2019-2020学年北京市首师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版(B).docx

2019-2020 学年北京市首师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版(B)一、单选题1已知集合 = | 2， = （| -1）（ -3）0，则 =A x x B x x xA B（ ）x xA | 1B |2 3x xC |1 3x xD | 2 或 3x xx【答案】B【解析】求出集合 ，进而可求 .A BB【详解】解：由已知得 = |1 3，B x x则 = |2 3，A B x x故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2已知命题 ： 0，方 程 - + =0 有解，则¬ 为（ ）p cx2 x cpA 0，方程 - + =0 无解 B 0，方程 - + =0cx2 x ccx2 x c有解C 0，方程 - + =0 无解 D 0，方 程 - + =0cx2 x ccx2 x c有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.第 1 页 共 17 页 【详解】命题p： c0，方程x -x+c=0 有解，则¬p 为c0，方2程x -x+c=0 无解,2故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3已知定义在 上的函数 （ ）的图像是连续不断的，Rf x且有如下对应值表：1234x（ ）f x6.12.9-3.5-1那么函数 （ ）一定存在零点的区间是（ ）f xA（-，1） B（1，2） C（2，3） D（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知，f (1)f (2) > 0, f (2) f (3) < 0, f (3) f (4) > 0由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.第 2 页 共 17 页 4下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+）上单调递减的（ ）3A =B =yy x2xC = +1y xD =-yx【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. = 在（0,+）上单调递增，故排除；y x23对B. = ，其定义域上既是偶函数，又在（0,+）上单yx调递减；对C. = +1，其为非奇非偶函数，故排除；y x对D. =- ，其为非奇非偶函数，故排除，yx故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题.5若 ，则下列四个不等式中必成立的是（ ）a bA ac bcBa bccC D ba2 b2a2+1c2 +1c【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立.【详解】第 3 页 共 17 页 A.当 时，不等式不成立；c 0B.当 时，不等式不成立；c < 0C.当 时，不等式不成立；a =1,b = -2D.因为 ，故不等式必成立，2 +1 > 0c故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.6函数 ( )= 的最大值为 （ ）xf xx +12512ABC 2D12【答案】Bx112(x) =£【解析】本小题主要考查均值定理f1x +1x +x1（当且仅 x = ，即 时取等号故选Bx =1x 7 是命题“ ，”为真命题的(³ 5"xÎ1,2)ax2 a- £ 0A充分而不必要条件C充分必要条件【答案】AB必要而不充分条件D既不充分也不必要条件 【解析】“ ，”等价于 大于等于 的最大值，a 2"xÎ 1,2x2 - a £ 0x由 的范围求得 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充x2x分条件、必要条件的定义可得结果【详解】第 4 页 共 17 页 因为“ ，”等价于 大于等于 的最大值，a 2x"xÎ 1,2x2 - a £ 0 而 ，有 ，所以 ，a³ 4"xÎ 1,2x2Î 1, 4 由 ，可得 成立，即 ， 成立；a ³ 4a ³ 5"xÎ 1,2- £ 0x2 a 反之， ， 成立，可得 ，不能推出 a³ 5"xÎ 1,2³ 4x2 - a £ 0a 是命题“ ，x" Î 1,2”为真命题的充分而不必要a ³ 5x2 a- £ 0条件，故选A【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、qp定理、性质尝试p Þ q,q Þ p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8已知奇函数 的图像关于直线 对称，且 ，y = f (x)= 2( ) = 3f mx则 的值为（ ）f (m - 4)13A3B0C-3D【答案】C【解析】由函数 的图象关于直线 对称，可得y = f (x)x= 2，再结合 为奇函数，求得 的值.f (m) = f (4 - m)= f (x)f (m - 4)y【详解】解：由函数 的图象关于直线 对称，可得y = f (x)x= 2，f (m) = f (4 - m)第 5 页 共 17 页 再结合 为奇函数，可得 (m) = f (4 - m) = - f (m-4) = 3，y = f (x)求得f (m-4) = -3，故选：C.f【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9已知函数 ( ),若对任意,且,不等f x = ax x2 -x1, x Î2,+¥)x ¹ x212( ) ( )f x - f x式恒成立,则实数 的取值范围是a> 012x - x121é1ê14é14ëAæööæçèööBCDçè,+¥÷,+¥÷,+¥÷,+¥÷ê22øëøøø【答案】D【解析】对不等式( ) ( )f x - f x进行化简，转化为a（x +x ）2112x - x12110 恒成立，再将不等式变形，得到a 恒成立，x + x121从而将恒成立问题转变成求 的最大值，即可求出ax + x12的取值范围【详解】( ) ( )f x - f x212- -+x不妨设x x 2，不等式= ax x ax1212221x - xx - x1122( )( ) ( )a x - x x + x - x - x=a（x +x ）1，21212112x - x12( ) ( )f x - f x对任意x ，x 2，+），且x x ，不等式211212x - x120 恒成立，第 6 页 共 17 页 1x x 2 时，a（x +x ）10，即a 恒成立2112x + x12x x 221114 x + x1211a ，即a 的取值范围为 ，+）；44故选：D【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为( )F x < 0( )F x( )，或是 的形式，即求的形式，即求< 0F x > 0max( )F x，求参数取值.< 0min10给定条件： ， （- ）=- （ ）； ，x Rx R f x f x000（1- ）=- （1+ ）.下列三个函数： = ， =| -1|，f x f x y x3 y xì -1,<1= x2x 中，同时满足条件的函数个数是yí- 4x + 3, x ³1îx2（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】根据条件得函数图象关于（1，0）对称，故可判断 = ；根 据 的解的情况，可判断 =| -1|；y x3-x - + x -1 = 01y x00ì -1,<1= x2x 满足.最后验证yí- 4x + 3, x ³1îx2【详解】第 7 页 共 17 页 解：令g(x) = f (1+ x)，则，g(-x) = f (1- x) = f (1+ x) = g(x)所以 为偶函数，关于 对称，g(x)(0,0)将的图象向右平移一个单位可得 的图象，故f x( )g(x) = f (1+ x)图象关于 对称，故可排除 ；(1,0)f (x)= x3y若存在一个 使得x，即，该方-x -1 + x -1 = 0-x -1 = - x -100000程无解，故 不满足，排除；y =| x -1|ì -1, <1y = íx2x对于，- 4x + 3,x ³1îx2当 时，f (-1)= (-1)2 -1= 0,- f (1)= -(1- 4 + 3) = 0，其满足，x =1画出图象如下：由图象可知，满足.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于对称是关键，属于中档题.(1,0)二、填空题2711计算+=_.20.0001-123( )-27348134【答案】【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理第 8 页 共 17 页 指数幂的运算性质化简求值.【详解】2( ) ( ) éùúû原式æ 3 ö2è ø39 13 ，1423= 0.14- 3 +=10 -9 + =4 4ê3ç ÷3êëú13故答案为： .4【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.112函数y= 2x -1+的定义域为_.x -11【答案】 ，1）（1，+）2【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围.【详解】2x -1³ 0ì1解：要使函数有意义需要 解得 且 ，x ³x¹1íîx -1¹ 021故答案为： ，1）（1，+）.2【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0 且不为1，真数大于0 等方面考虑.若函数 （ ） 在区间 ， 上的最大值为a a+213f x =x -2x+12，则 的值为a4_.【答案】-1 或1【解析】对 分类讨论，利用函数 （ ）= -2 +1 在区间af x x2 xa，a+2上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.第 9 页 共 17 页 【详解】解：由题意，当 时， ，即f (a + 2) = 4，(a + 2) - 2(a + 2) +1= 4a ³ 02；(a +1) = 4, a =12当 时， ，即f (a) = 4，a < 0a2 - 2a +1= 4；(a -1) = 4, a = -12综上知， 的值为1 或1.a故答案为：1 或1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.1如果关于 的方程 （ ） 有两个大于 的14+ -1 - =0x2 m x mx2正根，则实数 的取值范围为m_.1【答案】（-，- ）21【解析】方程有两个大于 的根，据此可以列出不等式组2求得 的取值范围即可.m【详解】解：根据题意， 应当满足条件mìïD = ( -1)2 + 4 > 0ìmmïï2 1 0m2 + >mïïíïïï1m-1 1即：，解得： ，m< ->< 0ím222ï121 1ï < -m+ (m -1)- m > 0îî4 21实数 的取值范围：（-，- ）.m21故答案为：（-，- ）.2【点睛】第 10 页 共 17 页 本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.