2022年高中数学三角函数经典总结 .pdf

- 1 - 高中数学三角函数经典总结考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin( x+) 的简图，理解A.、 的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形（8） “同角三角函数基本关系式：sin2 +cos2=1，sin /cos =tan ,tan ?cos=1” 04. 三角函 数知识要点1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） ：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：180360k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k2. 角度与弧度的互换关系： 360=2180=1=0.01745 1=57.30 =5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad 18057.30=5718 11800.01745（rad）3、弧长公式：rl|. 扇形面积公式：211|22slrr扇 形yxSINCO S三 角 函数 值 大 小 关系 图sinxcosx1、 2 、 3 、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2 - 4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（ 异 于 原 点的）一点 P （x,y ）P与原点的距离为r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc. 5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxyxy6、三角函数线正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsin xRxx |)(xfcosxRxx |)(xftan xZkkxRxx,21|且)(xfcot xZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincotsincos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的 三 角 函 数 化 为的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：“奇变偶不变，符号看象限”roxya的终边P（ x,y )TMAOPxy(3) 若 ox2,则sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 几个重要结论:OOxyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 3 - 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公式组一公式组二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. 公 式 组 一sin x cscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosx secxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanx cot x=1 1+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 4 - 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1,1 1, 1R R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上 为 增 函 数（Zk）1, kk上 为 减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上 为 减 函 数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反 . 一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)( xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为 2（2TT，如图，翻折无效） . )sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（0,k） ；)co s(xy的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（0,21k） ；)t a n (xy的对称中心（0,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinOyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 5 - 当tan, 1tan)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 , 而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数xytan在R上为增函数 . （） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)( xf具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如：xytan是奇函数，)31tan( xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f. （x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T） ；212cosxy的周期为（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. 11、三角函数图象的作法：） 、几何法：） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅 |A| ，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝对值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当0yxy= cos |x| 图 象1/2yxy= |cos2 x+1/2|图象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 6 - |A| 1）到原来的 |A| 倍，得到 yAsinx 的图象，叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| | 1）或缩短（ | |1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 ( 用x 替换 x) 由 ysinx 的图象上所有的点向左（当0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 ysin （x）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 ( 用 x 替换x) 由 ysinx 的图象上所有的点向上（当b0）或向下（当 b0）平行移动 b个单位，得到 ysinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b) 替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin （x） （A0，0） （xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数 ysin x，22，x的反函数叫做 反正弦函数 ，记作 yarcsin x，它的定义域是 1，1 ，值域是22，函数 ycosx， （x0， ）的反应函数叫做 反余弦函数 ，记作 yarccos x，它的定义域是 1，1 ，值域是 0， 函数 ytan x，22，x的反函数叫做 反正切函数 ，记作 yarctan x，它的定义域是（，），值域是22，函数 yctg x， x（0，） 的反函数叫做 反余切函数 ，记作 yarcctg x，它的定义域是（，），值域是（ 0，） II. 竞赛知识要点一、反三角函数 . 1. 反三角函数： ?反正弦函数xyarcsin是奇函数，故xxarcsin)arcsin(，1, 1x（一定要注明定义域，若,x，没有x与y一一对应，故xysin无反函数）注：xx)sin(arcsin，1 ,1x，2,2arcsinx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 7 - ?反余弦函数xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1 ,1x. 注：xx)cos(arccos，1 , 1x，,0arccosx. xycos是偶函数，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin为奇函数 . ?反正切函数：xyarctan，定义域),(，值域（2,2） ，xya r c t a n是奇函数，xxarctan)arctan(，x),(. 注：xx)tan(arctan，x),(. ?反余切函数：xarcycot，定义域),(，值域（2,2） ，xa r cyc o t是非奇非偶 . kxarcxarc2)cot()cot(，x),(. 注：xxarc)cotcot(，x),(. xyarcsin与)1arcsin(xy互为奇函数，xyarctan同理为奇而xyarccos与xarcycot非奇非偶但满足 1,1,2)cot(cot 1 ,1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx. ?正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围解集a的取值范围解集axsin的解集axcos的解集a1 a1 a=1 Zkakxx,arcsin2|a=1 Zkakxx,arccos2|a1 Zkakxxk,arcsin1|a1 Zkakxx,arccos|axtan的解集：Zkakxx,arctan|axcot的解集：Zkakxx,cotarc|二、三角恒等式 . 组一cos3cos43cossin4sin33sin332222coscossinsinsinsinsin22sin2cos.4cos2coscos11nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -