2020届上海市七宝中学高三三模数学试题.docx

线订装外线订装内绝密启用前2020 届上海市七宝中学高三三模数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题号考1设 、 分别是直线a 、b 的方向向量，则“a b ”是“a ”的（）a bbA充分非必要条件C充要条件B必要非充分条件D既非充分又非必要条件2某学校有 2500 名学生，其中高一 600 人，高二 800 人，高三 1100 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100 人，从高一和高二48 = 0A(1,-1)与以 为圆心的圆交于 、ax + by +a b抽取样本本数分别为 、 ，且直线BC 两点，且ÐBAC =120°，则圆C 的方程为（）( -1) + (y +1) 1=A xB(x -1) + (y +1) = 92222( 1) ( 1) 4- + y +=(x -1) + (y +1) = 3DC x2222:校p学= 2cos(2 + ) - 2的图像按向量a平移后所得图像的函数解析式为x3函数 y6y = f (x) ，当函数 ( ) 为奇函数时，向量 可以等于（f x）apppp( ,-2)(- ,2)6( , 2)D(-,2)ABC-61212= 4x4已知 为抛物线 y的焦点，A、 、C 为抛物线上三点，当FA FB FC= 0+2FB时，则存在横坐标 > 2 的点 A、 、C 有（）xBA0 个B2 个C有限个，但多于 2 个D无限多个第 II 卷（非选择题）试卷第 3 页，总 4 页 线订装内线订装外请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题= x | x = 2k,k Î ZA B =，则 _5已知集合 A，= | -2 £ £ 2Bxx6若直线方程ax by c 0的一个法向量为( 3, -1)，则此直线的倾斜角为_× z =1+iIm =（i 为虚数单位），则 z _7已知复数 满足iz8已知a 、 、c 是任意实数，能够说明“若 > > ，则a+b > c”是假命题的一个ba b c有序整数组(a,b,c)可以是_y= a9函数 y =| 2 + xi |（ xÎR，i 是虚数单位）的图象与直线有且仅有一个交点，a =则实数_( ) ( ) ( ) ( )2,1 ,B 2,2 ,C 0,2 ,D 0,110直角坐标系内有点 A，将四边形 ABCD 绕直xOyy =1旋转一周，所得到的几何体的体积为_线11在DABC中，ÐABCBC = 2AB = 2， E 为AC= 60 ，的中点，则AB BE=×_.12通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验(a ,a ,a ,a )a < a < a < a，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一证码满足12341234个验证码，那么是首位为 2 的递增型验证码的概率为_1(x) = (a - a )=( )Î-3,513已知函数 f（ a >1）的反函数为 y f x ，当 x时，x-x-12函数 F(x) =( -1)+1的最大值为f x-1m+ =，最小值为 ，则 M m _Me = cosq + isin q14欧拉公式 iq，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函a 数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为nnpnpn =1,2,3, ×××a a = cosn+ isin（），则数列前 2020 项的乘积为_20202020nM³ 2M15用 M 表示函数 y =sin x在闭区间 上的最大值，若正数a 满足I，0, aa,2aI则 a 的最大值为_( ) ( )2 n +1 a - na = 0 nÎ N416已知数列 a 的首项为 ，且满足* ，则下列命题：nnn+1试卷第 4 页，总 4 页 线订装外线订装内ìa ü 1 æ a öx-2( )= x - -í ý 是等差数列； a 是递增数列；设函数 f xnç÷，则存n2 aî n þnèøn+1( )n,n +1 nÎ N*( )( ) ( )f x n,n +1在在某个区间，使得上有唯一零点；则其中正确的命题序号为_评卷人得分三、解答题- A B C DAO 117如图，四棱柱 ABCD的底面 ABCD是正方形，O为底面中心，1111ABCD， AB = AA = 2 .平面1号考AC BD；（1）证明：1（2）求直线 AC 与平面BB D D1所成的角q 的大小.112sin BsinC -cos(B -C) =18设a 、b 、c 分别是 ABC内角 A、 、 所对的边，.CB2（1）求角 A的大小；3 3（2）若 =3 2，且ABC的面积为，求 ABC的周长.a219受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为a （人）时，每天:校线下销售空调可达m(a) =10a学a b（百台），当线上销售人数为b（人）（ , ÎN*）时，每ì 2 0 £ £ 20bb( ) =天线上销量达到n b í（百台）.î400b > 20（1）解不等式：m(a) < n(a)，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员t （ Î *）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销Nt售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？