能说明“若 对任意的 都成立，则 在15f (x) g(x)xÎ0, 2( )f x上的最小值大于 在 上的最大值”为假命题的一0,2g(x)0,2对函数可以是f (x) =_，_。g(x) =( )f x = x( )g x = x -1【答案】( )( )【解析】由不等式恒成立可设 ， ，结合单g x = x -1f x = x 调性求出其在 上的最大值，即可得到符合题意0,2【详解】( ) ( )“若 对任意的 都成立，xÎ0，2f x> g x ( ) 0,2( )则 在 上的最小值大于 在 上的最大值”，f x0,2g x( )( )可设 ， ，g x = x -1f x = x ( )显然 恒成立，且 在 的最小值为 ， 在g x( ) ( )( )0f x > g xf x0,2 的最大值为1，0,2( )( )显然不成立，故答案为 ， g x = x -1f x = x【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题ì- + 2 , £2xx x a16已知函数（ ）当a = 时，函数 的. 1 1f x( )( )f x = íî x, x > a值域是；（ ）若函数 的图像与直线 只f (x)_ 2y a=有一个公共点，则实数 的取值范围是a_. 0,1【答案】R第 11 页 共 17 页 【解析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】ì- + 2 , £12xx x（1）当a =1 时，f (x) = íî x, x >1当 时，x >1f(x) = x >1当 时，x £1f(x) = -x + 2x = -(x -1) +1£122所以函数 的值域是f (x)(1,+¥) (-¥,1= R（2）因为当 时， ，所以只需函数x > a( ) = >f x x a的图像与直线 只有一个公共点，y = af (x) = -x + 2x,( x £ a)2当 ，即 时，所以当 时，函数0 £ a £10 £ x £1-x + 2x ³ x2的图像与直线 只有一个公共点，y = af (x) = -x + 2x,( x £ a)2当 ，即 或 时，所以当 或 ，即 ，< 0x >1x>1< 0a > -x2 + x-x + 2x < xa2a从而函数的图像与直线 无公共点，y = af (x) = -x + 2x,( x £ a)2 0,1因此实数 的取值范围是a (2).0,1故答案为：(1).R【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题2x -117设关于 的不等式 的解集为 ，不等式x2Ax -a <<1x + 2的解集为 B第 12 页 共 17 页 （ ）求集合 ， ；1 A B（ ）若 ，求实数 的取值范围2 aA Í B【答案】（1），（2）B x= | -2 < < 3 0，1A= x | a - 2 < x < a + 2x【解析】（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得 且 ，解不等式得解.a - 2 ³ -2 a + 2 £ 3【详解】（1）| x - a |< 2-2 < x - a < 2 A =x | a - 2 < x < a + 22x -1<1x + 2x -3< 0x + 2(x + 2)(x - 3) < 0-2 < x < 3B =x | -2 < x < 3（2）A Í B且 ，2 £ 3a - 2 ³ -20 £ a £1+a即 取值范围为a0，1【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18已知函数 ( )().2- 2 + 3 Îbx b Rf x = x( )( )4,3若函数 的图象经过点 ，求实数 的值.f xb ( )当 时，函数 的最小值为1，求当 时， xÎ -1,2y = f xxÎ -1,2第 13 页 共 17 页 ( )函数 最大值.y = f x【答案】 2；见解析.b【解析】（1）把点的坐标代入 （ ）计算；f x（2）对 （ ）的对称轴与区间1，2的关系进行分情f x况讨论，判断 （ ）的单调性，利用单调性解出 ，再f xb求出最大值【详解】解：（1）把（4，3）代入 （ ）得168 +33，f xbb2（2）（ ）的图象开口向上，对称轴为 f x x b若b1，则f（x）在1，2上是增函数，3f （x）f（1）4+2b1，解得b min2f （x）f（2）74b13max若b2，则f（x）在1，2上是减函数，3f （x）f（2）74b1，解得b （舍）min2若1b2，则f（x）在1，b上是减函数，在（b，2上增函数f （x）f（b）b +31，解得b 或b222min（舍）f （x）f（1）4+2b4+2 2max综上，当 1 时， （ ）的最大值为13，当1 2f xbb时，（ ）最大值为4+2 f x2【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分第 14 页 共 17 页 类讨论思想，属于中档题19如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上，xOy xy 轴垂直于地平面，单位长度为1 千米.