2019-2020学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷及答案.docx

2019-2020 学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1（3 分）弧度数为 2 的角的终边落在第象限2（3 分）若幂函数 f（x）x 图象过点，则 f（3）3（3 分）已知2，则 tan 的值为4（3 分）5（3 分）已知 lg2a，10 3，则 log 5（用 a、b 表示）b126（3 分）若 tan ；则 cos（2+ ）7（3 分）已知函数 f（x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是8（3 分）已知 （0， ），2sin21+cos2，则 tan9（3 分）已知 （ ，0），sin（2） ，则 sincos10（3 分）已知锐角 ， 满足 sin（2+）3sin，则 tan（+）cot11（3 分）已知 ，（0，）， 且 tan（），tan，2 的值为12（3 分）已知 f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+ ，则 f（log sin）2二、选择题13（3 分）“sin0”是“ 为第三、四象限角”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件14（3 分）A 为三角形 ABC 的一个内角，若 sinA+cosA ，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形D等腰三角形C等腰直角三角形15（3 分）已知函数 （f x）log（6ax）在 x2，3）上为减函数，则 a 的取值范围是（aA（1，2）B（1，2C（1，3）D（1，3第1页（共14页） 16（3 分）设x ，x 分别是 f（x） xa 与 g（x）xlog x1（a1）的零点，则x +9xx12a12的取值范围是（）A8，+）B（10，+）C6，+）D（8，+）三、解答题17已知 （0， ），（0， ），sin，cos（+）（1）求 tan2 的值；（2）求 cos 的值18已知函数 f（x）3 a3 ，其中 a 为实常数；xx（1）若 f（0）7，解关于 x 的方程 f（x）5；（2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由19高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m，所在圆的半径为 r，扇形的圆心角的弧度数为 ，（0，2）（1）求绿化区域面积 S 关于 r 的函数关系式，并指数 r 的取值范围：（2）所在圆的半径为 r 取何值时，才能使绿化区域的面积 S 最大，并求出此最大值20已知函数 yf（x）的定义域为（1，+），对于定义域内的任意实数 x，有 f（2x）2f（x）成立，且 x（1，2时，f（x）log x2（1）当 x（1，23时，求函数 yf（x）的最大值；（2）当 x（1，23.7时，求函数 yf（x）的最大值；（3）已知 f（1200）f（b）（实数 b1），求实数 b 的最小值21已知函数 f（x）log （x+）x（1，+），a0 且 a1a（1）若 a 为整数，且 f（）2，试确定一个满足条件的 a 的值；（2）设 yf（x）的反函数为 yf 1（x），若 f 1（n）（nN*），试确定 a的取值范围；（3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf 1（x），令 g（x），若对一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，试确定实数 k 的取值范123123围第2页（共14页） 2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3 分）弧度数为 2 的角的终边落在第 二 象限【分析】根据题意，分析可得 2，由象限角的定义分析可得答案【解答】解：根据题意， 2，则弧度数为 2 的角的终边落在第二象限，故答案为：二【点评】本题考查象限角，涉及弧度制的应用，属于基础题2（3 分）若幂函数 f（x）x 图象过点f 3，则 （ ）【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再计算 f（3）的值【解答】解：幂函数 f（x）x 图象过点则 2 ，解得 1，f（x）x ；1f（3）3 1故答案为： 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题3（3 分）已知 2，则 tan 的值为 5 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解【解答】解：2，tan5故答案为：5【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题4（3 分） 【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值第3页（共14页） 【解答】解：故答案为：coscos ，【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题5（3 分）已知 lg2a，10b3，则 log 5 （用 a、b 表示）12【分析】化指数式为对数式，把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有lg2 和 lg3 的代数式得答案【解答】解：10 3，blg3b，又 lg2a，log 512故答案为：【点评】本题考查了对数的换底公式，考查了对数的运算性质，是基础题6（3 分）若 tan ；则 cos（2+ ） 【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解【解答】解：tan ，cos（2+ ）sin2故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题7（3 分）已知函数 （f x）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是 0，） 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可第4页（共14页） 【解答】解：当 x1 时，f（x）2 1，x 1当 x1 时，f（x）（12a）x+3a，函数 f（x）的值域为 R ，（12a）x+3a 必须到，即满足：，解得 0a ，故答案为：0， ）【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档题8（3 分）已知 （0， ），2sin21+cos2，则 tan【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解【解答】解：（0， ），cos0，2sin21+cos2，4sincos2cos ，可得 tan 2故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题9（3 分）已知 （ ，0），sin（2） ，则 sincos 【分析】由已知利用诱导公式化简可得 sin2 ，进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解【解答】解：（ ，0），sin（2）sin2 ，sin0，cos0，sincos故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数第5页（共14页） 化简求值中的应用，属于基础题10（3 分）已知锐角 ， 满足 sin（2+）3sin，则 tan（+）cot 2 【分析】由题意利用 2+（+）+，（+），结合三角恒等变换公式计算即可【解答】解：sin（2+）3sin，sin（+）cos+cos（+）sin3sin（+）coscos（+）sin，2sin（+）cos4cos（+）sin，又 、 为锐角，所以 sin0，cos（+）0，所以 tan（+）cot故答案为：22【点评】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题11（3 分）已知 ，（0，）， 且 tan（），tan，2 的值为 【分析】由题意配角：（）+，利用两角和的正切公式算出 tan 的值，再算出tan（2）的值，根据、 的范围与它们的正切值，推出2（，0），即可算出 2 的值【解答】解：由 tan（），tan，由此可得 tan（2）tan（ ）+又 （0，），且 tan0又 （0，），tan，1，0，因此 2（，0），可得20，第6页（共14页） 所以 2故答案为：【点评】本题考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识，是中档题，解题时注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想12（3 分）已知 f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 ff（x）+ ，则 f（log sin） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）+（x） +t，分析可得 f（t）2为常数，设 f（x）+t，变形可得 f+t ，解可得 t 的值，即可得 f（x）的解析式，将 xlog sin代入可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x 都有 ff（x） ，2+则 f（x）+为常数，设 f（x）+ ，即 f（t）t，则 f（x）+t ，+t，又由 ff（x）+解可得 t1，则 f（x）+1，sin ，则 f（log ）f（1）+1 ；2故答案为： 【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，还考查了三角函数求值，诱导公式，对数的运算，换元法的思想，关键是求出函数的解析式，属于中档题二、选择题13（3 分）“sin0”是“ 为第三、四象限角”的（）A充分而不必要条件C充要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】由 为第三、四象限角，可得 sin0反之不成立，即可判断出结论【解答】解：由 为第三、四象限角，可得 sin0反之不成立，例如第7页（共14页） 故选：B【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（3 分）A 为三角形 ABC 的一个内角，若 sinA+cosA ，则这个三角形的形状为（）A锐角三角形B钝角三角形D等腰三角形C等腰直角三角形【分析】将已知式平方并利用 sin A+cos A1，算出 sinAcosA0，结 合 A（0，22）得到 A 为钝角，由此可得ABC 是钝角三角形【解答】解：sinA+cosA，两边平方得（sinA+cosA） ，即 sin A+2sinAcosA+cos A，222sin A+cos A1，221+2sinAcosA，解得 sinAcosA （1）0，A（0，）且 sinAcosA0，A（ ，），可得ABC 是钝角三角形故选：B【点评】本题给出三角形的内角 A 的正弦、余弦的和，判断三角形的形状着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题15（3 分）已知函数 （f x）log（6ax）在 x2，3）上为减函数，则 a 的取值范围是（）aA（1，2）B（1，2C（1，3）D（1，3【分析】由已知中 f（x）log （6ax）在 x2，3）上为减函数，结合底数的范围，可a得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a 的取值范围【解答】解：若函数 f（x）log （6ax）在 x2，3）上为减函数，a则解得：a（1，2故选：B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键16（3 分）设x ，x 分别是 f（x） xa x 与 g（x）xlog x1（a1）的零点，则x +9x12a12第8页（共14页） 