xy22: + =1(a > b > 0)( 3,0)，且椭圆上20已知椭圆C的两焦点为 ( 3,0) ，FF-12a2b2试卷第 3 页，总 4 页 线订装内线订装外| PF | + | PF |= 4: = +，直线l y kx m 与椭圆C 交于 A、 两点，与 x 轴、B一点 ，满足P12y轴分别交于点 、 ，且GOA OB = l OM+.H（1）求椭圆C 的方程；| AB |= = 2 ，求| HG | ×| HM |的值；（2）若 =2，且（3）当OAB 面积取得最大值，且点M 在椭圆C 上时，求l 的值.,a ,×××,a Î1,2,3, ,10，若i ¹ j¹，则a a ，且lk,21已知数列a满足：对任意i j1210ija Î21,22 ,23,24 ,25,26 ,27 ,28,29,210 ，设 = +a aA+ai+2i| =1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合iii+1B= a ×a ×a | i =1,2,3,4,5,6,7,8A中元素的最小值记为m(A) ；集合，集合 中Bii+1i+2元素最小值记为m(B).(B)（1）对于数列：2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ( ) m，求m A ，4；1061278395（2）求证：m(B) £ 217；（3）求m(A) 的最大值.试卷第 4 页，总 4 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若a/b ，则一定有 / ，但 / 可能推出a 和b 重合，“a/b ”是“ / ”的充分a ba ba b非必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.2C【解析】【分析】a b利用分层抽样的概念，先求出 与 ，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.【详解】68高一：高二：高三为6:8:11 ，a =100´= 24×b =100´= 326 +8+116 +8+11该直线方程为24x +32y + 48 = 0 ，即3x + 4y + 6 = 0，| 3- 4 + 6 |圆心(1,-1)到直线的距离d=1=120°2= 2，Ð，又 BAC =rd3 + 422(x -1) + ( y +1) = 4 该圆的方程为.22故选：C【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题3B【解析】【分析】答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。p= 2cos(2 x + ) - 2到 y = -sin 2x 的路线，进而确由左加右减上加下减的原则可确定函数 y6定向量 .a【详解】p= 2cos(2 x + ) - 2 y，6pp向左平移 个单位，= 2cos(2 x + ) - 2将函数 y66æp ö= cos 2x += -sin 2x为奇函数，再向上平移 2 个单位可得到 yç÷2èøæ pö a = -,2çè÷ ，6ø故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题.4A【解析】【分析】+ x = 3- x , y + y = -y首先判断出 F 为 ABC 的重心，根据重心坐标公式可得x，结231231( )£ 2 y + y£ 2，同理得出合基本不等式可得出 y2122 ，结合抛物线的定义化简得出x231x £ 2,x £ 2，进而得出结果.23【详解】( ) ( ) ( )A x , y ,B x , y ,C x , yx£ 21设由，先证，112233FA FB FC+= 0 知， F 为 ABC 的重心，x + x + xy + y + y又 F(1,0), =1,= 0 + = 3- , + = -， x xx y yy ，12311333231231( )( )() y £ 2 y + y y + y 2 = y + y + 2y y £ 2 y + y，21222 ，2223222232333答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。æçèöy214y22y23( )x £ 2 x + x( )x x £ 2+ £ 2 3- £ 2， x ，÷，44112311ø£ 2,x £ 2同理 x，23故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出 点为三F角形的重心，属于中档题.5-2,0,2【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】= x | x = 2k,k Î Zx x ，= | -2 £ £ 2由集合 A则 A B， B= -2,0,2.故答案为：-2,0,2【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.p63【解析】【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】( )= x, y设直线的一个方向向量为a由直线方程ax by c 0的一个法向量为( 3, -1)，=13x - y = 0y = 3，则所以，令 x答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。所以直线的一个方向向量为(1, 3)，3k = 3 ，设直线的倾斜角为 ，a1= tana ，由 kpa=所以直线的倾斜角为：.3p故答案为：3【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.-17【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】1+ i (1+ i)(-i)× z =1+i解：由i，得 =i=1- ，zi-i2Imz = -1.-1.故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.8(-1,-2,-3)（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解【详解】= -1c = -3，此时满足 > > ，但a b c根据题意，要说明其为假命题，可以令a， = -2，ba + b = -3 > c = -3不成立，故原命题为假命题.