2022年高中物理八大解题方法之六：守恒法 .pdf

- 1 - 高中物理解题方法之守恒法江苏省特级教师戴儒京一、动量守恒动量守恒定律：内容： 一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。 这个结论叫做 动量守恒定律。公式： pp或2121pppp或2211vmvm=2211vmvm( 物理第一册第124 页) 例 1. 如图所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板B 和 C。重物 A（视为质点）位于 B 的右端， A、B、C 的质量相等。现A 和 B 以同一速度滑向静止的C，B 与 C 发生正碰，碰后B 和 C 粘在一起运动， A 在 C 上滑行， A 与 C 有摩擦力。已知A 滑到 C的右端而未掉下。试问：从B、C 发生正碰到 A 刚移到 C 右端期间， C 所走过的距离是C 板长度的多少倍？解：设 A、B、C 的质量均为m, 碰撞前， A 与 B 的共同速度为v0，碰撞后， B 与 C 的共同速度为v1。以 B、C 为一系统， B、C 碰撞时间很短， B、C 之间的作用力（内力）远大于它们与A 的作用力（外力） ，该系统动量守恒，由动量守恒定律，得：102mvmv（1）设 A 滑至 C 右端时， A、B、C 三者的共同速度为v2。对 A、B、C 三个物体组成的系统，用动量守恒定律，有：2032mvmv（2）设 A 与 C 的动摩擦力因数为，从发生碰撞到A 滑至 C 的右端时， C 所走过的距离为s，对 B、C，用动能定理，有22)2(21vmmgs-21)2(21vm（3）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2 - 设 C 的长度为 L，对 A，用动能定理，有2021)(mvLsmg-2221mv（4）由以上各式解得：37Ls。例 2.甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s求甲、乙两运动员的质量之比【答案】（3）由动量守恒1 12 22 21 1mvmvmvmv解得122211mvvmvv代入数据得1232mm例 3. 牛顿的自然哲学的数学原理中记载 , A 、 B 两个玻璃球相碰 ,碰撞后的分离速度和它们碰撞前的接近速度之比总是约为15 ： 16 . 分离速度是指碰撞后B 对 A 的速度 ,接近速度是指碰撞前A 对 B 的速度 . 若上述过程是质量为2 m 的玻璃球A 以速度v0碰撞质量为m 的静止玻璃球B,且为对心碰撞 ,求碰撞后A、B 的速度大小 . 【解析】 设 A、B 球碰撞后速度分别为1v和2v由动量守恒定律21022mvmvmv，由题意知1615012vvv解得014817vv，022431vv例 4. 如题 12C-2 图所示，进行太空行走的宇航员A 和 B 的质量分别为80kg 和 100kg，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为0.1m/ s。 A 将 B 向空间站方向轻推后，A的速度变为0.2m/ s，求此时 B 的速度大小和方向。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3 - 【答案】根据动量守恒，设远离空间站方向为正，BBAABAvmvmvmm）（，解得smvB/02.0，方向为设远离空间站方向。【点评】本题考查动量守恒定律，难度：容易。二、 电荷数守恒和质量数守恒原子核的衰变方程如：HeThU422349023892在衰变过程中，衰变前的质量数等于衰变后的质量数之和；衰变前的电荷数等于衰变后的电荷数之和。大量观察表明，原子核衰变时电荷数和质量数都守恒。（ 物理第三册第 65 页）例用大写字母表示原子核，表示衰变，一系列衰变记为：，另一系列衰变记为：。已知 P 是 F 的同位素。则（）A Q 是 G 的同位素， R 是 H 的同位素B R 是 E 的同位素， S是 F 的同位素C R 是 G 的同位素， S 是 H 的同位素D Q 是 E 的同位素， R 是 F 的同位素解：根据原子核衰变时电荷数和质量数都守恒，设 E 的核电荷数为z，质量数为m,即为Emz， 则经（He42） 衰变后，核电荷数为2z， 质量数为4m， 则 F 为Fmz42，经（e01）衰变后，核电荷数1，质量数不变，则G 为Gmz4；同样方法可算出，H 为Hmz 2。已知 P 是 F 的同位素，所以P 可以记为Pxz 2，x设为 P 的质量数，则经衰名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 4 - 变后， Q 为Qxz，再经衰变后， R 为Rxz 1，经衰变后， S 为Sxz42。由于 R 与 E 的核电荷数相同，所以R 是 E 的同位素。同样， S 是 F 的同位素。答案为 B。三、能的转化与守恒守恒思想在高中物理学中是贯穿前后的重要思想，包括能量守恒定律、动量守恒定律、电荷守恒定律等；守恒思想在高中物理的中各部分的体现与表达是不同的。能量守恒定律： 内容 :能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为别的形式 ,或者从一个物体转移到别的物体,在转化或转移的过程中其总量不变.这就是能量守恒定律 . 能量守恒定律在不同的条件下有不同的体现,在高中物理学习的不同阶段有不同的表达 . 力做功，功变能，能守恒。合力做功 =动能的改变（动能定理）重力做功 =重力势能的改变。重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增大。弹力做功 =弹性势能的变化。弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势能增大。电场力做功 =电势能的变化。电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增大。安培力做功 =电能的变化。安培力做正功，电能转化为其他形式的能，安培力做负功（克服安培力做功） ，其他形式的能转化为电能。摩擦力做功 =热能的变化。克服摩擦力做功，其他形式的能转化为热能。