0,1f (x ) = h(x )，使得成立，求 的取值范围.b212 参考答案1A【解析】【分析】根据交集定义求结果.【详解】 M Ç N = -1,0,1 Ç 0,1,2 = 1, 0故选：A【点睛】本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2B【分析】根据第四象限内点的坐标特征，再根据正弦值、正切值的正负性直接求解即可.【详解】ìsing > 0因为点 M (sing,tan g)在第四象限，所以有：íg是第二象限内的角.Þîtang < 0故选：B【点睛】本题考查了正弦值、正切值的正负性的判断，属于基础题.3D【分析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.【详解】33依题意0 < 2x -3 £1，解得< £ 2，所以函数的定义域为( ,2x.22故选：D【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4B【分析】 p在 RtAOD 中，由题意 OA=4，DAO= ，即可求得 OD，AD 的值，根据题意可求矢和6弦的值，即可利用公式计算求值得解【详解】2p如图，由题意可得：AOB=，OA=4，312p1p´4 = 2在 RtAOD 中，可得：AOD= ，DAO= ，OD= AO=，362可得：矢=42=2，3p由 AD=AOsin=4×=2 3 ，32可得：弦=2AD=2×23 =4 3，11所以：弧田面积= （弦×矢+矢 ）= （43 2 2 =4 3 + 2 9× + ） 平方米2222故答案为：B【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，考查学生对新的定义的理解，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5A【分析】利用指数运算公式，化简所求表达式.【详解】( )2× -3325依题意，原式=×a( ) ×b- +1+ = - b .3 3-3-1- -4242故选：A【点睛】本小题主要考查指数运算，属于基础题.6C 【分析】pcos( +a)根据对数型函数过定点求得 ，利用诱导公式和三角函数的定义，求得P.2【详解】( )( )，故 P-2,1f -2 = log 1+1=1依题意，由诱导公式和三角函数的定义得ap15cos( +a) = -sina = -= -.2( )5-2 +122故选：C【点睛】本小题主要考查对数型函数过定点，考查诱导公式和三角函数的定义，属于基础题.7B【分析】利用向量加法和减法的运算，求得EB 的表达式.【详解】依题意，( )11 13131EB = AB - AE = AB - AD = AB - × AB + AC = AB - AC = a - b .22 24444故选：B【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题.8D【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此得出正确选项.【详解】 1-sina1+ sina1+ sina1-sina1-sina1+ sinaa由于 为第四象限角，所以-=-1 sina+-1 sina1-sina -(1+ sina)-2sina-2sin a= -2 tana=.cosacosa1-sin a2故选：D【点睛】本小题主要考查根据同角三角函数的基本关系式进行化简求值，属于基础题.9CD【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】1 ( )x( )0,+¥-¥,0对于 A 选项， = ，在和上递减，不能说在定义域上递减，故 A 选项错y误.( )对于 B 选项， = 0， xy x¹ 0，图象是：直线 y =1并且除掉点0,1 ，故 B 选项错误.对于 C 选项， y x ，定义域为 ，是偶函数，所以 选项正确.2CR对于 D 选项， y= x3，只有一个零点0 ，所以 D 选项正确.故选：CD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10BC【分析】根据三角函数图象变换的知识选出正确选项.【详解】1（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左2p平移 个长度.所以 A 选项错误，B 选项正确.61p（2）先平移后伸缩时：向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍23(纵坐标不变).所以 C 选项正确，D 选项错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.11AC【分析】p(0, )对选项逐一分析函数的周期和在上的单调性，由此确定正确选项.4【详解】pp= tan(x + )的周期为 ，且在(0, )对于 A 选项，函数 y选项正确.