故答案为：(-1,-2,-3)【点睛】（答案不唯一）本题主要考查命题及其关系，属于基础题.答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。92【解析】【分析】先通过复数模的求法得到函数 =4+ x2 ，再利用数形结合法求解.y【详解】ì - = 4y = 2 + xi = 4 + xÛ íy2x222-=，函数图象为双曲线 y x4函数2的一支，³ 2îy如图所示：y = a又因为函数图象与有且仅有一个交点，= 2.则 a故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.210 p【解析】【分析】四边形 ABCD是矩形，边 AD 在直线y =1上，旋转一周后得一圆柱，AD 是圆柱的高，AB是底面半径，由此可计算体积。【详解】由题意四边形 ABCD是矩形，边AD 在直线y =1上，旋转一周后所得几何体为圆柱，ADpp 1 2 2p。是圆柱的高， AB 是底面半径，V = AB × AD = ´ ´ =22答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。故答案为：2p 。【点睛】本题考查圆柱的体积，考查圆柱的定义。属于基础题。-1；11【解析】【分析】计算BA BC×，然后将BE用 BA, BC表示，最后利用数量积公式可得结果.【详解】由ÐABC = 60 ， BC= 2AB = 2，1所以BA BC BA BC=×cosÐABC =1´ 2´ =12又 E 为的中点，( )AC12所以=BA BC+BE( )1212121 12所以AB BE×BA= - ×BA BC+= -BA-BA BC×= - - = -12 2-1故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.1126【解析】【分析】利用概率的定义进行求解即可.【详解】= 2 2 < a < a < a， 、 a 、 从中 39 选，aa a，231234416C37C4,a ,a =即可， P=只要选出 3 个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应a.234101故答案为：6【点睛】答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题考查概率的定义，属于简单题132【解析】【分析】由 >1，得到函数 f(x)在定义域上单调递增，再由函数与反函数具有相同的单调性以及平在-3,5a-1(x -1)上单调递增，再由函数与反函数具有相同的奇偶性求解.移变换，得到 f【详解】因为 >1，a1(x) = (a - a )所以函数 f- （ >1）在定义域上单调递增，axx2因为函数与反函数有相同的单调性，所以 f因为 f在-4,4上单调递增，在-3,5上单调递增，f (x -1)-1(x)-1(x)( )为奇函数，则 f x 也为奇函数，-1M + m = f (4) + f (-4) + 2 = 2 .-1-1故答案为：2【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.14i【解析】【分析】npnpnp2020= cos+ isin= ei根据题意，a，然后可得，20202000np2p2020pp2p2020p=e2020æö÷ø，a a a = e eii¼eii ç+2020 2020è20202020 20201 22020然后，利用等差数列求和公式求解即可【详解】npnpnp2020q = cos + iq sinq = cos+ isin= eieia，20202000np2p2020pp2020e2p2020pæö÷ø2021p+a a a = eii¼ei= ei ç= ei2020 2020202020202020è21 22020答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。2021p2021pppæö÷øæö÷ø= cos+ isin= cos 1010 +p+ isin 1010p+= i.çç2222èè故答案为：i【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题1 3p1512【解析】【分析】在区间0,a和a,2a的最大值，= sin x对 a 进行分类讨论，根据正弦函数的单调性求出 y再解不等式即可得到答案.【详解】é p ùÎ 0,2 Î0, =sin a M，= 1.当 a时， ap，Mêëú2û0, aa,2 a所以sina ³ 2，舍去；péùÎ ,p2 Îp,2p M=1 M，= sin a，当 a时， a，êú2ëû0, aa,2 a125p65p1³ 2sin a sin， a³a ；£ £ p£所以，即：a，得到63péùp,2 2p,3p= 1， M= sin 2a 或1 ，当 a Î时， aÎ， Mêú2 0,aëû ,2 aa12p，所以1³ 2sin2 a ，即：sin 2a，2p £ 2 £ 2p +，M³ 2M£因为a0, aa,2a6p 13p£ a £ + =12 12pp所以；3é pö当 a Î,+¥÷ 时，2a Î3 ,+¥)，=M=1，pMê2ëø0, aa,2aM³ 2M不满足，舍去；0, aa,2a13p=.综上所述：amax 121 3p故答案为：【点睛】12答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本题主要考查三角函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.16【解析】【分析】对于，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于，结合等比数列通项公式可( )a - a > 0 ，知数列递增；对于，结合指数函数单调性可确定f x求得 a ，可验证出nn+1n单调性，利用零点存在定理可得到结论.