广东省东莞市2020-2021学年高二上学期期末数学试题.docx

广东省东莞市 2020-2021 学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题, , = 2, = 45°, =120° ，则边c =中，内角 A B C 的对边分别为a b c ,且b B C, ,DABC1在（）B 3C2D6A2ìx ³0ïx, yz = x - y³ 02已知实数满足 íy，则目标函数的最大值是（）ïx + y £ 2î2-1AB1CD -2糖的质量b克3糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 =(a > b)，向糖水（不饱和）c糖水的质量a克m中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）b b + m+ mb b m+b b mb b><><ABCDa a + ma a + maaaax2a2y2b2( )=1 a > 0,b > 0 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为4已知双曲线-（）1y = ±2xC= ± x2x3xA yB = ±D = ±yy2a =（= 50, =19 ，则aa）5已知数列A3是等差数列，且 +a an23136B4C7D826已知 a,b 为实数，则“0 < ab < 2”是“ a<”的（）bA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件7中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”，则该人第 4 天走的路程为（）24A96 里B48 里C里D12 里, N,- ABC8如图，已知三棱锥O，点M分别是OA BC 的中点，点 为线段上MNG= 2GN一点，且 MG，若记OA= a OB = b OC = c , =则OG （ ）, 1A a31C a611111+ b +ca + b + cBD3131313161+ b + ca + b + c336631b，则 的最大值为（> 0,b > 0,+ 2 = 29已知实数a且b）aa4A912C32BD22x y2210已知 F ， F 为双曲线C: - =1的左、右焦点， 为C 上异于顶点的点直P1216 9PF PF，|为直径的圆相切于 ， 两点，则 AB|= ()线 分别与lAB12A 7B3C4D5二、多选题= CD = 5, AD = 3,ÐBCD = 60B圆O的直径为 711四边形 ABCD内接于圆O， AB的有（A四边形，下列结论正确）为梯形ABCD55 34C四边形 ABCD的面积为数列DDABD 的三边长度可以构成一个等差5 -112我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2xy22A , A , B , BF , F为焦点， 为椭圆上一点，C : + =1(a > b > 0)，为顶点，P121212a2b2满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（） | A F |,| F F |,| F A |ABC为等比数列111222ÐF B A = 90°112PF xPO/A B轴，且121F , FD四边形 A B A B 的内切圆过焦点121221三、填空题1x2 = yMM到焦点的距离为 2，则点13抛物线上的一点的纵坐标是_.2ABCD - A B C D14如图，以长方体的顶点 D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直1111(2,3, 4)线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 的坐标为，则 AC 的坐标为11_.15已知命题“"x Î1,3,不等式 x2 - ax + 4 ³ 0 ”为真命题，则 的取值范围为_.a四、双空题16斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55在数学上，斐波那契数列以如a = 1 a =1 a aa (n ³ 3,nÎ N )* ，记其前 项和=+n下递推的方法定义：，12nn-1n-2 S为 ，设a= t tS + S - S - S= _（用 表示），t（ 为常数），则n20192017201620152014S - a2017= _(用常数表示)2019五、解答题( ): x - x - 6 ³ 0, q17已知 p222: x - 2m+1 x + m + m £ 0.= 2,p qÙ（1）若m且x为真，求实数 的取值范围；qpm（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围. = 4 a a =128a b 1 1是首项为 公差为 的等n n18已知等比数列 a 满足 a，数列23 4n差数列. （1）求数列（2）求数列ab和 的通项公式；nn bS .n的前 项和nnDABC, , ,sin = sin - ( + )sinB a A b c C .19在中，内角 A B C 的对边分别为a b c ，且b（1）求角 A的大小.= 2 3 DABC的周长.（2）若 边上的中线BC，且 S= 2 3,求ADDABC- A B CÐ= 90°,AC BC ， 在底面= 2 A=20如图，已知斜三棱柱 ABC中， BCA1111ABC上的射影恰为 AC 的中点 ，且 A D = 3 .D1A B AC（1）求证：（2）求直线（3）在线段；11A BA B C1 1与平面所成角的正弦值；11C C1M - A B - C 的平面角为90°上是否存在点M ，使得二面角？若存111在，确定点 M 的位置；若不存在，请说明理由.21在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2021年8 月 16 日上午，423 米的东莞第一高楼民盈国贸中心 2 号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东 莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134 米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 A点测得国a贸中心顶部的仰角为 ，正对国贸中心前进了s 米后，到达 点 ，在 点测得国贸中心BBb顶部的仰角为 ，然后计算出国贸中心的高度（如图）.