上为增函数，符合题意，故 A24p= tan(2x + )2对于 B 选项，函数 y的周期为 ，不合题意，故 B 选项错误.2pp= cos(2x - ) = sin 2x的周期为 ，且在(0, )对于 C 选项，函数 y意，故 C 选项正确.对于 D 选项，函数 y上为增函数，符合题24pp= sin(2x + ) = cos 2x (0, )在上为减函数，不符合题意，故D 选项24错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和单调性，考查诱导公式，属于基础题.12ACD【分析】对选项逐一分析函数的定义域和值域，由此判断不正确选项.【详解】在定义域x | x £1上为增函数，而= 2x2 > 0x | 0，所以值域为 y< £ 2，对于 A 选项，yy所以 A 选项不正确.对于 B 选项，函数y= log x | £ 2的值域是 y ylog x £ 2 0 < £ 4，则 由 得 x ，所以函数22的定义域是x | 0 < x £ 4，所以 B 选项正确.5=1时 y = 2，所以函数的值域不是 y y | ³ ，所以 C 选项不正确.对于 C 选项，当 x2 对于 D 选项，函数 y x2的值域是y | 0 £ y £ 9，它的定义域可能是x | 0 £ x £ 3，所以 D 选项不正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题.13 -2 2【分析】根据同角三角函数的基本关系式首先求得sin q 的值，进而求得tan q 的值.【详解】12 2cos = -q，且q 为第二象限角，所以sinq = 1- cos2q =由于，所以33sinqtanq = -2 2.cosq故答案为：-2 2【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式求值，属于基础题.-314【分析】先求得 +2b，然后根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得 的值k.a【详解】( )/ / + 2c a b( )+ 2b = -1,3( )1´3-k ´ -1 = 0依题意 a，由于，所以，解得k= -3.故答案为：-3【点睛】本小题主要考查向量加法和数乘的坐标表示，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.3152【分析】5pp( p) = f (- ) = f ( )由题周期性和偶函数的性质可得 f.333 【详解】定义在 上的偶函数 f(x)p的最小正周期为 ，R535ppp3 f (p)= f( p 2p)-= f -()= f( ) = sin=.333323故答案为：.2(ù3, 516133û【分析】( )f x( )f 2019( )f x根据分段函数的解析式，求得的值. 求得的部分解析式，由此画( ) ( )3两个函数图象，根据两个函数图象有 个交点，确定 的取值范围.f x g x和a出【详解】1æ ö-1( ) ( )( )2019 = f 2017 = = f -1 =-1=1. fç ÷2è ø1æ öx-2( ) ( )-2 < x - 2 £ 0，所以 f x= f x - 2 =当0 < x £ 2时，-1.ç ÷2è ø1æ öx-4x-6x-8( ) ( )0 < - 2 £ 2= f x - =，所以 f x2 < x £ 42-1.-1.-1.当当时，xç ÷2è ø1æ ö( ) ( )= f x - =，所以 f x4 < x £ 6时， 2 < - 2 £ 42xç ÷2è ø1æ ö( ) ( )6 < x £ 84 < x - 2 £ 6，所以 f x= f x - 2 =当时，ç ÷2è ø( ) ( )( )log 4 -1 = 3,a = 3f x g x和3画出两个函数图象如下图所示，由，由a( )log 6 -1 = 3,a = 53(3.由图可知，当两个函数图象有 个交点，也即函数aùh(x) = f (x) - g(x)33, 5ûa恰有 个零点时， 的取值范围是 33(ù3, 5故答案为：（1）1 ；（2） 33û 【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17（1）= (0,4 ，() = (0,2) ；（2）a (0，1)ÎA BABU【分析】( B)U（1）根据集合交集、并集和补集的概念和运算，求得A B， A.= BB Í A，由此列不等式来求解出a 的取值范围.（2）根据 A B可知【详解】（1）由a= 2知，B= 2,4= (0,4所以 A B，= (-¥,2) (4,+¥)且 BU，( B) = (0,2)U所以 A= BB Í A¹ f，（2）由若 A B知，显然B所以 >0 且 2<3，解得 Î(0，1)aaa【点睛】 本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.3p7p18（1） + p, + p, Î ；（2）kk k Z- 2,188【分析】（1）根据三角函数单调区间的求法，求得( )f x的单调减区间. ( )f xéù- ,（2）根据三角函数在给定区间上值域的求法，求得在区间上的值域.êú8 4ëû【详解】pp 3p1）由 +2kp2x - +2kp,k ÎZ（得，2423p7p+kp x +kp,k ÎZ，883p7p(x) + p, + p, Î所以函数 f单调递减区间为kk k Z ；88p pÎ- , pp p- 2x - ，（2）当 x时，8 424 4p2所以 -1sin(2 - )，x42p- 2 2 sin(2x - )1从而4(x) 的值域是- 2,1所以函数 f【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间和值域的求法，属于基础题.6-619(1)【分析】（1）利用向量数量积公式，计算出 × .；(2)；(3)137a b（2）利用平方再开方的方法，结合向量数量积运算，求得| + |的值.a b（3）根据两个向量垂直，数量积为零列方程，解方程求得 的值.k【详解】1×b = a b cos120 = 3´4´(- ) = -6（1） a；2 （2）| a + b | =a b 2( + ) =2 + 2 × + 2 = 13 ；a a b b(a + kb )（3）因为(2a - b) ，所以(2a - b)× (a + kb) = 0，即 2 2 + 2 × - × - 2 = 0，aka b a b kb6，解得 k = 718 - 6(2k -1)-16k = 24 - 28k = 0【点睛】本小题主要考查向量数量积、模的运算，考查两个向量垂直的表示，属于基础题.132 33-20（1）；（2）【分析】建立平面直角坐标系., F（1）根于已知条件求得E 两点的坐标，进而求得AE EF×的值.（2）设出 F 点的坐标，利用AE BF×= 列方程，解方程求得F 点的坐标，进而求得CF0的长.【详解】y所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)以 AB 所在直线为 x 轴，AD= BC = 2C D ，(2,0), (2,2), (0,2)（1）当 AB因为点 E 是时， BE (2,1)边上的中点，所以，BC又因为点 F 是CD 上靠近 的三等分点，C4( ,2)所以 F，32= (2,1),EF = (- ,1)所以 AE所以 AE（2）当 AB，3213× EF = 2´(- ) +1´1= -；3= 3, BC = 2C D( 3,0), ( 3,2), (0,2) ，时，B所以 E( 3,1)( ,2)，设 F t，则t= ( 3,1),BF = ( - 3,2) ，AE 3= 0得，3(3) +1´ 2 = 0 ，t=由AE BF×t-，332 3所以 DF =，所以CF CD DF=-=33【点睛】本小题主要考查利用坐标法求解向量数量积、点的坐标的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.3375-21（1） sin cos ， -；（2）；（3）104【分析】æ ö6è ø( )a（1）利用诱导公式化简f表达式，并求得 ç ÷ 的值f.( )a( )a（2）利用齐次方程的方法，将值.f的表达式化为只含tan af的形式，由此求得的（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得(sina - cosa)2的值，根据sina -cosa的符号，求得sina -cosa【详解】的值.sin ( cos)sin cos ()sin cos，（1）由 f22ppp3所以 ( )sin cos；f6664sin cossin cos tan3f ()sin cos（2）；tan 1102221212253）由 ()得，sin cos0，（又f25pa (0,p)sina - cosa > 0，Îa ( ,p)，所以 Î，所以2 12 4925 25(sin cos)2 =1 - 2sincos =1+ 2又，7所以sina - cosa =.5【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2,+¥)22（1）见解析；（2） =1；（3）a【分析】( )f x（1）利用单调性的定义证得在(0, 2)上的单调性.( ) ( ) 0,10,1上的值域，由此求得a 的值.（2）根据f x在上的单调性，求得f x在( ) 0,1（3）由（1）求得f x在上的值域，由此列不等式，解不等式求得 的取值范围.b【详解】( ) ( ) x1x222在区间(0, 2)上为减函数.