2022年高中数学三角函数常见习题类型及解法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出；因此,在复习 过程中既要留意三角学问的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性 等性质；以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要留意三角学问的工具性,突出三角与 代数、几何、向量的综合联系,以及三角学问的应用意识；一、学问整合1娴熟把握三角变换的全部公式,懂得每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等；熟识三角变换常用的方法化弦法,降幂法,角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函 数式的求值、化简、证明；把握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式 解决一些实际问题2娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它讨论复合函数 的性质；娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的外形、特点,并会用五点 画出函数 y A sin x 的图象；懂得图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换 讨论函数图象的变化二、高考考点分析2004 年各地高考中本部分所占分值在1722 分,主要以挑选题和解答题的形式显现；主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简洁运用,解决有关三角函数基本性质的问题；如判定符号、求值、求周期、判定奇偶性等；其次层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用；如帮助角公式、平方公式逆用、切弦互化等；第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题；如分段函数值,求复合函数值域等；三、方法技巧1. 三角函数恒等变形的基本策略；（ 1）常值代换：特殊是用“1” 的代换,如 1=cos 2 +sin 2 =tanx ·cotx=tan45 ° 等；（ 2）项的分拆与角的配凑；如分拆项：sin 2x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=1+cos 2x；配凑角： =（ + ） , =等；2 2（ 3）降次与升次； （4）化弦（切）法；2 2（ 4）引入帮助角； asin +bcos = a b sin + ,这里帮助角 所在象限由 a、b的符号确定,角的值由 tan = b 确定；a2. 证明三角等式的思路和方法；（ 1）思路：利用三角公式进行化名,化角,转变运算结构,使等式两边化为同一形式；（ 2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法；3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等；4. 解答三角高考题的策略；（ 1）发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进行所谓的“ 差异分析”；（ 2）查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系；（ 3）合理转化：挑选恰当的公式,促使差异的转化；四、例题分析例 1已知tan2,求（1）cossin；（2）sin2sin.cos2cos2的值 . cossin例 2求函数y1sinxcosxsinxcos 2的值域；例 3已知函数f x 4sin2x2sin 2x2,xR；（ 1）求f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时x 的集合；（ 2）证明：函数f x 的图像关于直线x对称；8例 4 已知函数 y= 1 cos 2x+ 3 sinx ·2 2（ 1）当函数 y 取得最大值时,求自变量cosx+1 （xR）, x 的集合；（ 2）该函数的图像可由 y=sinxx R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？（例 5已知函数 f x sin xcos x3 cos 2x .3 3 3（）将 fx 写成 A sin x 的形式,并求其图象对称中心的横坐标；（）假如ABC的三边 a、b、c 满意 b 2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范畴及此时函数 fx 的值域 . y例 6在ABC中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos Ccos Bt3ac,第 2 页,共 7 页b1求 sin B 的值；22如b42,且 a=c ,求ABC 的面积；3 b,例 7已知向量a2cos,2sin, = sin,cos ,xakab ,且x y0,名师归纳总结 1求函数kf t 的表达式；2如t 1 3, ,求f t 的最大值与最小值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8已知向量acos,sin , =cos,sin |ab|2 5,5名师归纳总结 1 求 cos 的值；的值；第 3 页,共 7 页2 2如0,0,且sin5,求sin2213例 9平面直角坐标系有点P ,1cosx,Qcosx1, ,x4,4（ 1）求向量 OP 和 OQ 的夹角的余弦用 x 表示的函数fx；（ 2）求的最值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）cossin1sin1tan12322；cos sincossin11tan12cos2 cos 2 sin2sincos22cos22sin24sin. cos222sin2cos,进行弦、切互化,就sin2sin222 cos2 sincos 2cos 1213说明：利用齐次式的结构特点（假如不具备,通过构造的方法得到）会使解题过程简化；解：设 t sin x cos x 2 sin x 2,2,就原函数可化为4y t 2t 1 t 1 2 3,由于 t 2,2,所以2 4当 t 2 时,y max 3 2,当 t 1时,y min 3,2 4所以,函数的值域为 y 3,2；42 2解：f x 4sin x 2sin 2 x 2 2sin x 21 2sin x 2sin 