【详解】aa( )2 n + 1 a - na = 0= 2×n对于，由得：，n+1n +1nnn+1ìa üa= 4 ，1í n ý 是首项为4 ，公比为2 的等比数列，错误；又1î n þann= 4×2 = 2 = ×2对于，由知：n-11 ， a n n+1 ，n+n( )() ( )n+1a -a = n +1 ×2 - n×2 = 2 2n+ 2- n = n+ 2 2 > 0n+2n+1n+1，n+1n a是递增数列，正确；naæöx-2a对于，由知：0 <<1， y =nç÷ 单调递减，naaèøn+1n+11 æö÷øx-21næöx-2( )a f x = x - -= x - -çç÷ 单调递增n2 a2 2n + 2èøèn+11n1næön-2æö÷øn-1( )( )f n = n - -， f n +1 = n + -，ç÷ç2 2n + 22 2n + 2èøè712( ) ( )f1 f 2 < 0，即( )( )2 =当 n=1时， f 1 = -， f，由零点存在定理知正确；2综上所述：正确的命题序号为.故答案为：.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。p17（1）证明见解析；（2）4【解析】【分析】（1）通过线面垂直判定定理证明BD 平面 ACC A ，进而得到 AC BD ；11O（2）取 B D 中点 ，联结OOAOCO1，通过已知条件得出四边形为正方形，得O C111111ÐCOO出即为所求角，进而可得结果.1【详解】 AC（1）由题意易得： BDBD Ì 平面 ABCD，又 AO 平面 ABCD，1AO BD1AO Ç AC = O，又1ÌACC A1 BD 平面 ACC A ，又 AC 平面，11 BD AC1O A1O（2）取 B D 中点 ，联结OO，O C111111= AA = 2ABCD=是正方形，OA OC=1，又 AB，底面1AOAAO =11由题意易得为直角三角形，1AOCO1由棱柱的性质以及 AO 平面 ABCD，可得四边形为正方形，11 OOAC BD BD Ç OO = O， , AC，由（1）得1111p即为所求角，且大小为 ， BB D D ，ÐCOO AC 面41111答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。pBB D D1.即直线与平面所成的角为AC41【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得出线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题.p=18（1） A（2）6 + 3 23【解析】【分析】12（1）利用两角差的余弦公式化简可得cos A =，即可得到角 的大小；A= 6，利用余弦定理求得b + c = 6，即可得到三角形周长.（2）根据面积结合（1）可得bc【详解】（1）由题意可得：1()()()()2sin Bsin C - cos B - C = cos B - C - cos B + C - cos B - C = cos A =2p( )p ,A =Î 0, A3133 32（2）由S = bcsinA =bc =Þ bc = 624( )( )+ -18 = 18又=+bc- 2 cos =+-bc b c=+bc b c- 3 =a2b2c2A b2c222b+ c = 6，周长为6 + 3 2 .【点睛】此题考查根据三角形已知关系求解三角形内角，根据面积关系和余弦定理化简求周长，需要熟练掌握余弦定理和面积公式.()19（1）不等式的解集为 Î 10, 40 ，实际意义见解析（2）答案不唯一，具体见解析a【解析】【分析】（1）分别讨论当0 £ a £ 20时和当a> 20时，解不等式即可得解；（2）结合题中分段函数，分段求解最值取得的条件即可得解.【详解】（1）当0 £ a £ 20时，不等式为102a < a Þ 10 < a £ 20 ；答案第 1 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。当 a> 20时，不等式为10a < 400 Þ 20 < a < 40；()综上，不等式的解集为 Î 10, 40 ，实际意义为在相同的销售人数下，当销售人数在10 到a40 之间时，线上销售的会比线下销售效果好（2）设安排线上销售x 人，则线下销售安排t - x人；( )t £ 20时，此时0 £ x £ 20，每天的销售总台数为 2 +10 - ，当xt x£ 10当t时，最大值在x= 0时取到，为10t（百台）当10 £ t £ 20时，最大值在x t=时取到，为t （百台）2³ 20时，若0 £ £ 20x 20，则最大值在 时取到，为200 +10 （百台）当txt( )400+10 t - x若 x 20，每天的销售总台数为，20则最大值在 x时取到，为200 +10 （百台）.t【点睛】此题考查函数模型及其应用，涉及分段函数最值处理方法，需要熟练掌握分类讨论方法求解.x2+ y =120（1）（2）3（3） = ± 2l24【解析】【分析】（1）根据椭圆定义焦点坐标计算基本量即可得解；,G,M（2）根据已知条件结合弦长公式求得 ，得 出 H三点坐标，利用线段长度公式得解；m（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形面积，根据基本不等式求最值，即可得到此时l 的值.【详解】x2+ y =1（1）由题意可得a = 2,c = 3 Þ b = 1 ，椭圆方程为24= 2x + m（2）由题意得，此时直线方程为 y，将其代入椭圆方程整理可得( )9x +8 2mx + 4m - 4 = 0D =128 -36 4 - 4 =144-16 > 0 Þ< 9，其中mmmm222222( ) ( )8 2m4m - 42A x , y ,B x , y+ = -，则 x x,x x=设112299121 2答案第 14 页，总 15 页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。4 9 - m232，由椭圆具有对称性，AB = 1+ 2 x - x = 3 ´=