第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢 11 层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3 米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a1米；正对国贸中心，将镜子前移a 米，重复中的操作，测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.= 90b 48= 42°， = °，最终算得国贸中心高度为实际操作中，第一小组测得s米，a；第二小组测得米，a=12a = 1.4 米，最终算得国贸中心高度为H米， ；Ha =1.451122假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米.（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：tan 42° » 0.9，1tan 48° =,答案保留整数结果）；tan 42°（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.+ y - 2x -15 = 0(-1,0)且与 x 轴不重合，l22设圆 x2的圆心为 M ，直线 l 过点 N2, B交圆 M 于 A 两点，过点 N 作的平行线交于点C .AMBMCM + CN（1）证明为定值,并写出点C 的轨迹方程；l : y = kx1P,Q 两点，点 R 为椭圆C（2）设点C 的轨迹为曲线 E ，直 线与曲线 E 交于DPQRPQ 为底边的等腰三角形，求DPQR 面积的最小值.上一点，若是以 参考答案1D【分析】由已知利用正弦定理可求c 【详解】= 2, B = 45°,C =120°解： b由正弦定理可得bc=sin B sin C2c=解得6c =sin 45° sin120°故选：D【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.2A【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示z = x - yy= x - z= -z x y y-由可得，则 z 表示直线在 轴上的截距，截距越小，z 越大ìy =0由 í可得C(2,0)，此时 z 最大为2îx + y = 2故选： A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题3B【分析】依题意得到不等关系，即可得解.【详解】b + mm解：依题意，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更a + mb b + m<甜，可得a a + m故选：B【点睛】本题考查利用不等式表示不等关系，属于基础题.4A【分析】bx= ±由焦点在 轴，故渐近线为 yx ，实轴长是虚轴长的两倍，得到a 、 的关系，即可ba得到渐近线方程.【详解】x2a2y2b2()解：-=1 > 0, > 0abb实轴长为2a，虚轴长为 b ，渐近线为 y2= ±xa b 1=可得因为实轴长是虚轴长的两倍，即2a = 4ba 21 y = ± x2故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5C【分析】a 设等差数列【详解】的首项为a ，公差为d ，根据条件列出方程组，解得.1na a的首项为 ，公差为d ；解：设等差数列1na + a = 50,a =1931362a +14d = 50ì =d3ìíî1解得 ía +5d =191a = 41îa = a + d = 3+ 4 = 721故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题.6D【分析】根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】122a = -1，b= -，满足0 < ab <1，但a<解：若不成立，即充分性不成立b2= 0 b > 0且<，但0 < ab < 2不成立，即必要性不成立若 a，满足 ab2故“0 < ab < 2”是“ a<”的既不充分也不必要条件，b故选： D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础 题7C【分析】12a S = 3786=由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中q，利用等比数n列的通项公式与求和公式即可得出【详解】1a S = 378=解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列，其中q，2n61a (1- )216=192= 378 ，解得a则111-21æ ö3a = a q =192´= 243ç ÷2è ø41故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8C【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果【详解】111= (2= OA ON = (OB + OC)，OMMN ON OM-=OC OB OA)+-22212 1111111OG = OM + MN = OA + ´ (OC + OB -OA) = OC + OB + OA = a + b + c，323 2336633故选：C 【点睛】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，属于基础题9B【分析】 11b+ 2b = 2= 2 - 2根据得到b即可将 转化为关于 的二次式，即可求出其最大值.baaa【详解】1解：a+ 2b = 21 = 2 - 2baa > 0,b > 0,0 < b <1b ( )a1ö1æ2 = b 2 - 2b = -2b + 2b = -2 b -+2ç÷2 ø 2è1 æ ö12b=b =时ç ÷2 è øamax故选：B【点睛】本题考查不等式的性质，以及二次函数的最值，属于基础题.10B【分析】1= (2PF PF，的中点分别为 M ， N ，则-PF PF a) = ，可得-设= ，NM c AM NB1212AB = MN- (MA- NB)= c- a = b = 32222【详解】PF PF，的中点分别为M ， N ，解：如图，设121则NM c AM NB= ， -= (PF PF a) = ，-212AB = MN - (MA- NB) = c - a = b = 32222 故选： B【点睛】本题考查了圆的性质，充分应用双曲线的定义是解题的关键，属于中档题11ACD【分析】利用余弦定理，结合面积公式，分析四个选项，即可得出结论.【详解】= CD = 5, AD = 3,ÐBCD = 60解： ABÐBAD =120DBAD DCDA可证ÐBAD = ÐCDA=120°ÐBCD+ÐCDA=180°BC/DA显然不平行CDAB即四边形为梯形，故 正确；AABCDDBAD中由余弦定理可得 BD2 AB AD= + - 2 ×AB AD cos ÐBAD2 2在BD = 5 + 3 - 2´5´3cos120 ° = 49222BD = 7 圆的直径不可能是 ，故 错误；7B DBCD在中由余弦定理可得 BD = CB + CD - 2CB ×CD cos ÐBCD222= 8 CB = -3或 （舍去）7 = CB + 5 - 2´5´CB cos60 ° 解得CB222113 15 3SSS= AB × AD sin120° = ´5´3´=2224DBADDBCDABCD113 40 3= CB ×CD sin 60° = ´5´8´=222415 3 40 3 55 3= S+ S=+=444DBCDDBAD故 正确；C= 3 AB = 5，= 7DABDAD + BD = 2AB，满足在中，AD，BDDABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D 正确；故选： ACD【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，等差数列的概念的理解，属于中档题.12BD【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解【详解】xy22: + =1(a > b > 0)解： Ca2b2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A -a,0 , A a,0 ,B 0,b ,B 0,-b F -c,0 ,F c,0，121212| A F |,| F F |,| F A |对于 A：为等比数列111222| A F | ×| F A |=| F F |则2112212( ) ( ) a - c = 2c22a -c = 2c1e =不满足条件，故 A错误；3ÐF B A = 90°对于 ：B112 A F = B F + B A222211 112( ) a + c = a + a + b22225 -1- 5 -1c + ac - a = 0 即e + e -1 = 0 解得 =或 =（舍去）满足条件ee22222故 正确；BPF xPO/A B对于C ：轴，且121æöb2P -c,ç÷èa øb2ak = kPO解得b = c即b=A B21-c -aa = b + c222cc2e = =不满足题意，故C 错误；2c2aF , F对于 ：四边形D的内切圆过焦点A B A B212121即四边形的内切圆的半径为c ，A B A B2121ab = c a +b22c - 3a c + a = 04224 3+ 53- 5e -3e +1= 0解得e2 =（舍去）或e2 =42225 -1e =2故 正确D故选：BD【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.15138【分析】2M 到准先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点 M 到焦点的距离为 转化为点2线的距离为 ，故可求点M 的纵坐标【详解】118解：抛物线 x2 = y 的准线方程为 y= -2y设点 M 的纵坐标是 ，则1抛物线 x2 =y上一点 M 到焦点的距离为24到准线的距离为2 根据抛物线的定义可知，点M1y + = 2815 =y8158点 M 的纵坐标是15故答案为：【点睛】8本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点M 到焦点的距离2为 转化为点M2到准线的距离为 .14(-2,3, 4) 【分析】(2,3, 4)由 DB 的坐标为1，分别求出 和C 的坐标，由此能求出结果A1【详解】- A B C D解：如图，以长方体 ABCD的顶点 D 为坐标原点，1111过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，( ) ( )(2,3, 4)， A2,0,0，C 0,3,4，DB 的坐标为11AC = (-2,3,4) 1故答案为：(-2,3, 4)【点睛】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题15(-¥,4【分析】( )af x = x2 -ax+ 4=令，则对称轴为 x，分对称轴在区间之间，区间左边和区间右边三2种情况讨论可得.【详解】( )af x = x2 -ax+ 4=解：令，则对称轴为 x，2( )要使"x Î1,3,不等式 x2 - ax + 4 ³ 0恒成立，即"xÎ1,3，= 2 - + 4 ³ 0f x x ax( )af 1 =1 - a + 4 ³ 0解得a£ 2；当 = £1时2x22aæ a ö æ a öa1< x = < 3- a´ + 4 ³ 0a ；2 < £ 4=当时 f解得ç ÷ ç ÷2222è ø è ø ( )a3 = 3 -3a + 4 ³ 0解得 aÎÆ；= ³ 3 f时2当 x2Î(-¥,4综上可得：a故答案为：(-¥,4【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，属于基础题.-116t【分析】依题意由递推公式及S 计算可得，n【详解】S + S - S - S= a + a + a + a=解：20172016201520142016201720162015a = a + a (n ³ 3,nÎ N )*nn-1n-2a = a + a (n ³ 3,nÎ N )*nn-1n-2a + a + a + a2016201720162015() ()= a + a+ a + a2016201720162015= a + a2018201920192017= aa= tS + S - S - S= t故2017201620152014()S -a = S - S + S - S - S= -S + S + S = S -a201720192017201720162015201420162015201420142016= S - a = S - a= = S - a201120132008201013a =1 a =1 a = 2，123S - a =1- 2 = -113S - a2017= -1故2019-1故答案为：t ； 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，属于中档题.17（1）3（2）(-¥,-3 3,+¥)【分析】q（1）分别求解一元二次不等式化简 ， ，然后利用pp Ù qx为真，取交集求得实数 的取值范围；qq , 1m m+ Ü（2）求解一元二次不等式化简 ，结合 是 充分不必要条件，可得p( )-¥,-2 3,+¥m，转化为关于 的不等式组得答案【详解】(x - 3)(x + 2) ³ 0解：（1） ：p解得 x-2³ 3或 x= 2, :x2 £ £ 3当 mq2 -5 + 6 £ 0解得xxp Ù qp,q为真，即都为真ì £ -2或 ³ 3xx即 íî2 £ x £ 33x所以 的取值范围为( )( )( )q : x -m x -m-1 £ 0q : x - 2m+1 x + m + m £ 0，即（2）22: m £ x £ m +1， 即 q :m,m +1所以 q( )q因为 是 的充分不必要条件， 所以 ,m m+1Ü -¥,-2 3,+¥p所以 m+1£ -2或 m ³ 3q综上： 是 的充分不必要条件时， 的取值范围为( , 3 3, )-¥ - +¥pm【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断方法，属于中档题n + 2n= 2S = 2 -n18（1） a， =（2）nbn2n2nn【分析】 qqq（1）等比数列 a ，设首项为 ，公比 ，得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即aaan111 aa b 1 1a b = n是首项为 公差为 的等差数列.得到可得到数列的通项公式，再由数列nn nn n b即可求出的通项公式；n bS .的通项公式，利用错位相减法求其前 项和n（2）由（1）所求【详解】nn q解：（1）因为数列a是等比数列，故设首项为 ，公比a1na = 4 a a =128a q a q=128，因为，所以223422= 2，所以a所以 q3 = 8 ，解得q21 = 2a所以数列的通项公式为annn a bn n1 1是首项为 公差为 的等差数列因为a b =1+ (n -1) = nn n所以n= 2因为 a，所以 =bn2nnn111+3 ( )21S =1 + 2 ( )n+ n ( )（2）由（1）知23n2221211111同乘 得：S =1 ( ) + 2 ( ) +3 ( ) +n+ n ( )234n+12222211 1111S = + ( )n+ ( )+ ( ) - n ( )n+1作差得：23n22 2222111n1S =1-( ) - n ( )n+1 =1-( +1)( )n+1n即n22222n + 2= 2 -所以 S2nn【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题2p=19（1） A（2）8+ 6 23【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角 的大小.A = 8DADC中，由余弦定理可得b c ，最后用（2）由面积公式可得bc，再在DABD和+22+ c完全平方公式可求b的值，即可求得三角形的周长.【详解】解：（1）由已知bsin B = asin A - (b + c)sin C由正弦定理得：b = a - bc - c222b2 + c2 - a22bc12由余弦定理得：cos = -A2p3DABC中，因为 AÎ(0, )p,所以=在A13= 8，得bc （2）由 S= bcsin A =bc = 2 324DABC由（1）知b = a - bc - c ，即b + c = a -8 222222aac = ( ) + (2 3) - 2×2 3 × ×cosÐADBDABDDADC在在中，由余弦定理得： 22222aa= ( ) + (2 3) - 2×2 3 × ×cosÐADC中，由余弦定理得：b22222a2+ c = + 24因为cosÐADB = -cosÐADC ，所以b222= 8,b + c = 56,bc = 8由，得a22所以b + c = (b + c) = b + c + 2bc = 72 = 6 2222DABC所以的周长 + + = 8+ 6 2 .a b c【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题620（1）见解析（2）（3）不存在点满足要求.见解析M4【分析】 x, y, zDE, DC, DA AC（1）作 DE交 AB 于点 E ，分别以 AC所在直线为轴建立空间直角1坐标系，利用空间向量法证明 A B；11（2）利用（1）中所建坐标系，求出直线的方向向量和平面A B C 的一个法向量，则两向111量的夹角的余弦值的绝对值即为线与面的夹角的正弦值；l(0,l, 3l)（0 l 1），求出平面 MA B 的一个法向量，= CC =（3）假设存在设CM111根据 × = ，即可求出 的值，即可得证.0lm n【详解】x, y, zDE, DC, DA AC证明：（1）作 DE交 AB 于点 E ，分别以所在直线为轴建系1A(0,-1,0),C(0,1,0), B(2,1,0), A (0,0, 3),C (0,2, 3) 所以，11A B = (2,1,- 3), AC = (0,3, 3)11A B× AC = 0+3-3 = 0，所以 A B AC1111面A B C /面ABCA B C 的一个法向量为m= (0,0,1)（2）因为，所以面111111B = (2,1,- 3)A B×m = - 3 | A B |= 4+1+3 = 2 2，因为 A，所以111- 36cos < A B,m >= -11´2 246A B1A B C1a所成角为 ，sin = cos <, > =A B m设线与平面a1114l(0,l, 3l)，（0 l 1）= CC =（3）不存在，设CM1A B =AB = (2,2,0) , AM = AC +CM =(0,l +1, 3l - 3)1 111 设面 MA B 的一个法向量为 = ( , , )nx y z11ì有 í1 1ïA M·n = 0î2x + 2y = 0ìïí(l +1)y + ( 3l - 3)z = 0ïîìïíx = -y(l 1)+yz = -ï3l - 3îl 1æ+ön = 1,-1,ç÷3l - 3