2022年高中数学论文集导数在三次函数中的应用3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容,随着课改的不断深化, 导数学问考察的要求逐步加强,导数已经由前两年只是在解决问题中的帮助位置上升为分析和解决 问题时的必不行少的工具； 三次函数是中学数学争论导数的一个重要载体,三次函数的问题涉及高中数学中较多的学问点和数学思想方法,近几年多个省高考数学试卷中都显现了以三次函数为载体,通过争论其图象性质, 从而来考察同学的创新才能和探究才能的试题； 本人结合教学实践, 就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨；一、关于三次函数的切线问题函 数 y f x 在 点 x 处 的 导 数 的 几 何 意 义 , 就 是 曲 线 y f x 在 点P x 0 , f x 0 处的切线的斜率；也就是说,曲线 y f x 在点 P x 0 , f x 0 处的切线的斜率是 f ' x 0 ,相应的,切线的方程为 y y 0 f ' x 0 x x 0 3 2例 1：已知曲线 S : y x 3 x 1,过原点作 S的切线,求切线方程；误会：y ' 3 x 26 x,依据导数的几何意义可知,曲线的切线斜率 k y /' x 0 0,所以所求的切线方程为 y 0分析：此种解法错在对导数的几何意义懂得有误,切线的斜率应当是在切点处的导数,而原点（0,0）不在曲线 S 上,所以此题应当先设切点, 再求斜率,最终求出切线方程；名师归纳总结 正解：设切点为x0,3 x 032 x 01,就切线的斜率k32 x 06x 0第 1 页,共 6 页所以切线方程为：y3 x 032 x 013 x26x 0xx 00由于原点在切线上,得到x0122 x010所以x 01或x012所以所求的切线方程为y3 或y15x4例 2：已知曲线S:yx33 x2,求过原点 O（0,0）的切线方程；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 误会：y'3 x26 x,依据导数的几何意义可知,曲线的切线斜率ky /'x00,所以所求的切线方程为 y 0分析：此种解法少了一条切线,错误的缘由在于混淆了两个不同的概念：“ 点 O处的切线”与“ 过点 O的切线” ；“ 点 O处切线的斜率”等于该点的导数值,而“ 过点 O 的切线” 就仅说明,切线是经过点 O 的,但直线未必在点 O处与曲线相切,“ 过点 O的切线的斜率不肯定是该点的导数值,所以此题也应当先设切点,在求斜率,最终求出切线方程；名师归纳总结 正解：设切点为x0,3 x 032 x 0,就切线的斜率k32 x 06x0第 2 页,共 6 页所以切线方程为：y3 x 03 x23 x26x 0xx 000由于原点在切线上,得到2 x 0 2x03 0所以x 00或x032所以所求的切线方程为y0或y9x4二、关于三次函数的单调性问题设三 次函 数fx的导函 数f'xax2bxc a,0a ,b ,c为常数） ,b24 ac；如0,就当a0时,f' x0,fx 在 R上为单调递增函数； 当a0时,f' x0,fx 在 R上为单调递减函数；如0 ,就当a0时,f' x0,fx在 R上为单调递增函数； 当a0时,f' x0,fx 在 R上为单调递减函数；如0,设f' x0的两根分别为x 和2x ,x 1x 2,就当a0时,f' x在,x 1,x 2,上为正,在x 1x2上为负,所以fx在,1x,x 2,上为单调递增函数,在x 1x2上为单调递减函数；当a0时,f' x 在x 1x 2上为正,在,1x,x 2,上为负,所以在x 1x 2上为单调递增函数,在,x 1,x2,上为单调递减函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：已知函数fxmx3mx23 x在 R上是增函数,求实数 m的取值范畴；解：f ' x 3 mx 2 2 mx 31）当 m=0时,f ' x 3 0,f x 在 R上是增函数；22）当 m 0 时,f ' x 0 的 4 m 36 m 4 m m 9 当 m<0时,f ' x 开口向下且 0 ,说明存在区间使 f ' x 0,所以 m<0时,f x 在 R上不是增函数； 当 0 m 9 时,f ' x 开口向上且 0 ,就 f ' x 0,所以 0 m 9时 f x 在 R上是增函数； 当 m=9时,f ' x 开口向上且 0 ,就 f ' x 0,所以 m=9时,f x 在 R上是增函数； 当 m>9时,f ' x 开口向上且 0 ,说明存在区间使 f ' x 0,所以 m>9时,f x 在 R上不是增函数；综上可得,所求的实数 m的取值范畴为 ,0 9例 4：已知 f x ax 在（-1 ,）内单调递减,求实数 a 的取值范畴；x 1误会：f ' x a x 1 2由已知,f ' x a2 0 在（-1 ,）上恒成立,所以 a 0 x 1 分析：错误的缘由在于未验证 f ' x 是否恒为 0；f x 在区间 D 上单调递增（或递减）的充要条件是 f ' x 0（或 f ' x 0 且在任一子区间上不恒为 0；而当 a=0 时,f ' x =0在（-1 ,）上恒成立,此时 f x =0不是单调递减函数,所以实数 a <0；三、关于三次函数的极值和最值问题名师归纳总结 设三次函数fx的导函数f'x 2 axbxc a,b ,c为常数）,b24ac,第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 争论当a0时三次函数在闭区间S,T上的最值问题（a0请读者自行证明）（1）当0 时,f' x 0,fx在 R 上为单调递增函数,所以fx没有极值点,在区间端点 S 处达到最小, T 处达到最大；（2）当0 时,设f' x0的两根分别为1x 和x ,x 1x 2,就1x 是f x 的极大值点,x 是fx的微小值点；最值争论如下：S 处达到当 T1x 或Sx 2时,fx在S,T 上单调递增,在区间端点最小, T 处达到最大；当 Sx 1Tx2时,fx在1x 处达到最大,最小值通过比较fS和fT加以确定；当x 1STx2时,fx在S,T 上单调递减,在区间端点T 处达到最小, S处达到最大；当 x 1 S x 2 T 时,f x 在 x 处达到最小,最大值通过比较 f S 和f T 加以确定；当 S x 1 x 2 T 时,通过比较 f x 1 和 f T 可以确定最大值, 通过比较f x 2 和 f S 可以确定最小值；例 5：设函数 y f x x x a x b a , b R （1） 如 a b , ab 0,过两点（ 0,0）、（a 0, 的中点作与 x 轴垂直的直线,此直线与函数 y f x 的图象交于点 P x 0 , f x 0 ,求证：函数y f x 在点 P处的切线过点（ b,0 ）；（2） 如 a b a 0 ,且当 x 0 , a 1 时 f x 2 a 2恒成立,求实数 a 的取值范畴；名师归纳总结 解：（1）由已知2Pa,a2bxa第 4 页,共 6 页242y '3x 2a2 b ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,所求的切线斜率为3a22a2baaba2224名师归纳总结 切线方程为ya2baa2xa上第 5 页,共 6 页4242令y0,解得xb所以函数yf x 在点 P处的切线过点（ b,0 ）（2）由于ab所以yfx x xa 2y'3x24axa23 xa xa3当a0时,函数yfx在,a 上单调递增,在 3a,a 3单调递减,在a,上单调递增此时,x0 ,a1即x0 ,a1 所以,由题意有ffa2a22即4a32a2327 aa1 2a12a2解得1a27或a122结合a0,所以1a272当a0时,函数yfx在a 3,上单调递增此时,x0 ,a1即x0,a1所以,由题意有f 1a2 a2即 1a 1a2 a2 a2整理得：4a36a25 a10由于a0,所以上述方程无解综上可得,所求实数 a 的取值范畴为 ,1272例 6：已知函数fx x3ax2bxa2在x1处有极值为 10,求a, 的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 误会：f'x 32 x2axb0由题意f' 10即132 ab20f 110aba10解得a b4或a311b3分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零,其充要条件是这点两侧的导数异号；因此,此题在求出a,b的值后,仍需要检验两侧导数的符号；当 a 4时,f ' x 3 x 2 8 x 11 3 x 11 x 1 ,当 3x 1 时,b 11 11f ' x 0；当 x 1 时,f ' x 0,这时 x 1 是极值点,符合题意；当 a 3时,f ' x 3 x 1 20,这时 f x 在 x 1 处无极值,不合题意,b 3应舍去；所以,所求的 a 4 b 11总之,导数作为一种工具, 在解决数学问题时应用特别的便利,特别是可以利用导数便利的解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题, 在导数的应用过程中,要加强对基础学问的懂得, 留意应用过程中的误区, 以防止显现一些不必 要的错误；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
