高中数学必修一高中数学必修公开课教案--指数与指数幂的运算-第课时-公开课教案课件课时训练练习教案课.doc
第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题我们知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,是的什么近似值?而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,是的什么近似值?多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗?一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果:1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于,称的过剩近似值.第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<<5<<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明5是一个实数.逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.根据我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a(a>0,是无理数)是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a(a>0,是无理数)是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果:(1)底数大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a是一个确定的实数,就不会再造成混乱.(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).(3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:ar·as=ar+s(a>0,r,sR).(ar)s=ars(a>0,r,sR).(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rR).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.(精确到0.001)(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)3.1;(4).活动:教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于(1),可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值;对于(2),先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于(4),这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案:(1)0.32.10.080;(2)3.14-30.032;(3)3.12.336;(4)6.705.点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第(n+1)位能否进位即可.例2求值或化简.(1)(a>0,b>0);(2)()(a>0,b>0);(3).活动:学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解:(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评:根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评:化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) =-+2-2+=0.点评:考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),nN*,求(x+)n的值.活动:学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-2·50+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解:将x=(5-5)代入1+x2,得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=(5-5)+n=(5-5)+(5+5)n=(5)n=5.点评:运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();(3)(-2xy)(3xy);(4)(x-y)÷(x-y).活动:学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解:(1)=()+()+(0.062 5)+1-=()2×+()+(0.5)+=+0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2×(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)=-6xy=;(4)(x-y)÷(x-y)=(x)2-(y)2)÷(x-y)=(x+y)(x-y)÷(x-y)=x+y.点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷(a4+a-4+1)(a-a-1).活动:学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解:(1)原式=;(2)原式=(a3)2-(a-3)2÷(a4+a-4+1)(a-a-1)=a+a-1.点评:注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组 3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是( )A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以=(1-2)-1.答案:A2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-30+9-0.5+490.5×2-4.解:原式=()+100+()-3+49×=+100+-3+=100.3.计算(a1).解:原式=(a1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=(a-a),则(x+)n的值为_.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解:1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=(a-a)+(a+a)2n=(a-a)+(a+a)n=a.答案:a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动:教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解:3=1.73205080,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.7<21.73<21.731<21.7319<<<<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说是一个实数,=3.321 997 也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近;当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,按上述规律变化的结果,即3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a(a>0,是无理数)是一个确定的实数.(2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:ar·as=ar+s(a>0,r,sR).(ar)s=ars(a>0,r,sR).(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rR).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.作业课本P60习题2.1 B组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.下课啦,咱们来听个小故事吧:活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程: 1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语: “双手抓不起,一刀劈不开, 煮饭和洗衣,都要请它来。” 主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!” 一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?” 主持人:我宣布:“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。” 甲:如果没有水,我们人类就无法生存。 小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。 花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。 主持人:下面请听快板水的用处真叫大 竹板一敲来说话,水的用处真叫大; 洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚, 煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。 栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸; 鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它; 采煤发电要靠它,京城美化更要它。 主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大? 甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。 乙说:看了表演后,我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢? (1)(生):我要节约用水,保护水源。 (2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 (3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。 (4)(生):我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。 (1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。 (2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉,留冲厕所用。 (3)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写) (4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗? 主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的 大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。” 旁白:“那又是谁家的呢?” 主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说? 甲:刚才三个同学太自私了,公家的水也是大家的,流掉了多可惜,应该把水龙头关上。 乙:上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。 主持人:我们给他鼓鼓掌,今后你们发现水龙头没关会怎样做呢? 齐:主动关好。 小记者:同学们,你们好!我想打扰一下,听说你们正在开班会,我想采访一下,行吗? 主持人:可以。 小记者:这位同学,你好!通过参加今天的班会你有什么想法,请谈谈好吗? 答:我要做节水的主人,不浪费一滴水。 小记者:请这位同学谈谈好吗? 答:今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条,这样就可以提醒同学们节约用水了。 小记者:你们谈得很好,我的收获也很大。我还有新任务先走了,同学们再见! 水跑上来说:同学们,今天我很高兴,我“水伯伯”今天很开心,你们知道了有了我就有了生命的源泉,请你们今后一定节约用水呀!让人类和动物、植物共存,迎接美好的明天! 主持人:你们还有发言的吗? 答:有。 生:我代表人们谢谢你,水伯伯,节约用水就等于保护我们人类自己。 动物:小熊上场说:我代表动物家族谢谢你了,我们也会保护你的! 花草树木跑上场说:我们也不会忘记你的贡献! 水伯伯:(手舞足蹈地跳起了舞蹈)同学们的笑声不断。 主持人:水伯伯,您这是干什么呢? 水伯伯:因为我太高兴了,今后还请你们多关照我呀! 主持人:水伯伯,请放心,今后我们一定会做得更好!再见! 4.主持人:大家欢迎老师讲话! 同学们,今天我们召开的班会非常生动,非常有意义。水是生命之源,无比珍贵,愿同学们能加倍珍惜它,做到节约一滴水,造福子孙后代。 5.主持人宣布:“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果: 此次活动使学生明白了节约用水的道理,浪费水的现象减少了,宣传节约用水的人增多了,人人争做节水小标兵活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程: 1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语: “双手抓不起,一刀劈不开, 煮饭和洗衣,都要请它来。” 主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!” 一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?” 主持人:我宣布:“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。” 甲:如果没有水,我们人类就无法生存。 小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。 花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。 主持人:下面请听快板水的用处真叫大 竹板一敲来说话,水的用处真叫大; 洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚, 煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。 栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸; 鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它; 采煤发电要靠它,京城美化更要它。 主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大? 甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。 乙说:看了表演后,我知道水对庄稼、植物是非常重要的。 丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。 2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢? (1)(生):我要节约用水,保护水源。 (2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。 (3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。 (4)(生):我要用洗脚水冲厕所。 3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。 (1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。 (2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉,留冲厕所用。 (3)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写) (4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗? 主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的 大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。” 旁白:“那又是谁家的呢?” 主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说?