2019-2020学年江苏省常州市七年级(上)期末数学试卷.docx

2019-2020 学年江苏省常州市七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）统计显示，截至2019 年 9 月底，超过 13000000 人次经世界最长跨海大桥“港珠澳大桥”往来粤港澳三地，通行人次用科学记数法可以表示为()A1.3´105B13´106C1.3´107D130´1062（2 分）下列运算正确的是()A3 - = 2xx xB + =x y xyC + = 2D5 - 3 = 2m2 m2a2a2a43（2 分）如图，ÐAOC = 20° ， ÐAOB = ÐDOC = 90°，则ÐBOD 等于()A 20°B 40°C70°D110°4（2 分）下列各组数中，不相等的是()A(-2) 与 -23B(-3) 与32C(-3) 与-3D| -2| 与| -2 |3222335（2 分）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是(A0 B1 C26（2 分）如图，数轴上 A ， B 两点分别对应实数 ， ，则下列结论正确的是()D无数)abA + > 0a bB > 0abC - > 0a bD| a | - | b |> 07（2 分）一个两位数的个位数字是 ，十位数字是 ，则这个两位数可表示为()abAB +a bC10 +a bD10 +b aab8（2 分）如图，点 为线段 AB 的中点， 、E 分别为线段、 上的一点且AC BC+= ，AD BE mCD5AE + BD = m ，则CB等于()342313mABCDmmm3二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）.9（2 分） -3的相反数是第1页（共18页） 10（2 分）生活中把气温为零上10 C 记作 +10 C ，则零下5 C 可记作C °°°°11（2 分）已知Ð = 58° ，那么Ð 的余角是AA°12（2 分）若 - 2 = 3，则代数式5 - 2 + 4 的值是abab13（2 分）若关于 的方程2 = - - +1的解为 =1，则x aa =xxx14（2 分）商场将某件商品按标价的 8 折出售，仍可获利 20 元已知这件商品的进价为 140元，那么这件商品的标价是 元15（2 分）如图，已知ÐCOB = 2Ð，平分ÐAOB ，且ÐCOD = 20°，则ÐAOB 的AOC OD度数为1316（2 分）已知关于 的一元一次方程+ = 2 + 的解为 = 2 ，那么关于 y 的一元xxx bx2020413一次方程y b( +1)+ = 2 + + 2的解 y =y20204三、解答题（本大题共 9 小题，共 68 分第 17、19、20、22、24 题每题 8 分，第 18、21、23 题每题 6 分，第 25 题 10 分）17计算：（1） -4 + (-3)´ 2 - (-9) ；1（2）(-1) -1+ (- )´| -3 + 2| 42214133213318先化简，再求值： - 2(-) + (-+) ，其中 = ， y = -2y2 xxxy2x219解方程：（1）7 - 2 = 3- 4 ；xx2x +1 5x -1（2）-=13620如图，点 P 是 ÐAOB 的边OB 上的一点（1）过点 P 画OB 的垂线，交OA 于点 E ；（2）过点 P 画OA的垂线，垂足为 H ；（3）过点 P 画OA的平行线；PC（4）若每个小正方形的边长是 1，则点 P 到OA 的距离是；第2页（共18页） （5）线段，PE PH，OE 的大小关系是（用“ ”连接）<21根据图中对话列方程解决问题：求小明今年的年龄22如图，已知直线 AB 、 交于点 ， ， 平分Ð ，ÐEOF = 70° 求ÐAOCDOBCD O OE AB OF的度数23如图是由几个边长为 1 个单位的正方体搭成的几何体（1）请画出这个几何体的三视图；°（2）这个几何体的体积为 个立方单位；（3）若保持上述正方体搭成的几何体的俯视图不变，各位置的正方体个数可以改变（正方体的总数目不变），则搭成的几何体的表面积最大为个平方单位24元旦期间，某超市打出促销广告，如表所示，第3页（共18页） 无优惠全部按 9 折优惠 其中 500 元仍按 9 折优惠，超过 500 元的部分按 8 折优惠小明妈妈第一次购物用了 134 元，第二次购物用了 490 元（1）小明妈妈第一次所购物品的原价是 元（2）小明妈妈第二次所购物品的原价是多少元？（列方程解决）（3）若小明妈妈将两次购买的物品一次性购买，可比两次购买节省多少元？25归纳人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有 3 个顶点，如果在它的内部再画 个点，并以 + 个点为顶点画三角形，那(n 3)n么最多以剪得多少个这样的三角形？为了解决这个问题，我们可以从 = 、 = 、 = 等具体的、简单的情形入手，探索最多n 1 n 2 n 3可以剪得的三角形个数的变化规律三角形内点的个数图形最多剪出的小三角形个数1323¼¼¼（1）完成表格信息：、；（2）通过观察、比较，可以发现：三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加个于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为 时，最多可以剪得n个三角形像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）第4页（共18页） 说明¼¼”其实这就是运用了归纳的方法用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实（3）请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实） + + + +¼+ n - 的:1 3 5 7 (2 1)和是多少？第5页（共18页） 2019-2020 学年江苏省常州市七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）1（2 分）统计显示，截至2019 年 9 月底，超过 13000000 人次经世界最长跨海大桥“港珠澳大桥”往来粤港澳三地，通行人次用科学记数法可以表示为(A1.3´105 B13´106 C1.3´107【分析】科学记数法的表示形式为 ´10 的形式，其中1 | |<10 ， 为整数确定 的值)D130´106aannn时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同当na原数绝对值>10时， 是正数；当原数的绝对值<1时， 是负数nn【解答】解：13 000 000 =1.3´10 ，7故选： C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a´10 的形式，其中n1 | a |<10 ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值nan2（2 分）下列运算正确的是()A3 - = 2xx xB + =x y xyC a + a = 2aD5m - 3m = 222422【分析】根据合并同类项法则逐一判断即可【解答】解： .3 - = 2 ，正确，故本选项符合题意；A x xxB x 与 y 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； a + a = 2a ，故本选项不合题意；C222D.5m- 3m= 2m ，故本选项不合题意222故选： A 【点评】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变3（2 分）如图，ÐAOC = 20° ， ÐAOB = ÐDOC = 90°，则ÐBOD 等于()A 20°B 40°C70°D110°【分析】根据同角的余角相等解答即可第6页（共18页） 【解答】解： ÐAOB = Ð = ° ，DOC 90ÐBOD = ÐAOC = 20°，故选： A【点评】此题主要考查了余角的性质，利用同角的余角相等的性质即可求出要求的角4（2 分）下列各组数中，不相等的是(-2) 与 -2 (-3) 与)A(BC(-3) 与-3D| -2| 与| -2 |322332233【分析】本题根据有理数的乘方的运算法则和性质，分别进行计算，再进行判断即可【解答】解： 、 - = - ，- = - ，( 2)A82383(-2) 与 -2 相等，故本选项错误；33、 - = ，3 = 9 ，B ( 3) 922(-3) 与 相等，故本选项错误；322、 - = ， -3 = -9 ，( 3) 9C22(-3) 与 - 不相等，故本选项正确；322、 - = - = ，D | 2| 8| 2 | 833| -2| 与| -2 | 相等，故本选项错误33故选： C【点评】此题考查了有理数的乘方，关键是注意运算结果的符号；此题较简单，在解题时要细心5（2 分）在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是(A0 B1 C2)D无数【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可【解答】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1故选： B 【点评】此题主要考查了垂线的性质，正确把握垂线的性质是解题关键6（2 分）如图，数轴上 A ， B 两点分别对应实数 ，b ，则下列结论正确的是()a第7页（共18页） A a+ b > 0B ab > 0Ca - b > 0 - >D | a | | b | 0【分析】本题要先观察 ， 在数轴上的位置，得 < - < < < ，然后对四个选项逐一分1 0 a 1abb析【解答】解： 、A< - < < < ， > ， + < ，故选项 错误；b1 0 a 1 | b | | a | a b 0A、1 0 a 1< - < < < ， < ，故选项 错误；BCDbbbab 0B1 0 a 1 a b 0C< - < < < ， - > ，故选项 正确；1 0 a 1< - < < < ，D| a | - | b |< 0 ，故选项 错误故选： C【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数7（2 分）一个两位数的个位数字是 ，十位数字是b ，则这个两位数可表示为()aA abB a+ bC10a + bD10b + a【分析】两位数= ´十位数字 个位数字10+【解答】解：这个两位数可表示为：10b + a 故选： D【点评】此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系8（2 分）如图，点C 为线段 AB 的中点，D 、E 分别为线段AC 、BC 上的一点且 AD+ BE = m ，5AE + BD = m ，则CB等于()3421A mB mC mDm333【分析】首先用 AE 、BD的长度和减去 AD、BE 的长度和，求出线段DE 的长度的 2 倍是多少，进而求出 DE 的长度是多少；然后用 DE 的长度加上 AD、BE 的长度和，求出线段 AB的长度是多少，再根据点 为线段 AB 的中点，求出C等于多少即可CB5【解答】解：AD BE m AE BD= ，+=，m3522DE = (AE + BD) - (AD + BE) = m - m = m ，3321DE = m ¸ 2 = m ，3314 AB = DE + (AD + BE) = m + m = m ，33第8页（共18页） 点 为线段C的中点，AB42CB = m ¸ 2 = m33故选： B【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及中点的特征和应用，要熟练掌握二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）.9（2 分）-3的相反数是3【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号-【解答】解：- - = ，( 