的取值范围是（）A8，+）B（10，+）C6，+）D（8，+）【分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又有函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解【解答】解：由设 x ，x 分别是函数 f（x）xa 和 g（x）xlog x1 的零点（其中x12aa1），可知 x 是方程 a 的解；x 是方程 log x 的解；x12a则 x ，x 分别为函数 y 的图象与函数 yya 和函数 ylog x 的图象交点的横坐x12a标；设交点分别为 A（x ，），B（x ，）12由 a1，知 0x 1；x 1；12又因为 ya 和 ylog x 以及 y 的图象均关于直线 yx 对称，xa所以两交点一定关于 yx 对称，由于点 A（x ，），关于直线 yx 的对称点坐标为（ ，x ），11所以 x ，1有 x x 1，而 x x1 212则 x +9x x +x +8x 2+8x 2+810，121222即 x +9x （10，+）12故选：B【点评】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数三、解答题17已知 （0， ），（0， ），sin，cos（+）（1）求 tan2 的值；（2）求 cos 的值【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求 cos，tan 的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求 tan2 的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（+）的值，根据两角差的余弦函数公式可第9页（共14页） 求 cos 的值【解答】解：（1）（0， ），sin，costan2 ，tan4 ，（2）（0， ），（0， ），sin+（0，），sin（+），cos（+），coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin（ ）× +× 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题18已知函数 f（x）3xa3x，其中 a 为实常数；（1）若 f（0）7，解关于 x 的方程 f（x）5；（2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由【分析】（1）根据 f（0）7，求解 a 的值，再解方程 f（x）5 即可（2）根据奇偶性定义判断即可【解答】解：（1）由 f（0）7，即 1a7，可得 a6，那么 3 +63 5，xx（3 2）（3 3）0，xx解得 x1 或 xlog 23（2）由 f（x）a3 +3 ，xx当 a1 时，可得 f（x）f（x）此时 f（x）是偶函数，当 a1 时，f（x）f（x）此时 f（x）是奇函数，当 a±1 时，f（x）是非奇非偶函数【点评】本题考查了奇偶性的定义判断和指数函数的化简运算，属于基础题19高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为 400m，所在圆的半径为 r，扇形的圆心角的弧度数为 ，（0，2）第10页（共14页） （1）求绿化区域面积 S 关于 r 的函数关系式，并指数 r 的取值范围：（2）所在圆的半径为 r 取何值时，才能使绿化区域的面积 S 最大，并求出此最大值【分析】（1）由扇形的周长求出 的值，再根据题意求出 r 的取值范围，计算扇形的面积；（2）利用函数解析式求出 S 的最大值以及 r 的值【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为 2r+r400，所以 ；又 （0，2），所以r200；所以扇形的面积为S r2 r2+200r，200）；其中 r 的取值范围是（2）S（r）r +200r（r100） +10000，22当 r100 时，S（r）取得最大值为 10000，即半径为 r100m 时，绿化区域的面积 S 最大，最大值 10000m 2【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型的应用问题，是基础题20已知函数 yf（x）的定义域为（1，+），对于定义域内的任意实数 x，有 f（2x）2f（x）成立，且 x（1，2时，f（x）log x2（1）当 x（1，2 时，求函数 yf（x）的最大值；3（2）当 x（1，2 时，求函数 yf（x）的最大值；3.7（3）已知 f（1200）f（b）（实数 b1），求实数 b 的最小值【分析】（1）根据条件，对任意的x（1，+），恒有f（2x） 2f（x）成立，所以f（x）2f（ ）；且 x（1，2时，f（x）log x（0，1；所以当 x（2，4时，2（1，2，f（x）2f（ ）2log （ ， ；同理可以依次推出当 （ ，0 2x2n 1 2n2时，f（x）的解析式，即可得当 x（1，2 时函数 yf（x）的最大值；3（2）当 x（1，2 时，2 2 2 ，由（1）可得 f（x）的解析式，即可得函数值；3.733.74（3）根据 f（1200）f（b）（实数 b1），解出 b 的值，进而求实数 b 的最小值即可【解答】解：（1）对任意的 x（1，+），恒有 f（2x）2f（x）成立，所以 f（x）2f第11页（共14页） （ ）；且 x（1，2时，f（x）log x（0，1；2所以当 x（2，4时， （1，2，f（x）2f（ ）2log （0，2；2当 x（4，8时， （2，4，f（x）2f（ ）4log （0，4；2当 x（8，16时， （4，8，f（x）2f（ ）8log （0，8；2；当 x（2 ，2 时， （2 ，2 ，f（x）2f（ ）2 log（0，2 ；n1nn12所以 x（2 ，2 时，f（x）的最大值是 2 ；n1nn1所以 x（1，2 时，f（x），的最大值为f（2 ）4log3324；（2）当 x（1，2 时，2 2 2 ，3.733.74所以 f（x）的最大值为 f（2 ）2 ×log8×（3.73）5.6；3.732（3）由 f（1200）f（b）（实数 b1），且 12002 × ，2 2 × 2 ，10101011所以 f（1200）2 ×log2102 ×log210，f（b）f（2× ）2f（ ）22f（）2n1f（）；当（1，2时，f（b）2 log2n1；f（1200）f（b），则 2 ×log2 2 log2；10n1b2n1，1n11当 n10 时，（ ） （1，2；b2 ×（ ） ；292第12页（共14页） 当 n9 时，当 n8 时，（ ） （1，2；b2 ×（ ） ；484（ ） （1，2；829×（）228×（）4；实数 b 的最小值为 2 ×（ ） 256×（ ） 844【点评】本题考查了抽象函数及其应用，考查了计算能力，分析解决问题的能力，转化与化归的思想，属于中档题21已知函数 f（x）log （x+）x（1，+），a0 且 a1a（1）若 a 为整数，且 f（）2，试确定一个满足条件的 a 的值；（2）设 yf（x）的反函数为 yf （x），若 f （n）（nN *），试确定 a11的取值范围；（3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf （x），令 g（x），若对1一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，试确定实数 k 的取值范123123围【分析】（1）由对数和指数的运算性质，化简可得所求值；（2）由反函数的定义和求解步骤，可得 f （x）（若 a1，x0；若 0a11，x0），再由指数函数和对勾函数的单调性，对 a 讨论，可得所求范围；（3）求得 yf （x）（x0），g（x）1+，对 k 讨论，分 k11，k1，k1，判断 g（x）的单调性可得 g（x）的值域，再由题意可得任意两个尽可能小的函数值不小于另一个尽可能大的函数值，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）由 f（x）log （x+），x1，a0 且 a1，可得 f（）alog （+）alog （）log 2 2，即 a 2 ，可得整数 a2 或 4；a2aaa第13页（共14页） （2）由 yf（x）log （x+），x1，可得 a x+，即 a x，yya平方可得 a 2xa +10，即有 x，2yy可得 f （x）（若 a1，x0；若 0a1，x0），11（n）f（nN *），即为，若 0a1，则 a +a 单调递减，可得 a1；nn可得 a 的取值范围为（ ，1）（1，4）；（3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf （x）（x0），1g（x）1+，当 k1 时，g（x）1，符合题意；当 k1 时，g（x）在 x0 递减，可得 g（x）（1，1+），对一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，可得 1+11+，123123解得 1k4；当 k1 时，g（x）在 x0 递增，可得 g（x）（1+，1），对一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，可得 2（1+）1231231，解得 k1综上可得 k 的范围是 ，4【点评】本题主要考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性和转化思想，考查反函数的求法，化简整理的运算能力，是一道难题第14页（共14页）当 n9 时，当 n8 时，（ ） （1，2；b2 ×（ ） ；484（ ） （1，2；829×（）228×（）4；实数 b 的最小值为 2 ×（ ） 256×（ ） 844【点评】本题考查了抽象函数及其应用，考查了计算能力，分析解决问题的能力，转化与化归的思想，属于中档题21已知函数 f（x）log （x+）x（1，+），a0 且 a1a（1）若 a 为整数，且 f（）2，试确定一个满足条件的 a 的值；（2）设 yf（x）的反函数为 yf （x），若 f （n）（nN *），试确定 a11的取值范围；（3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf （x），令 g（x），若对1一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，试确定实数 k 的取值范123123围【分析】（1）由对数和指数的运算性质，化简可得所求值；（2）由反函数的定义和求解步骤，可得 f （x）（若 a1，x0；若 0a11，x0），再由指数函数和对勾函数的单调性，对 a 讨论，可得所求范围；（3）求得 yf （x）（x0），g（x）1+，对 k 讨论，分 k11，k1，k1，判断 g（x）的单调性可得 g（x）的值域，再由题意可得任意两个尽可能小的函数值不小于另一个尽可能大的函数值，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）由 f（x）log （x+），x1，a0 且 a1，可得 f（）alog （+）alog （）log 2 2，即 a 2 ，可得整数 a2 或 4；a2aaa第13页（共14页） （2）由 yf（x）log （x+），x1，可得 a x+，即 a x，yya平方可得 a 2xa +10，即有 x，2yy可得 f （x）（若 a1，x0；若 0a1，x0），11（n）f（nN *），即为，若 0a1，则 a +a 单调递减，可得 a1；nn可得 a 的取值范围为（ ，1）（1，4）；（3）若 a2，此时 yf（x）的反函数为 yf （x）（x0），1g（x）1+，当 k1 时，g（x）1，符合题意；当 k1 时，g（x）在 x0 递减，可得 g（x）（1，1+），对一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，可得 1+11+，123123解得 1k4；当 k1 时，g（x）在 x0 递增，可得 g（x）（1+，1），对一切实数 x ，x ，x ，不等式 g（x ）+g（x ）g（x ）恒成立，可得 2（1+）1231231，解得 k1综上可得 k 的范围是 ，4【点评】本题主要考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性和转化思想，考查反函数的求法，化简整理的运算能力，是一道难题第14页（共14页）