2020届山东省临沂市高三上学期期末考试数学试题(教师版).docx

高三期末检测数学考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷一、单项选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.( )( )A = x x -1 x - 6 > 0 B，= x 2 - x > 0I =A B1.设集合，则（） x x > 6x 1< x < 2 x x <1x 2 < x < 6A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】I B解出集合 、 ，然后利用交集的定义可得出集合 A.ABB x 2 x 0 ( )( )Q A = x x -1 x - 6 > 0 = x x <1 x > 6=- > =<x x 2，【详解】或， AÇ B = x x <1因此，故选：C.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.zi= a +bi (a,bÎR )= +，定义 z b ai .若=，则 z （2.设复数 z）D.1+ i 2 -i1 31 3- i5 53 13 1- - i5 5- + i5 5- + iC.5 5A.B.【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法计算出 ，再根据定义求出 .zz ( )( )( )2 -i 2 + ii(1+ i) 2 + i (-1+ )(2 + )i(1+ i)2 -iii3 1= - + i5 5ziz =【详解】解：因为，所以，51+ i 2 -i1 3= - i5 5则 z.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.3.“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（）A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】AB. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，即可判断它们之间的关系.【详解】解：因为烟台是山东省的一个地级市，所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件，属于基础题.( )f x = 2 - 2x x（< 04.函数）的值域是（）( )1,2( )1,+?( )-¥,2( )0,2A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据定义域，结合指数函数的性质，可得 的取值范围，即可求出函数的值域.2 x【详解】解：Q x < 0，0 < 2 <1 ，x-1< -2 < 0x1< 2 - 2 < 2 .x( )( )f x = 2-2x Î 1,2即 故选：A【点睛】本题考查函数值域的计算，属于基础题.æö16-5. 2xè的展开式的中间项为（）ç÷4x ø3A. -40B. -40x2C. 40D. 40x2【答案】B【解析】【分析】æöæö16( )1k-öT = C 2x-根据二项式定义可知 2x一共有 项，通项为76-k可知第 项为中间项，4ç÷kç÷è4x øk+1è4x ø633计算可得.æçæö116( )k-T = C 2x-【详解】解： 2xè的展开式的通项为6-k÷kç÷4x øk+1è4x ø633æö3æ1 ö11= C (2x) -= 20´2 ´ - ´ x3- ´3 = -40x3则中间项为T.ç÷3ç÷233è4x øè4 ø463故选：B.【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A- BCD，BC CD，且AB CD=BC = 2，3 ，O的每个顶点都在球 的球面上，AB 底面=BCD利用张衡的结论可得球O的表面积为（）A. 30B. 10 10C. 33D. 12 10【答案】B【解析】【分析】由BC CD, AB BC, AB CD判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得 的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.【详解】因为BC CD，所以BD = 7 ，又AB 底面，BCD所以球O的球心为侧棱的中点，AD 从而球O的直径为 10 .p 2 5=16 8=10 ，利用张衡的结论可得，则pæçèö210pp=10 =10 10.所以球 的表面积为4 ç÷O÷2ø故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.如图，在等腰直角DABC中， D ， E 分别为斜边的三等分点（ D 靠近点 ），过 E 作B的垂线，ADBCuuurAF垂足为 ，则F= （）uuurA. ABuuur+ ACuuuruuur31251AB + ACB.D.555uuurAB + AC15uuuruuurABuuur+ AC154884C.1515【答案】D【解析】【分析】设出等腰直角三角形 ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 cosÐDAE，由此得到uuuruuuruuuruuuruuur uuurAB, AC44AF = AD ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 AF = AD 表示为以为基底来表示55的形式.【详解】设 BC= 6，则 AB= AC = 3 2, BD = DE = EC = 2，10 +10 - 4 4AD = AE = BD + BA - 2BD× BA×cos= 10 ，cosÐDAE =，222´1054uuurAF = AD.uuurAF AF 44=所以，所以AD AE 5uuur uuur5( )uuur uuuruuur uuuruuuruuur11321= AB + BC = AB +AC - AB = AB + AC ，因为 AD333 uuurAF = ´uuuruuuruuuruuur4 æ 21ö 8AB + AC = AB + AC.4所以ç÷5 è 33ø 1515故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.ppæöww对称，则 的最小值为（f (x) = 2cos 2 x -> 0)的图象关于直线 x=(w8.