3) 3故 - 的相反数是 33故答案为：3【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号一个-正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆10（2 分）生活中把气温为零上10 C 记作 +10 C ，则零下5 C 可记作-5C°°°°【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可【解答】解：若气温为零上10 C 记作+10 C ，则零下5 C 可记作-5 C°°°°故答案为：- 5【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负11（2 分）已知ÐA = 58° ，那么Ð 的余角是32A° 【分析】根据互余两角之和为 ° 即可得出ÐA 的余角90【解答】解：ÐA 的余角 = ° - ° = °90 58 32故答案为：32【点评】本题考查了余角的知识，属于基础题，注意掌握互余两角之和为 ° 9012（2 分）若a - 2b = 3，则代数式5 - 2a + 4b 的值是 -15 2a 4b【分析】首先把 - +化成5 - 2(a - 2b) ，然后把 - = 代入，求出算术的值是多少a 2b 3即可【解答】解：-= ，a 2b 3第9页（共18页） 5 - 2a + 4b= 5 - 2(a - 2b)= 5 - 2´ 3= 5 - 6= -1故答案为：- 1【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简13（2 分）若关于 x 的方程2x= -x - a +1的解为 x =1，则a =-2【分析】直接把 的值代入进而求出 的值ax【解答】解： 关于 的方程 = - - + 的解为 = ，2x x a 1 x 1x2 = -1- a +1，解得： = - a2故答案为：-2 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确代入 的值是解题关键x14（2 分）商场将某件商品按标价的 8 折出售，仍可获利 20 元已知这件商品的进价为 140元，那么这件商品的标价是 200 元【分析】利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可【解答】解：设原价为 元，根据题意可得：x80%x =140 + 20，解得： =x 200所以该商品的原价为 200 元；故答案为 200【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键15（2 分）如图，已知ÐCOB = 2ÐAOC ，OD 平分ÐAOB ，且ÐCOD = 20°，则ÐAOB 的度数为 120° 第10页（共18页） 【分析】根据角平分线的性质得出 Ð= ÐCOB 2 AOC 2x=， ÐAOD = Ð ，进而求BOD 1.5x=出 的值，即可得出答案x【解答】解： ÐCOB 2 AOC OD= Ð，平分ÐAOB ，且Ð= °，COD 20设 ÐCOB= Ð=2x，ÐAOD= ÐBOD=1.5x ，2AOCÐCOD = 0.5x = 20° ，x = 40° ，ÐAOB 的度数为：3´ 40° =120°故答案为：120° 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，根据题意得出Ð 是解题关键COD 0.5x=1316（2 分）已知关于x 的一元一次方程x+ = 2x + b 的解为 x = 2 ，那么关于 y 的一元2020413一次方程+ + = + + 的解 y = 1 (y 1)2y b 220204【分析】根据题意得出 y +1的值进而得出答案13【解答】解： 关于 的一元一次方程x+ = + 的解为 = ，x 2x2x b2020413关于 y 的一元一次方程+ + = + + 中 y +1= 2 ，(y 1)2y b 220204解得： y =1故答案为：1【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出y +1的值是解题关键三、解答题（本大题共 9 小题，共 68 分第 17、19、20、22、24 题每题 8 分，第 18、21、23 题每题 6 分，第 25 题 10 分）17计算：（1） -4 + (-3)´ 2 - (-9) ；1( 1) 1 ( ) | 3 2|（2） - - - + - ´ - + 422【分析】（1）先计算乘法，再计算加减可得；（2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得第11页（共18页） 【解答】解：（1）原式= - - + = - ；4 6 9131 ( ) 7（2）原式= - - ´221=1+223=2【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则1131318先化简，再求值： x- 2( x - y ) + (- x + y ) ，其中 x = ， = - y 22243232【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 与 y 的值代入计算即可求出值x12233213【解答】解：原式= -+-+= - + ，y2 x yxxy2x23当 = ， y = -2时，原式=2.5x2【点评】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键-19解方程：（1） - = -7 2x 3 4x；2x +1 5x -1（2）-1= 36【分析】（1）直接移项合并同类项进而解方程得出答案；（2）直接去分母进而移项合并同类项解方程得出答案【解答】解：（1） - = -7 2x 3 4x，则4= - ，2x解得： = - ；x22x +1 5x -1（2）-=136去分母得：2(2x +1)- (5x -1)= 6 ，整理得：- = x 3解得： = - x3【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确解方程是解题关键ÐAOB 的边OB 上的一点20如图，点 P 是（1）过点 P 画OB 的垂线，交OA 于点 E ；第12页（共18页） （2）过点 画P OA的垂线，垂足为 ；H（3）过点 画P OA的平行线；PC（4）若每个小正方形的边长是 1，则点 到的距离是 1 ；（用“ ”连接）P OA（5）线段，PE PH，OE 的大小关系是<【分析】（1）、（2）、（3）根据题意画出图形；（3）根据点到直线距离的定义得出结论；（4）根据“垂线段最短”得出结论【解答】解：（1）、（2）、（3）如图；（4） 每个小正方形的边长是 1，点 到 P的距离是 1OA故答案为：1；（5）PH OA，PH < PE，PE OBPE < OE ，PH < PE < OE 故答案为：，<<PH PE OE【点评】本题考查的是作图 基本作图，熟知垂线段的作法是解答此题的关键-第13页（共18页） 21根据图中对话列方程解决问题：求小明今年的年龄【分析】设小明今年的年龄为 岁根据等量关系爸爸的年龄是小明的年龄的3 倍，构建方x程即可解决问题【解答】解：设小明今年的年龄为 岁x由题意：(x + 26) = 3x ，解得 = ，x 13答：小明今年的年龄为 13 岁【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是性质寻找等量关系，构建方程解决问题22如图，已知直线 AB 、CD交于点 ， ， 平分ÐDOBEOF 70，Ð = ° 求ÐAOCO OE AB OF的度数【分析】根据垂直的定义以及角平分线的定义可求出 ÐDOB 的度数，根据对顶角相等，即可求出ÐAOC 的度数【解答】解：OE AB，Ð = ° ，EOF 70ÐBOF = 20° ，OF 平分ÐDOBÐDOB = 40°，ÐAOC = ÐDOB = 40°【点评】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义以及对顶角的性质，难度适中23如图是由几个边长为 1 个单位的正方体搭成的几何体第14页（共18页） （1）请画出这个几何体的三视图；°（2）这个几何体的体积为 7 个立方单位；（3）若保持上述正方体搭成的几何体的俯视图不变，各位置的正方体个数可以改变（正方体的总数目不变），则搭成的几何体的表面积最大为个平方单位【分析】（1）根据主视图、左视图、俯视图的定义画出图形即可；（2）先求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数即可求解；（3）分别求出 6 个面的面积，进一步得到这个组合几何体的表面积即可【解答】解：（1）如图所示：（2）1´1´1=1，7´1= 7 （立方单位）故这个几何体的体积为 7 个立方单位（3）1´1=1，这个组合几何体的表面积为(6´ 2 + 4´ 4 + 2)´1= 30 （平方单位）故搭成的几何体的表面积最大为 30 个平方单位故答案为：7；30【点评】此题主要考查了作图 三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出-来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉24元旦期间，某超市打出促销广告，如表所示，一次性购物不 一次性购物超超过 200 元 过 200 元但不超过 500 元第15页（共18页） 优惠办法无优惠全部按 9 折优惠 其中 500 元仍按 9 折优惠，超过 500 元的部分按 8 折优惠小明妈妈第一次购物用了 134 元，第二次购物用了 490 元（1）小明妈妈第一次所购物品的原价是 134 元（2）小明妈妈第二次所购物品的原价是多少元？（列方程解决）（3）若小明妈妈将两次购买的物品一次性购买，可比两次购买节省多少元？【分析】（1）根据134 200 0.9 180=<´可知第一次购物没有优惠；（2）根 据490 450>可知第二次所购物品的原价超过 500 元，设小明妈妈第二次所购物品的原价为 元，根据支付钱数=´+ 超过 500 元的钱数´80%即可得出关于 的一元一x90% 500次方程，解之即可得出结论；（3）根据支付钱数=x90% 500´+ 超过 500 元的钱数´80%算出将两次购买的物品一次全部买清所需钱数，进而求出节省的钱数【解答】解：（1） 第一次付了 134 元<200 90% 180=´元，第一次购物不享受优惠，即所购物品的原价为134 元；故答案为：134（2） 第二次付了 490 元 >500 90% 450=´元，第二次购物享受了 500 元按 9 折优惠，超过部分 8 折优惠设小明妈妈第二次所购物品的原价为 元，x根据题意得：90%´500 + (x - 500)´80% = 490 ，得 =x 550答：小明妈妈第二次所购物品的原价为 550 元（3）500´90% + (550 +134 - 500)´80% = 597.2（元)，又134 490 624=+（元)，（元)624 - 597.2 = 26.8她将这两次购物合为一次购买节省 26.8 元【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程（或列式计算）是解题的关键第16页（共18页） 25归纳人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有 3 个顶点，如果在它的内部再画 个点，并以 + 个点为顶点画三角形，那(n 3)n么最多以剪得多少个这样的三角形？