任取0 < < < 2 f x - f x =x x，-（1）f(x)x- 2 x - 2121212( )( ) ( )( )x x - 2 - x x - 2- x - x - xx x x1 22122222=21121( )( )( )( )x - 2 x - 2x1-2 x - 2122( ) ( )( ) ( )( )- xx x x - x - x + x x - xéx x - 2 - 2x ù xëû=0 < < < 21 212121212212 ，由于x x,( )( )( )( )x - 2 x - 22 x - 2x -121212( )x - 2 < 0, x - 2 < 0, x - x < 0 x x -2 -2x < 0，所以1212122( ) ( ) ( ) ( )( )f x 在(0, 2)f x - f x > 0, f x > f x，所以上递减.1212( ) ( ) Î -1,0.0,1-1, 0Î 0,1g x时，（2）因为( )f x在上递减，所以其值域为，即x( ) ( ) ( )g 1 g a . g 1 = -1或 若 ，则g 0 = 0因为为最大值，所以最小值只能为12ììa ³1a£ £1í( )= -1，则í.若 g aï.综上所述， =1.,a =1,a =1a1- 2a = -1îï-a2 = -1î ( ) ( ) ( )0 = 5b，1 Î 0,10,1上递减，所以0,1³，xh xh x上的最大值为h（3）当b时，在在 ( )ì 0 ³ 0ïhïh 1 £ -1î( )( ) -1,0h 1 =1-3b +5b .f x0,12最小值为由（2）知在上的值域为.所以 ( )í，5b ³ 0ìï所以 í1-3b2 + 5b £ -1，解得b ³ 2.ïb ³1î【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查函数值域问题，考查恒成立问题与存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12 4925 25(sin cos)2 =1 - 2sincos =1+ 2又，7所以sina - cosa =.5【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2,+¥)22（1）见解析；（2） =1；（3）a【分析】( )f x（1）利用单调性的定义证得在(0, 2)上的单调性.( ) ( ) 0,10,1上的值域，由此求得a 的值.（2）根据f x在上的单调性，求得f x在( ) 0,1（3）由（1）求得f x在上的值域，由此列不等式，解不等式求得 的取值范围.b【详解】( ) ( ) x1x222在区间(0, 2)上为减函数.任取0 < < < 2 f x - f x =x x，-（1）f(x)x- 2 x - 2121212( )( ) ( )( )x x - 2 - x x - 2- x - x - xx x x1 22122222=21121( )( )( )( )x - 2 x - 2x1-2 x - 2122( ) ( )( ) ( )( )- xx x x - x - x + x x - xéx x - 2 - 2x ù xëû=0 < < < 21 212121212212 ，由于x x,( )( )( )( )x - 2 x - 22 x - 2x -121212( )x - 2 < 0, x - 2 < 0, x - x < 0 x x -2 -2x < 0，所以1212122( ) ( ) ( ) ( )( )f x 在(0, 2)f x - f x > 0, f x > f x，所以上递减.1212( ) ( ) Î -1,0.0,1-1, 0Î 0,1g x时，（2）因为( )f x在上递减，所以其值域为，即x( ) ( ) ( )g 1 g a . g 1 = -1或 若 ，则g 0 = 0因为为最大值，所以最小值只能为12ììa ³1a£ £1í( )= -1，则í.若 g aï.综上所述， =1.,a =1,a =1a1- 2a = -1îï-a2 = -1î ( ) ( ) ( )0 = 5b，1 Î 0,10,1上递减，所以0,1³，xh xh x上的最大值为h（3）当b时，在在 ( )ì 0 ³ 0ïhïh 1 £ -1î( )( ) -1,0h 1 =1-3b +5b .f x0,12最小值为由（2）知在上的值域为.所以 ( )í，5b ³ 0ìï所以 í1-3b2 + 5b £ -1，解得b ³ 2.ïb ³1î【点睛】本小题主要考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查函数值域问题，考查恒成立问题与存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.