2 x 2cos 2 x 2 2 sin2 x 41所以 f x 的最小正周期 T ,由于 x R,所以,当 2 x 2 k ,即 x k 3 时,f x 最大值为 2 2 ；4 2 82 证 明 ： 欲证 明 函数 f x 的 图 像 关 于直 线 x 对 称 ,只要 证 明 对任 意 x R , 有8 f x f x 成立,8 8由于 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2cos2 x ,8 8 4 2 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2 cos2 x ,8 8 4 2所以 f x f x 成立,从而函数 f x 的图像关于直线 x 对称；8 8 8解：（1）y= 1 cos 2x+ 3 sinx ·cosx+1= 1 2cos 2x1+ 1 + 3 （ 2sinx ·cosx ）+1 2 2 4 4 4名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1 cos2x+ 41 sin2x+ 23 sin2x+ 4+ 56 45 = 41 cos2x · sin 26+sin2x · cos6+54=所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2k , （kZ）,即 x= +k , （k Z）；6 2 6所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 x|x= +k ,k Z 6（ 2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（ i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sinx+ 的图像；6 6（ ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的 1 倍（纵坐标不变） ,得到函数 y=sin2x+ 2 6的图像；（ iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的 1 倍（横坐标不变）,得到函数2y= 1 sin2x+ 的图像；2 6iv ）把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到函数 y= 1 sin2x+ + 5 的图像；4 2 6 4综上得到 y= 1 cos 2x+ 3 sinxcosx+1 的图像；2 2说明：此题是 2000 年全国高考试题,属中档偏简洁题,主要考查三角函数的图像和性质；这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降幂后最终化成 y= a 2b 2sin x+ +k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式；此题（1）仍可以解法如下：当1 2 3 1 3cos x sin x cos x tan xcosx=0 时, y=1；当 cosx 0 时, y= 22 22 +1= 2 22 +1 sin x cos x 1 tan x化简得： 2y 1tan 2x3 tanx+2y 3=0 tanx R, =38y 12y 3 0, 解之得：3 y74 4 ymax= 7 ,此时对应自变量 x 的值集为 x|x=k + ,k Z 4 6解：f x 1 sin 2 x 3 1 cos 2 x 1 sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin 2 x 32 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2（）由 sin 2 x =0 即 2 xk k z 得 x 3 k 1 k z3 3 3 3 2即对称中心的横坐标为 3 k 1,k z2（）由已知 b 2=ac 名师归纳总结 第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosxa2c2b202 ac2ac32 acac1 2,2 ac2 ac2 ac1cosx1,x3,2x52339|32|52|,sin3sin2x31,3sin2x313,9332即fx的值域为31,3. 2综上所述,x,03,fx值域为3 1,3 . 2说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等学问,仍需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培育同学的运算才能,对学问进行整合的才能；解： 1由正弦定理及cosC3ac,有cos cosC3sinAsinC,A0,所cosBbBsinB即 sinBcos C3sinAcosBsinCcosB,所以sinBC3sinAcosB ,又由于 ABC, sinBCsinA ,所以 sinA3sinAcosB ,由于 sin以cosB1,又 0B ,所以sinB1cos2B232；32在ABC 中,由余弦定理可得a2c22ac32,又 ac ,3所以有4a232,即a224,所以ABC 的面积为3S1acsinB1a2sinB82；22解： 1a24,b21,a b0,又x y0,所以x yat23 kabka2t23 b2tk t23a b0,所以k1t33t ,即kf t 1t33t ；4444第 6 页,共 7 页2由 1可得,令f t 导数3t230,解得t1,列表如下：44t 1 1,1 1 1,3 f t 导数0 0 + 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f t 极大值递减微小值递增而f 11,f11,f39,所以f t max9,f t min1 2；63第 7 页,共 7 页2222解： 1由于acos,sin , =cos,sin ,2 5 5,所以abcoscos,sinsin,又由于|ab|2 5,所以coscos 2sinsin 25即22cos4,cos3；55 2 0,0 0,22又由于cos 3,所以sin 4,55sin5,所以cos12,所以sinsin131365解：（1）OPOQOPOQcos,cosxcosx 1cos2xcoscos12cosxxcos2x2 ,32,即fx 12cosxx4x4cos2（2）coscosx21x,又cosx1cos2cos232. arccoscos2321,min0,max说明：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻留意；名师归纳总结 - - - - - - -