为了解决这个问题，我们可以从 = 、 = 、 = 等具体的、简单的情形入手，探索最多n 1 n 2 n 3可以剪得的三角形个数的变化规律三角形内点的个数图形最多剪出的小三角形个数13253¼¼¼（1）完成表格信息：、；（2）通过观察、比较，可以发现：三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加个于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为 时，最多可以剪得n个三角形像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）说明¼¼”其实这就是运用了归纳的方法用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实（3）请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实） + + + +¼+:1 3 5 7- 的(2n 1)和是多少？【分析】解；（1）由图形规律可得，答案为 5，7；（2）因为 - = - = ，所以三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加 25 3 7 5 2个； 三角形内点的个数为 1 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，3 2 1 1因为三角形内点的个数为 2 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，三角形内点的个数为5 2 2 13 时，7 最多剪出的小三角形个数7= 2´3 +1，所以三角形内点的个数为 时，最多剪出的n第17页（共18页） 小三角形个数 + ；2n 1（3）列表归纳即可【解答】解；（1）由图形规律可得，答案为 5，7；（2）- = - = ，5 3 7 5 2三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加 2 个；三角形内点的个数为 1 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，3 2 1 1三角形内点的个数为 2 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，5 2 2 1三角形内点的个数为 3 时，7 最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，7 2 3 1三角形内点的个数为 时，最多剪出的小三角形个数 + 2 1nn故答案为 2，(2n +1)；（3）1+ 3 + 51+ 3+ 5 + 7¼¼1+ 3+ 5 + 7 +¼+ (2n -1)n2证明： S =1+ 3+ 5 + 7 +¼+ (2n - 5) + (2n - 3) + (2n -1)S = (2n -1)+ (2n - 3) + (2n - 5) +¼+ 7 + 5 + 3+1S + S = 2n n = 2n22S = 2n2S = n2【点评】本题考查了根据图形规律列代数式，正确找出图形规律是解题的关键第18页（共18页）25归纳人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有 3 个顶点，如果在它的内部再画 个点，并以 + 个点为顶点画三角形，那(n 3)n么最多以剪得多少个这样的三角形？为了解决这个问题，我们可以从 = 、 = 、 = 等具体的、简单的情形入手，探索最多n 1 n 2 n 3可以剪得的三角形个数的变化规律三角形内点的个数图形最多剪出的小三角形个数13253¼¼¼（1）完成表格信息：、；（2）通过观察、比较，可以发现：三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加个于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为 时，最多可以剪得n个三角形像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）说明¼¼”其实这就是运用了归纳的方法用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实（3）请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实） + + + +¼+:1 3 5 7- 的(2n 1)和是多少？【分析】解；（1）由图形规律可得，答案为 5，7；（2）因为 - = - = ，所以三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加 25 3 7 5 2个； 三角形内点的个数为 1 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，3 2 1 1因为三角形内点的个数为 2 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，三角形内点的个数为5 2 2 13 时，7 最多剪出的小三角形个数7= 2´3 +1，所以三角形内点的个数为 时，最多剪出的n第17页（共18页） 小三角形个数 + ；2n 1（3）列表归纳即可【解答】解；（1）由图形规律可得，答案为 5，7；（2）- = - = ，5 3 7 5 2三角形内的点每增加 1 个，最多可以剪得的三角形增加 2 个；三角形内点的个数为 1 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，3 2 1 1三角形内点的个数为 2 时，最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，5 2 2 1三角形内点的个数为 3 时，7 最多剪出的小三角形个数 = ´ + ，7 2 3 1三角形内点的个数为 时，最多剪出的小三角形个数 + 2 1nn故答案为 2，(2n +1)；（3）1+ 3 + 51+ 3+ 5 + 7¼¼1+ 3+ 5 + 7 +¼+ (2n -1)n2证明： S =1+ 3+ 5 + 7 +¼+ (2n - 5) + (2n - 3) + (2n -1)S = (2n -1)+ (2n - 3) + (2n - 5) +¼+ 7 + 5 + 3+1S + S = 2n n = 2n22S = 2n2S = n2【点评】本题考查了根据图形规律列代数式，正确找出图形规律是解题的关键第18页（共18页）