已知函数ç÷）è12 ø41A.1B.4C.5D.3636【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化简，再根据余弦函数的性质解答.ppö÷，6 øæçèöæQf (x) 2cos=w -f (x) 1 cos 2 x= +w -x【详解】解：÷ ，ç212 øèppæçèöf (x) = 2coswx -=又因为÷ 的图象关于x对称，212 ø4p p1w所以 2p´ - = k (k ÎZ)4 6= 2k + (k ÎZ)w，即，31，所以 的最小值为 .w> 0因为w3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换以及余弦函数的性质，属于基础题.二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示. 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（） )90,100A. 他们健身后，体重在区间内的人增加了 2 个B. 他们健身后，体重在区间100,110)内的人数没有改变C. 他们健身后，20 人的平均体重大约减少了8 kgD. 他们健身后，原来体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据所给条件分析三维饼图即可得出结论. )90,100【详解】解：体重在区间正确；内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，故人增加了 2 个 ，故A他们健身后，体重在区间100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，故 正确；B他们健身后，20 人的平均体重大约减少了() ()0.3´95+ 0.5´105+ 0.2´115 - 0.1´85 + 0.4´95 + 0.5´105 = 5 kg，故 错误；C因为图（2）中没有体重在区间110,120)内的比例，所以原来体重在区间 110,120)内的肥胖者体重都有减少，故 正确.D 故选：ABD【点睛】本题考查根据统计图表分析数据，属于基础题.10.若10 = 4 ，10b= 25，则（）a+b = 2- =B. b a 1>C. ab 81g 2b a lg6- >D.A. a2【答案】ACD【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.a= lg4 b = lg 25，【详解】解：由10 = 4 ，10= 25，得，则aba + b = lg 4 + lg 25 = lg100 = 2，25b - a = lg 25- lg4 = lg，425Q lg10 =1> lg > lg64b - a > lg6ab = 4lg 2lg 5 > 4lg 2lg 4 = 8lg 2，2故正确的有： ACD故选：.ACD【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.( )+1 + y =上的动点， 是圆 D： x15x211.已知 P 是椭圆 C：+ y =1Q2上的动点，则（）226A. C 的焦距为530B. C 的离心率为6C. 圆 D 在 C 的内部2 55D. PQ 的最小值为【答案】BC【解析】 【分析】对各选项逐项分析即可得解x2【详解】解：Q+ y =126=1a = 6 ，bc56306c = a -b = 6-1 = 5 ，则 C 的焦距为2 5 ， =e=.22a( )P x, yx ），- 6 £ £ 6设（x 5 æ 6 ö4 4 1+ ³ >5 5 52( )( )2= x +1 + y = x +1 +1- = x +则 PD222，2çè÷6 65ø4155所以圆 D 在 C 的内部，且故选：BC.PQ的最小值为-=.55【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，圆与椭圆的关系，属于基础题.( )的定义域为-2p,2p )，则（f x = x + sin x - xcos x12.已知函数）( )f xA.B.C.D.为奇函数( ) )f x0,p上单调递增在( )f x恰有 4 个极大值点( )f x有且仅有 4 个极值点【答案】BD【解析】【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.( )的定义域为-2p,2p )，所以f x( )f x【详解】解：因为是非奇非偶函数，( )Q f x = x +sin x - xcosx ( )() f ¢ x =1+ cosx - cosx - xsin x =1+ xsin x， )x 0,p时， )( )( )¢ >f x 0f x0,p当，则在上单调递增.( )¢ ¹f 0 0( )¢ =f x 0，得sin x1= -显然，令，x-)p p2 ,21= -= sin x y，分别作出 y在区间上的图象，x)p p-2 ,2由图可知，这两个函数的图象在区间上共有 4 个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故( ) )( )f x只有 2 个极大值点.p p-2 ,2f x在区间上的极值点的个数为 4，且故选：BD【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.第卷三、填空题：本题共 4 小题.9x +x =_.13.当x +1取得最小值时， 【答案】4【解析】【分析】99x +x += x +1+= x +1+-1，再利用均值不等式得到答案.变换得到【详解】x +1x +199-12 9 -1= 5x +1x +19x +1=当且仅当，即 x= 4时，等号成立.x +1故答案为：4【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数 最值，意在考查学生的计算能力.y214.已知 P 为双曲线 C： x2- =1右支上一点，F ， F 分别为 C 的左、右焦点，且线段 ， 分别A A B B1的124122PF=成等比数列，则为 C 的实轴与虚轴.若A A1，B B1，_.PF1222【答案】6【解析】【分析】A A B B，A A B B ，PFPF根据双曲线方程，可得实轴，虚轴的长，再根据，成等比数列，求出1212121211PF的值，最后根据双曲线的定义求出的值.2y2Q x - =1【详解】解：24 A A = 2a = 2 B B = 2b = 4，1212Q A AB B1PF成等比数列，1221 A A × PF = B B2 ，12112PF = 8解得，1 PF = 8-2a = 62 故答案为：6【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.15.现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于 3 本的概率是_.2【答案】5【解析】【分析】将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举出来，再根据古典概型的概率计算公式计算可得.【详解】解：将甲、乙、丙三人分得的书的数量用树状图列举如下：6 2故所求概率P = =.15 525故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.- A B C D=AA 的中点，且平面BEF与DD16.在正方体ABCD中，E为棱CD上一点，且CE 2DE ，F为棱111111DGAH= _.交于点G，与交于点H，则DD _，HCAC1111638【答案】(1).(2).【解析】【分析】DGDDAF DG=AB DE=，又CE 2DE ，则由线面平行的性质可得BF/GE ，即可得到可求. 连接AC交BE于M，1过M作MN/CC MN， 与1交于 ，连接F M，则 为 与NH FM的交点，根据三角形相似可得线段的比.ACAC11Q ABCD - A B C D【详解】解：是正方体1111 面A B BA/ 面C D DC1111Q BF Ì A B BA面11 BF/平面CDD C1，1BFGEI面C D DC GE=Q面11DG 1=DD 6AF DG=AB DEDG 1=DE 2=，又CE 2DE ，则则 BF/GE ，则，即.1连接 AC 交 BE 于 M，过 M 作MN /CC MN， 与1交于 ，连 接 FM，则 为NH FM与的交点.因为AB/CE，ACAC11AN AM 3=NCMN 3=AH 3=HC 8AM AB 3MN 6 HN= =FA 5 AH=MC 2=MC CE 2所以，则.所以，所以，故.CC51111故答案为： ；368【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.3512 55=+c 2= ，cos A =，17.在cos A，cosC=，csinC sin A bsin B B = 60o，三个条件8中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若a = 3，_，求V ABC的面积 S.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】若选，首先根据同角三角函数的基本关系求出 sin ，sinC ，再根据两角和的正弦公式求出 sin B ，由A正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin ，最后由面积公式求出三角形的面积.A【详解】解：选 352 55=cos Asin A=，cosC，455，sinC=，5( )sin B = sin A+C = sin AcosC + cos AsinC4 2 5 3 5 11 5= ´+ ´，5 55 52511 53´asin Bsin A33 52025=由正弦定理得b，451133 5205 99´ =5 40= absinC = ´3´ S.22选= sin A+bsin BcsinC，.= a + b由正弦定理得c22= 3 a，b = c - 3.22又 B= 60o，1= c + 9 - 2´3´c´ = c -3b2，222 = ，c 41= acsin B = 3 3 S.2选 c18= 2=，cos A，+ 2 -32b1 b=822 由余弦定理得，即 2b- -5 = 0，2b´225=解得b或 = - （舍去）.b 223 78sin A = 1- cos A =，2 121 5= ´ ´ ´3 7 15 7V ABC的面积 S=.bcsin A22 28169940故答案为：选为；选为3 3；选为15 7.16【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.uuur uuuruuuruuur= (3n +1,3) BC = (0,3n - 2) a = AB× AC18.设nÎ N ，向量 AB，.*n（1）试问数列是否为等差数列？为什么？a-an+1nì ü1（2）求数列í ý的前n 项和 .Saî þnnn【答案】（1）是等差数列,理由见解析；（2）a-a12n +16n+1n【解析】【分析】uuurAC a(1)先求解出的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出的通项公式，再根据定义判断n是否为等差数列；a - an+1nì ü1(2)根据(1)中结果求出í ý的通项公式，然后根据裂项相消法求解出 的表达式.Saî þnnuuur uuur uuurQ【详解】（1） AC AB BC (3n 1,3n 1)，=+=+a = (3n +1) + 3(3n +1) = (3n +1)(3n + 4).2nQ a - a = (3n + 4)(3n + 7) - (3n +1)(3n + 4) = 6(3n + 4)，n+1n() () a -a - a -a =18为常数，n+2n+1n+1n a - a是等差数列.n+1n1 1 æ 11 ö（2）Q=-ç÷ ，a 3è 3n +1 3n + 4 øn1 æ 1 1 1 111 ö 1 æ 11 önS =- + - +L +-=-=ç÷ç÷.3n+1 3n + 4ø3 4 3n + 4 12n +16è øn 3è 4 7 7 10 【点睛】本题考查向量与数列的综合应用，难度一般.(1)等差数列常用的证明方法：<1>定义法：根据 aa - a = daa + a = 2a( 是常数)，证明等差数列.<2>等差中项法：当d满足时，可证明为n+1nn+2nn+1nn11111 æ 11 ö= -=-÷、( )n n +1 n n +1 2n( )( )ç等差数列；(2)常见的裂项相消类型：、-1 2n +1 2 2n -1 2n +1èø1nn=+ 1 -.nn+ 1 +19.某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表. ) ) ) ) ) 0,1515,3030,4575,90购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成 ´ 列联表，并判断是否有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.2 2男女18合计p（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60 元可抽奖 3 次，每次中奖概率为 （每p次抽奖互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元.