1机械能守恒定律(能量守恒定律在力学中的表达) 内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律公式：2221mv+2mgh=2121mv+1mgh或者2kE+2PE=1kE+1PE（全日制普通高级中学教科书（必修）物理第一册第147名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 5 - 页 148 页）在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，动能与弹性势能之和保持不变，即机械能守恒（ 物理第148 页）公式：2221mv+2221kx=2121mv+2121kx（笔者补充）弹簧振子和单摆是在弹力或重力的作用下发生振动的,如果不考虑摩擦和空气阻力,只有弹力或重力做功,那么振动系统的机械能守恒. 例 1.柴油打桩机的重锤由汽缸、活塞等若干部件组成，汽缸与活塞间有柴油与空气的混合物。在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m，锤在桩帽以上高度为h 处从静止开始沿竖直轨道自由下落（如图1） ，打在钢筋混凝土桩子上，钢筋混凝土桩子（包括桩帽）的质量为M。同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。随后，桩在泥土中向下移动一段距离L。已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为 h（如图 2） 。已知：kgm3100.1，kgM3100 .2，mh0.2，mL20.0。重力加速度2/10smg。混合物的质量不计。设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力 F 是恒力，求此力的大小。解：锤自由下落，只有重力做功，机械能守恒，设锤碰桩前速度为1v，由2121mvmgh，得ghv21（1）碰后，锤上升高度为（h-L）, 设锤刚碰桩后速度为2v，根据机械能守恒定律，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 6 - 2221)(mvLhmg，得)(22Lhgv（2）设碰后桩的速度为v，方向向下，根据碰撞前后动量守恒，设向下为正方向，有：)(21vmMvmv，得Mvvmv)(21（3）桩下降的过程中，根据动能定理，有2210MvFLMgL（4）由（ 1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）式解得： )(22LhhLhMmLmgMgF代入数据得： F=2.1105N。2 热力学第一定律 (能量守恒定律在热学中的表达) 内容 : 如果物体跟外界同时发生做功和热传递的过程,那么 ,外界对物体所做的功W加上物体从外界吸收的热量Q 等于物体内能的增加U. 公式 : U=Q+W 上式所表示的功、热量跟内能改变之间的定量关系,在物理学中叫做热力学第一定律. 符号法则 : U: 物体的内能的增加为正,减少为负，不变为0；热量 Q: 物体从外界吸收的热量为正,向外界放出的热量为负；功 W: 外界对物体所做的功为正,物体对外界所做的功为负。例 2一定质量为的理想气体，从某一状态开始，经过一系列变化后又回到开始状态，用W1表示外界对气体做的功，W2表示气体对外界做的功；Q1表示气体吸收的热量， Q2表示气体放出的热量，则在整个过程中一定有（）A1221WWQQB21QQC21WWD21QQ解：根据热力学第一定律，U=Q+W ，（1）式中U=0，又据符号法则，21QQQ，（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 7 - 21WWW，（3）将（ 2） 、 （3）代入（ 1）式，得答案： A。3 机械能与电势能之和守恒(能量守恒定律在电场中的表达) 电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程, 电场力做了多少功,就有多少电势能和其他形式的能发生相互转化.( 物理第二册第104 页) 如果只有电场力做功, 电势能和动能相互转化, 动能与电势能之和守恒; 公式 : 2221mv+2qU=2121mv+1qU如果只有电场力和重力做功, 电势能和机械能相互转化, 机械能与电势能之和守恒. 公式 : 2221mv+2mgh+2qU=2121mv+1mgh+1qU例 3如图 3 所示，将一质量为m、电荷量为 +q 的小球固定在绝缘杆的一端，杆的另一端可绕通过O 点的固定轴转动。杆长为L，杆的质量忽略不计。杆和小球置于场强为 E 的匀强电场中，电场的方向如图所示，将杆拉至水平位置OA，在此处将小球自由释放。求杆运动到竖直位置OB 时小球的速度。A O E B 图 3 解：杆和球运动过程中只有重力和电场力做功，机械能与电势能之和守恒，有2221mv+2mgh+2qU=2121mv+1mgh+1qU(1)其中 1 表示位置 A，2 表示位置 B。则有Lhh21，ELUU21，01v，将以上三式代入（1）式，得：qELgLv222。4 电磁感应中的能量转化与守恒(能量守恒定律在电磁感应中的表达) 能量守恒定律是一个普遍适用的定律,同样适用于电磁感应现象.在发电机中 ,外力做功,消耗机械能 ,产生的电能是从机械能转化而来的;发电机就是应用这个原理制成的.在变压器中 ,电能是由初级线圈转移给次级线圈的,变压器就是应用这个原理制成的.在这中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 8 - 转化和转移中能量保持不变. (物理第二册第168 页) 楞次定律和法拉第电磁感应定律就是能量守恒定律在电磁感应中的体现。楞次定律：物理学家楞次（1804-1856）概括了各种实验结果，在1834 年得到如下结论：感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 这就是 楞次定律 。(物理第二册第200 页，黑体是原文所有，下同) 法拉第电磁感应定律：法拉第不怕困难，顽强奋战了10 年，终于取得了突破，在1831 年发现了电磁感应现象。(物理第二册第195 页) 内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。