八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第1课时.docx
第十五章分式15.3分式方程15.3分式方程(第1课时)学习目标1.通过经历实际问题列分式方程探究解分式方程的过程,体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题、解决问题的能力,增强用数学的意识.2.理解分式方程的概念,会解可化为一元一次方程的分式方程.3.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.4.了解分式方程产生增根的原因,掌握解分式方程验根的方法.学习过程一、自主学习问题1:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?设船在静水中的速度是v千米/时,填空:(1)轮船顺流航行速度为千米/时,逆流航行速度为千米/时;(2)顺流航行90千米所用时间为小时;(3)逆流航行60千米所用时间为小时;(4)根据题意可列方程为.问题2:为了帮助遭受地震的灾区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4 800元,第二次捐款总额为5 000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人,那么x满足怎样的方程?议一议:上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗?以前我们学过什么方程?试举例说明.比一比:以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有什么不同?说一说:你能尝试给它一个名字吗?说一说命名的原因.想一想:方程12x+13(x+1)=16是不是分式方程?为什么?你能归纳出分式方程的概念吗?判一判:判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=1;(2)x+25=2y-z3;(3)1x-2;(4)y-3x+5=0;(5)x+1x=1;(6)x-3=2+x5.选一选:在方程x-73=8+x-152;6-12x6=x;8x2-1=x+8x-1;x-1-1x2=0中是分式方程的有()A.和B.和C.和D.和问题:你能举出一个分式方程的例子吗?二、深化探究问题1:试解分式方程(1)9030+v=6030-v;(2)4 800x=5 000x+20.练习:试一试:解方程1x-1=2x2-1.思考:x=1真是原分式方程的解吗?问题2:同样是分式方程,前面解的两个方程和为什么没有碰到这样的麻烦?解一元一次方程为什么也没有这些麻烦?具体一些,就是为什么9030+v=6030-v去分母后所得整式方程90(30-v)=60(30+v)的解就是原分式方程的解,而1x-1=2x2-1去分母后所得整式方程x+1=2的解却不是原分式方程的解呢?得出结论:解分式方程必须检验.问题3:解分式方程,如何检验?三、巩固练习【例1】解方程2x-3=3x.【例2】解方程xx-1-1=3(x-1)(x+2).思考题:1.由以上两个例子及前面的解题经历,请同学们归纳解分式方程的基本思想、基本方法和基本步骤?2.你推测一下,可化为一元一次方程的分式方程的解的情况.四、深化提高问题1:关于x的方程ax+1=1的解集是负数.求a的取值范围.问题2:若方程x-1x+2=mx+2无解,试确定m的值.问题3:解方程:(1)x-1x+1+2x1-2x=0;(2)5x+2x2+x=3x+1.五、拓展练习1.解方程:(1)xx-2+12-x=2;(2)11-3x-32=23x-1;(3)3xx+2+2x-2=3.2.设A=xx-1,B=3x2-1+1,当x为何值时,A与B的值相等?3.解方程:1x-5-1x-6=1x-8-1x-9.参考答案一、自主学习问题1:(1)30+v,30-v;(2)9030+v;(3)6030-v;(4)9030+v=6030-v.问题2:4 800x=5 000x+20.议一议:不是,以前学过一元一次方程和二元一次方程,如x-1=3,x+y=7等.比一比:以前学过的都是整式方程,里面没有分式,而刚才的两个方程都含分式,且有未知数处在分母的位置上.说一说:分式方程,因为里面含有分式.想一想:不是,因为它不含分式,分母中没有未知数.分母中含有未知数的有理方程分式方程.判一判:(1)(2)(6)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程.选一选:C问题:2x-4=xx+4-3等.二、深化探究问题1:(1)方程两边同乘以(30+v)(30-v),约去分母,得90(30-v)=60(30+v).解这个整式方程,得v=6.所以轮船在静水中的速度为6千米/时.(2)方程两边同乘以x(x+20),约去分母,得4 800(x+20)=5 000x.解这个整式方程,得x=480.所以第一次捐款人数为480.练习:试一试:方程两边同乘以(x+1)(x-1),约去分母,得x+1=2.解这个整式方程,得x=1.思考:x=1时,原方程的分母为0,分式根本没有意义.问题2:因为在去分母时,两边乘了一个含未知数的整式,是否为零是事先不知道的,我们实际上是假定不为零而操作的,而第一个方程化整后的解不能使“(30+v)(30-v)=0”,避开了麻烦,而1x-1=2x2-1去分母后所得整式方程的解恰好使得两边乘的整式“(x+1)(x-1)=0”,这样就扩大了未知数的范围,以致出现分母为零的现象,因此x=1只是化整后整式方程的解,而不是原分式方程的根,所以原方程无解.但整式方程在去分母时,两边乘的数是否为零一目了然,自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论,解分式方程必须检验.问题3:方法一:和整式方程的检验一样,去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端,看它们是否相等.方法二:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.三、练习巩固【例1】思路一:方程两边同乘最简公分母x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.检验:把x=9代入x(x-3)0,9是原分式方程的解.思路二:利用比例的性质“内项之积等于外项之积”,这样做也比较简便.2x=3(x-3),以下同思路一.思路三:利用“分式的基本性质”,左右通分,得2xx(x-3)=3(x-3)x(x-3).由于分母相同,故分子也相同,即2x=3(x-3).以下同思路一.【例2】解:方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.化简,得x+2=3.解得x=1.检验:x=1时(x-1)(x+2)=0,1不是原分式方程的解,原分式方程无解.思考题:1.(1)基本思想:分式方程整式方程.(2)基本方法:方程两边乘以最简公分母.(3)基本步骤:1在方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程(一元一次方程);2解这个整式方程;3检验:有两个方法,一是将整式方程的解直接代入原分式方程(即等同于一元一次方程的检验,在此从略);二是将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母不为0,则整式方程的解即为原分式方程的解,否则不是原分式方程的解.2.此类分式方程要么有一解,要么无解,两种可能.四、深化提高问题1:a<1且a0问题2:m=-3问题3:(1)x=15;(2)无解.五、拓展练习答案:1.(1)x=3,(2)x=-13,(3)x=4;2.x=2;3.提示:若直接去分母,运算量很大且复杂,因本题的构成比较特殊,如果方程两边分别通分,则具有相同的分子,可以使解方程的过程大大的简化.x=7.