若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 （元）的分布列并求X其数学期望.()2n ad -bc= + + +， n a b c d .附：参考公式和数据：K2( )( )( )( )a + b c + d a + c b + d附表：k2.0722.7063.8416.6357.8790 ( )P K k0.1500.1000.0500.0100.00520【答案】(1)见解析，有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】1440K2 => 3.841得到答案.（1）完善列联表，计算2471(，分别计算P X 65) 1 () 2 () 4 () 8=，P X 70=，P X 75=，P X 80（2）先计算 p，3279927得到分布列，计算得到答案.详解】（1） ´ 列联表如下：2 2男121830402060女38合计9090´ 12´20 - 40´18)2(1440247K => 5 > 3.841，230´60´52´38因此有95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关.10 + 20 1=（2） X 可能取值 65，70，75，80，且 p.903æ 1 ö1 ( )， P X = 70 = Cæ 1 ö2 2´ = ，()32P X = 65 = C=ç ÷ç ÷332è 3ø 27è 3ø 3 931 æ 2 öP X = 75 = C ´ ´4 (æ 2 ö8()2)3= ， P X = 80 = C=，ç ÷3 è 3 ø 9ç ÷310è 3 ø 273所以 X 的分布列为 65707580( )P X14982927271248EX = 65´ + 70´ + 75´ +80´ = 75.279927【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.12 BCAP AB BC=20.如图，在四棱锥 P-ABCD中， AP 平面PCD， AD/BC ， AB，AD ，E 为AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O.（1）证明： PO 平面 ABCD.（2）求直线 BC 与平面 PBD所成角的正弦值.22【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】BE（1）通过证明平面 APC，得到 BE PO，再证 PO AC 即可证得 PO 平面 ABCD.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值.Ì ， AP CD ，【详解】（1）证明：Q AP 平面PCD，CD平面PCD1Q AD/BC,=的中点，则 BC/DE 且 BC DE.ADBCAD ，Q为E2四边形 BCDE为平行四边形， BE/CD，.AP BE1又Q AB BC,AB BC= AD ，且 E 为 AD 的中点， 四边形 ABCE为正方形， BE AC，又2AP I AC = A, BE 平面APC， PO.Q PO Ì 平面 APC，则 BE Q AP PCD,PC 平面Ì， AP PC ，平面PCD又=2AB 2AP=，DPAC为等腰直角三角形，ACQ O 为斜边 AC 上的中点，PO ACI= 且 AC BE O, PO平面ABCD.（2）解：以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示=1，则B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,1), D( 2,1,0)-,不妨设OBuuur则 BCuuuruuur= (-1,1,0), PB = (1,0,-1), PD = (-2,1,-1).r设平面 PBD 的法向量为n = (x, y, z) ，uuuvvì则 ívîn，ì - =x z 0,n × PB = 0uuuv× PD = 0， -2x + y - z = 0,即 íîì = ,x z即 íîy = 3z,r令 z=1，得 n = (1,3,1).设 BC 与平面所成角为q ，PBDuuur r-1´1+ 3´1+ 0´122则sinq = cos < BC,n > =.( )1 + 3 +1 -1 +12112222【点睛】本题考查线面垂直，线面角的计算，属于中档题.= 2 px> 0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两.21.如图，已知点 F 为抛物线 C： y2（ pMN =16点，且当直线 l 的倾斜角为 45°时， （1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.( )P= 8x【答案】（1） y（2）存在唯一的点2-2,0，使直线 PM，PN 关于 x 轴对称【解析】【分析】p= x -（1）当直线l 的倾斜角为 45°，则l 的斜率为 1，则直线方程为y，联立直线与抛物线方程，利用2x + x = 3p= x + x + pMN，求出 p 的值，即可得到抛物线方程.韦达定理可得，根据焦点弦公式1212( )P a,0( )y = k x - 2 k ¹ 0），当直线 不与 轴垂直时，设 的方程为 （2）假设满足条件的点 P 存在，设lxlk + k = 0联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN 关于 x 轴对称，所以，即可PMPN求出 a 的值. 当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线 l 的倾斜角为 45°，则l 的斜率为 1，æ p ö,0 ÷ ，lpQ= -y xFç的方程为.è 2 ø2ìpïy = x - ,p2由 í2 得 x2y = 2px,-3px += 0.4ïî 2( ) ( )M x , yN x , yx + x = 3p设，则，112212MN = x + x + p = 4p =16 p= 4，12= 8x抛物线 C 的方程为 y2.( )P a,0( )F 2,0，（2）假设满足条件的点 P 存在，设，由（1）知( )y = k x - 2 k ¹ 0（当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为），( )( )ì =y k x 2 ,-k x- 4k +8 x + 4k = 0í由得2222，y2 = 8x,î( )2D = 4k