这就是法拉第电磁感应定律。公式：tnE或sinBLvE导线切割磁感线时产生的感应电动势的大小，跟磁感应强度B、导线长度 L、运动速度v以及运动方向和磁感线方向的夹角的正弦sin成正比。 (物理 第二册第 198页) 对于理想变压器 ,它们的输入功率等于输出功率,即公式：2211UIUI. 例 4图 4 中 MN 和 PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距 l 为 0.40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B 为 0.50T 的匀强磁场垂直。质量m 为 6.0 10-3kg、电阻为 1.0的金属杆 ab 始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0的电阻 R1。当杆 ab 达到稳定状态时以速率v 匀速下滑， 整个电路消耗的电功率P 为 0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率 v 和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。解: 在杆 ab 达到稳定状态以前,杆加速下降 ,重力势能转化为动能和电能 .当杆 ab 达到稳定状态 (即匀速运动 )时,导体棒克服安培力做功 ,重力势能转化为电能,即电路消耗的电功,所以有Pmgv代入数据得 :smv/5. 4. 图 4 感应电动势为BLvER1 R2 labMNPQBv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 9 - 感生电流为rREI外其中 r 为 ab 的电阻 ,R外为 R1与 R2的并联电阻 ,即21111RRR外. 又IEP代入数据 ,解得 :R2=6.0. 例 5.如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为 R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N 处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF 相接，EF 之间接有电阻R2，已知 R112R，R24R。在 MN 上方及 CD 下方有水平方向的匀强磁场I和 II，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒 ab，从半圆环的最高点A 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒ab 下落 r/2 时的速度大小为v1，下落到 MN 处的速度大小为v2。（1）求导体棒ab 从 A 下落 r/2 时的加速度大小。（2）若导体棒ab 进入磁场 II 后棒中电流大小始终不变，求磁场I 和 II 之间的距离h 和 R2上的电功率P2。（3）若将磁场II 的 CD 边界略微下移，导体棒ab 刚进入磁场II 时速度大小为v3，要使其在外力F 作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F 随时间变化的关系式。【分析】本题考查电磁感应与电路的综合问题及电磁感应中的能量守恒问题。解题关键是分析哪是内电路，哪是外电路。【答案】（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I 中切割磁感线，棒中产生感应电动势，导体棒 ab 从 A 下落 r/2 时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得mgBILma，式中 l3r 1BlvIR总式中844844RRRRRRR总（）（）4R 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 10 - （ 【穿插点评】注意：导体棒ab 为电源， ab 以上的电阻为RR83212,ab 以下的电阻为RRRR4443112,两部分电阻并联，得以上式子。）由以上各式可得到22134B r va gmR= （2）当导体棒 ab 通过磁场 II 时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即222422ttBrvB r vmgBIrBrRR并并式中1 2431 24RRRRRR并解得2222344tmgRmgRvB rB r并导体棒从 MN 到 CD 做加速度为g 的匀加速直线运动，有2222tvvgh得2222449232vm gRhgB r此时导体棒重力的功率为222234Gtm g RPmgvB r根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即12GPPPP电222234m g RB r所以，234GPP2222916m g RB r（3）设导体棒ab 进入磁场 II 后经过时间t 的速度大小为tv，此时安培力大小为2243tB r vFR由于导体棒ab 做匀加速直线运动，有3tvvat根据牛顿第二定律，有FmgF ma 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 11 - 即2234()3B rvatFmgmaR由以上各式解得22222233444()()333B r vB rB r aFatvm gatmamgRRR【点评】解法2 求出tv后，根据导体棒从MN 到 CD 阶段机械能守恒，2222121mvmghmvt， 得2222449322vm grhB rg。R2上的电功率 P2RI422,其中412122II(根据并联分流公式)REI3,tvrBE2，将2243rBmgRvt代入得22222169rBRgmP。（3）设导体棒ab 进入磁场 II 后经过时间t 的速度大小为tv，此时安培力大小为2243tB r vFR由于导体棒ab 做匀加速直线运动，有3tvvat根据牛顿第二定律，有FmgF ma 即2234()3B rvatFmgmaR由以上各式解得22222233444()()333B r vB rB r aFatvm gatmamgRRR例 6.