某炮位于坐标原点.1已知炮弹发射后的轨迹在函数 =- （1+ ） + （ 0）yk2 x2 kx k20表示的图像上，其中 是与发射方向有关的参数，炮的射k程是指炮弹落地点到原点的距离.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】（1）10 千米（2）当横坐标不超过6 千米时，炮弹可以击中目标；详见解析1【解析】（1）求炮的最大射程即求 =- （1+ ） + （yk2 x2 kx k200）与 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；x（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.【详解】1（1）在 =- （1+ ） + （ 0）中，yk2 x2 kx k201令 =0，得- （1+ ） + =0，yk2 x2 kx202020kx =0（舍），x = = =10（当且仅当 =1 时取“=”），k20112+ k1+ k22k炮的最大射程是10 千米；第 15 页 共 17 页 （2）设飞行物的横坐标为 ，m1由函数式得：- （1+ ） + =3.2（ 0）k2 m2 kmk20-20mk+（m +64）=0，m2k22=400m -4m ×（m +64）0，222m6，此时 = 20m + D 0，k2m2当m 不超过6 千米时，炮弹可以击中目标.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.如果 （ ）是定义在 上的函数，且对任意的 ，f -x -f x20f xRx R均有 （ ） （ ），则称该函数是“ 函数”.X1（ ）分别判断下列函数： = ； = +1； = +2 -3y x x1yy x22 +1x是否为“ 函数”？（直接写出结论）X（ ）若函数 （ ） 是“ 函数”，求实数 的取2f x =x-x +a Xa2值范围；ì +1, Î2xx A（ ）设“ 函数” （ ）f x =í在 上单调递增，R3Xx,xÎ Bî求所有可能的集合 与A B.【答案】（1）是“ 函数”，不是“ 函数”.（2）XX（0，+）（3） =0，+）， =（-，0）AB【解析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.第 16 页 共 17 页 【详解】（1）是“ 函数”，不是“ 函数”；XX（2） （- ）=- - + ，f x x x2 a-f（x）=-x+x -a，f（x）=x-x +a 是“X函数”，22f（-x）=-f（x）无实数解，即 + =0 无实数解，x2 aa0，a 的取值范围为（0，+）；（3）对任意的 0，x若 且- ，则- ，（- ）= （ ），与 （ ）在Rx A x A x x f x f xf x上单调增矛盾，舍去；若 且- ，（- ）=- （ ），与 （ ）是“ 函数”x B x B f x f xf xX矛盾，舍去；对任意的x0，x 与-x 恰有一个属于A，另一个属于B，（0，+）A，（-，0）B，假设0 ，则 （-0）=- （0）， 与 （ ）是“ 函数”矛B盾，舍去；0A，fff xX经检验， =0，+）， =（-，0）符合题意.AB【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.第 17 页 共 17 页（2）设飞行物的横坐标为 ，m1由函数式得：- （1+ ） + =3.2（ 0）k2 m2 kmk20-20mk+（m +64）=0，m2k22=400m -4m ×（m +64）0，222m6，此时 = 20m + D 0，k2m2当m 不超过6 千米时，炮弹可以击中目标.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.如果 （ ）是定义在 上的函数，且对任意的 ，f -x -f x20f xRx R均有 （ ） （ ），则称该函数是“ 函数”.X1（ ）分别判断下列函数： = ； = +1； = +2 -3y x x1yy x22 +1x是否为“ 函数”？（直接写出结论）X（ ）若函数 （ ） 是“ 函数”，求实数 的取2f x =x-x +a Xa2值范围；ì +1, Î2xx A（ ）设“ 函数” （ ）f x =í在 上单调递增，R3Xx,xÎ Bî求所有可能的集合 与A B.【答案】（1）是“ 函数”，不是“ 函数”.（2）XX（0，+）（3） =0，+）， =（-，0）AB【解析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.第 16 页 共 17 页 【详解】（1）是“ 函数”，不是“ 函数”；XX（2） （- ）=- - + ，f x x x2 a-f（x）=-x+x -a，f（x）=x-x +a 是“X函数”，22f（-x）=-f（x）无实数解，即 + =0 无实数解，x2 aa0，a 的取值范围为（0，+）；（3）对任意的 0，x若 且- ，则- ，（- ）= （ ），与 （ ）在Rx A x A x x f x f xf x上单调增矛盾，舍去；若 且- ，（- ）=- （ ），与 （ ）是“ 函数”x B x B f x f xf xX矛盾，舍去；对任意的x0，x 与-x 恰有一个属于A，另一个属于B，（0，+）A，（-，0）B，假设0 ，则 （-0）=- （0）， 与 （ ）是“ 函数”矛B盾，舍去；0A，fff xX经检验， =0，+）， =（-，0）符合题意.AB【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.第 17 页 共 17 页