高中数学必修一【新教材精创】-函数的应用(一)-教学设计()人教A版高中数学必修第一册公开课教案课件.docx

3.4 函数的应用（一） 客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.课程目标1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题； 2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性 数学学科素养1.数学抽象：总结函数模型； 2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数； 3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值. ； 4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题； 5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。 重点：运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入我们学习过了一次函数、二次函数、分段函数等都与现实世界有紧密联系，请学生们举例说明与此有关的生活实例.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、 预习课本，引入新课阅读课本93-94页，思考并完成以下问题1.一、二次函数、反比例函数的表达形式分别是什么？ 2.分段函数模型的表达形式是什么？ 3.解决实际问题的基本过程是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、 新知探究1常见的数学模型有哪些? (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0); (2 )反比例函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0); (3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0); (4)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行? 提示:第一步:分析、联想、转化、抽象; 第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题; 第三步:解答数学问题,求得结果; 第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解. 四、典例分析、举一反三题型一 一次函数与二次函数模型的应用例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒() A.2 000套B.3 000套 C.4 000套D.5 000套 (2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. 求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; 当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1）D （2）见解析【解析】(1)因利润z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,由z0解得x5 000,故至少日生产文具盒5 000套. (2)根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50x55,xN). 因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50x55,xN). 因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 解题技巧：（一、二次函数模型应用）1.一次函数模型的应用 利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 2.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法: 买一个茶壶赠一个茶杯; 按总价的92%付款. 某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠? 2、某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t 吨(0t24). 从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨? 若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象. 【答案】见解析【解析】1. 解:由优惠办法可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x4,且xN). 由优惠办法可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x4,且xN). y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN), 令y1-y2=0,得x=34. 所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同; 当4x<34时,y1<y2,即优惠办法更省钱; 当x>34时,y1>y2,优惠办法更省钱. 2. 解:设t小时后蓄水池中的存水量为y吨, 则y=400+60t-1206t ,令6t=x,则x2=6t,即t=x26,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 当x=6,即t=6时,ymin=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨. 令400+10x2-120x<80, 即x2-12x+32<0, 解得4<x<8,即4<6t<8,83<t<323.因为323-83=8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象.题型二 分段函数模型的应用例2一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 (1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象 【解析】解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.（2）获得路程关于时间变化的函数解析式： 图像如图解题技巧：(分段函数注意事项）)1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练二1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- 12t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大? 【解析】解:(1)当0<x5时,产品全部售出, 当x>5时,产品只能售出500件. 所以, 所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值, f(x)max=10.781 25(万元). 当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计3.4 函数的应用（一）1. 函数模型 例1 例2 例3 2. 解决实际问题的基本步骤 七、作业课本95页习题3.4本节课主要就一次函数、二次函数、分段函数模型举例说明就函数的实际应用.在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？  甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。  乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。  主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？  齐：主动关好。  小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？  主持人：可以。  小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？  答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。  小记者：请这位同学谈谈好吗？  答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。  小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！  水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！  主持人：你们还有发言的吗？  答：有。  生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。  动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！  花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！  水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。  主持人：水伯伯，您这是干什么呢？  水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！  主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！  4.主持人：大家欢迎老师讲话！  同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。  5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。  6.活动效果：  此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？