如图所示，竖直放置的U 形导轨宽为 L，上端串有电阻R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒 ab 的质量为 m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab 保持水平而下滑。试求ab下滑的最大速度vm解：释放瞬间 ab 只受重力， 开始向下加速运动。随着速度R a b m L 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 12 - 的增大，感应电动势E、感应电流I、安培力 F 都随之增大，加速度随之减小。当F 增大到 F=mg 时，加速度变为零，这时ab 达到最大速度。由mgRvLBFm22，可得22LBmgRvm点评：这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后，重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。进一步讨论：如果在该图上端电阻右边安一只电键，让ab 下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后ab 的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键，ab 可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，但最终稳定后的速度总是一样的）。只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化。电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。这种综合是很重要的。要牢固树立起能量守恒的思想。【例 7】 如图所示，矩形线圈abcd 质量为 m，宽为 d，在竖直平面内由静止自由下落。 其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈 ab 边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？解： ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热Q =2mgd。【例 8】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为B 的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒ab、cd 横截面积之比为21，长度和导轨的宽均为L，ab 的质量为m ，电阻为 r，开始时 ab、cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。给ab 一个向右的瞬时冲量I，在以后的运动中，cd 的最大速度vm、最大加速度am、产生的电热各是多少？解：给 ab 冲量后， ab 获得速度向右运动，回路中产a b d c a d b c 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 13 - 生感应电流， cd 受安培力作用而加速，ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时cd 的加速度最大，最终cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于ab、cd 横截面积之比为21，所以电阻之比为 12，根据 Q=I2RtR，所以 cd 上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的2/3。又根据已知得ab的初速度为v1=I/m，因此有：2/,2,1mFaBLIFrrEIBLvEm， 解得rmILBam22232。 最后的共同速度为vm=2I/3m，系统动能损失为EK=I 2/ 6m，其中 cd 上产生电热 Q=I 2/ 9m5电磁振荡中的能量转化和守恒(能量守恒定律在电磁感应中的表达) 从场的观点来看，电场具有电场能，磁场具有磁场能。在电容器放电过程中，电场能逐渐转化为磁场能；电容器充电过程中，磁场能逐渐转化为电场能；在电磁振荡过程中， 电场能和磁场能同时发生周期性的转化，回路中的电流i和电容器极板上的电荷q随时间作周期性变化。在电磁振荡中， 如果没有能量损失，电磁振荡应该永远持续下去，振荡电流的振幅应该永远保持不变，这种振荡叫做 无阻尼振荡 。( 物理 第二册第 239页) 公式：222121LICU。例 9LC 回路中电容器两端的电压u 随时间 t 变化的关系如图5 所示 , A.在时刻 t1，电路中的电流最大B.在时刻 t2，电路中的磁场能最大C.从时刻 t2至 t3，电容器中的电场能不断增大D.从时刻 t3至 t4，电容器的带电量不断增大图 5 解：在时刻t1，电容器上的电压最高，此时，电场能最大，磁场能为0，电流为 0，A 错误；在时刻t2，电容器上的电压为0，此时，电场能为0，磁场能最大， B 正确；从名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 14 - 时刻 t2至 t3，电容器上的电压不断增大，据电场能公式221CUE，电容器中的电场能不断增大， C 正确；电容器上的电压不断减小，据公式CUQ，电容器的带电量不断增大， C 错误；答案选B、C。6.质能关系爱因斯坦的相对论指出，物体的能量和质量之间存在着密切的联系，它们之间的关系是：2mcE这就是著名的爱因斯坦质能方程。例 6. 解：反应后的质量为：36.96591u+0.00055u=36.95746u, 根据反应过程的质量与能量的转化与守恒，与电子中微子的能量相当的质量为 36.95746u-36,95658u=0.00088u, 电子中微子的最小能量为MeVMeVMeVE82.081973.05.93100088.0答案为 A。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -