2022年高中数学个热点问题：-排列组合中的常见模型.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合, 二项式定理第 80 炼 排列组合的常见模型一、基础学问：一处理排列组合问题的常用思路：1、特别优先：对于题目中有特别要求的元素,在考虑步骤时优先支配,然后再去处理无要 求的元素；例如：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数,共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4 种选择,而其余数位没有要求,只需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为N44 A 496种2、查找对立大事：假如一件事从正面入手,考虑的情形较多,就可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可；例如：在 10 件产品中,有7 件合格品, 3 件次品；从这10 件产品中任意抽出3 件,至少有一件次品的情形有多少种解：假如从正面考虑,就“ 至少 1 件次品” 包含 1 件, 2 件, 3 件次品的情形,需要进行分类争论, 但假如从对立面想,就只需用全部抽取情形减去全是正品的情形即可,列式较为简3 3 单；N C 10 C 7 85种m 3、先取再排 先分组再排列 ：排列数 A 是指从 n 个元素中取出 m 个元素, 再将这 m 个元素进行排列； 但有时会显现所需排列的元素并非前一步选出的元素,分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列；所以此时就要将过程拆例如： 从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人, 分别从事 3 项不同的工作, 假设这 3 人中只有一名女生,就选派方案有多少种；解：此题由于需要先确定人数的选取,再能进行安排排列,所以将方案分为两步,第一2 1 3步：确定选哪些同学,共有 C C 种可能,然后将选出的三个人进行排列：A ；所以共有2 1 3C C A 3 108 种方案二排列组合的常见模型1、捆绑法整体法 ：当题目中有“ 相邻元素” 时,就可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的次序即可；例如： 5 个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法名师归纳总结 本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章第 80 炼 排列组合的常见模型48排列组合, 二项式定理解：考虑第一步将甲乙视为一个整体,与其余3 个元素排列,就共有4 A 种位置,其次步考虑甲乙自身次序,有2 A 种位置,所以排法的总数为N4 A 42 A 2种2、插空法：当题目中有“ 不相邻元素” 时,就可考虑用剩余元素“ 搭台”,不相邻元素进行“ 插空” ,然后再进行各自的排序注：1要留意在插空的过程中是否可以插在两边2要从题目中判定是否需要各自排序例如：有 6 名同学排队,其中甲乙不相邻,就共有多少种不同的排法2解：考虑剩下四名同学 “ 搭台” ,甲乙不相邻, 就需要从 5 个空中选择 2 个插入进去, 即有 C 52 4 2种选择,然后四名同学排序,甲乙排序；所以 N C 5 A 4 A 2 480 种3、错位排列：排列好的 n 个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,就称为这 n 个元素的一个错位排列；例如对于 a b c d ,就 d c a b 是其中一个错位排列；3个元素的错位排列有 2 种,4 个元素的错位排列有 9 种,5 个元素的错位排列有 44 种；以上三种情形可作为结论记住例如：支配 6 个班的班主任监考这六个班,有多少种？就其中恰好有两个班主任监考自己班的支配总数2解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有 C 种选法,然后剩下 4 个班主任均不2监考自己班,就为 4 个元素的错位排列,共 9 种；所以支配总数为 N C 69 1354、依次插空：假如在 n 个元素的排列中有 m 个元素保持相对位置不变,就可以考虑先将这m 个元素排好位置,再将 n m 个元素一个个插入到队伍当中留意每插入一个元素,下一个元素可选择的空 1例如：已知 A B C D E F 6 个人排队,其中 A B C 相对位置不变,就不同的排法有多少种名师归纳总结 解：考虑先将A B C 排好,就 D 有 4 个空可以选择, D 进入队伍后, E 有 5 个空可以选择,第 2 页,共 8 页以此类推, F 有 6 种选择,所以方法的总数为N456120种5、不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内,且每盒不空,就不同的方法共有Cm1种；解决此类问题常用的方法是“ 挡板法”,由于元素相同,所以只需考虑每个盒子里n1本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 第 80 炼 排列组合的常见模型 排列组合, 二项式定理所含元素个数,就可将这 n 个元素排成一列,共有 n 1 个空,使用 m 1 个“ 挡板” 进入空档处,就可将这 n 个元素划分为 m 个区域,刚好对应那 m 个盒子；例如：将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里,那么 6 个小球 5 个空档,选择 3 个位置放“ 挡板”,共有3C 5 20 种可能7、涂色问题：涂色的规章是“ 相邻区域涂不同的颜色”,在处理涂色问题时,可依据选择颜色的总数进行分类争论,每削减一种颜色的使用,便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色仍要留意两两不相邻的情形,先列举出全部不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即可；例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域,不同的涂色方案有多少种？解：可依据使用颜色的种数进行分类争论1使用 4 种颜色,就每个区域涂一种颜色即可：N 14 A 42使用 3 种颜色,就有一对不相邻的区域涂同一种颜色,首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：,I IV不相邻所以涂色方案有：N23 A 43使用 2 种颜色,就无法找到符合条件的情形,所以争论终止总计S4 A 43 A 448种二、典型例题：例 1：某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人,请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的训练情况,假如这 4 位中恰有一对是夫妻,就不同选择的方法种数有多少思路：此题解决的方案可以是：先选择出一对夫妻,然后在选择出两个不是夫妻的即可；第一步：先挑出一对夫妻：C12 C 1056其次步：在剩下的10 个人中选出两个不是夫妻的,使用间接法：所以选择的方法总数为N1 C 62 C 105240种答案： 240种名师归纳总结 例 2：某老师一天上3 个班级的课, 每班上 1 节,假如一天共9 节课, 上午 5 节, 下午 4 节,第 3 页,共 8 页并且老师不能连上3 节课第 5 节和第 6 节不算连上 ,那么这位老师一天的课表的全部不同排法有A. 474 种B. 77 种C. 462 种D. 79 种本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 第 80 炼 排列组合的常见模型 排列组合, 二项式定理思路：此题假如用直接法考虑,就在支配的过程中仍要考虑两节连堂,并且会受到第 5,6节课连堂的影响,分类争论的情形较多,不易求解；假如使用间接法就更为简单；第一在无3 3任何特别要求下,支配的总数为 A ；不符合要求的情形为上午连上 3 节：A 和下午连上三3 3 3 3节：A ,所以不同排法的总数为：A 9 A 4 A 3 474种答案： A 例 3： 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,假设男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,就不同排法的种数是A. 60 B. 48 C. 42 D. 36思路：第一考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生,从而相邻的女生要与另一女生不相邻,就可插空, 让男生搭架子, 由于男生甲不站两端,再从剩下的两个空中选一个空插入即可；所以在插空的过程中需有人站在甲的边上,2第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：C 3其次步： 两位男生搭出三个空,其中甲的边上要进入女生,另外两个空中要选一个空进女生,1所以共有 C 种选法；2 2第三步：排列男生甲,乙的位置：A ,排列相邻女生和单个女生的位置：A ,排列相邻女2生相互的位置：A 22 1 2 2 2所以共有 N C 3 C 2 A 2 A 2 A 2 48 种答案： B 例 4：某班班会预备从甲,乙等7 名同学中选派4 名同学发言,要求甲,乙两名同学至少有一人参与,且假设甲乙同时参与,就他们发言时不能相邻,那么不同的发言次序种数为名师归纳总结 第 4 页,共 8 页A. 360 B. 520 C. 600 D. 720 思路：由于选人的结果不同会导致支配次序的不同,所以考虑“ 先取再排”,分为“ 甲乙”同时选中和“ 甲乙只有一人选中” 两种情形争论：假设甲乙同时被选中,就只需再从剩下5人中选取 2 人即可：2 C ,在支配次序时, 甲乙不相邻就 “ 插空” ,所以支配的方式有：2 A 32 A ,从而第一种情形的总数为：N1C22 A 32 A 2120种,假设甲乙只有一人选中,就第一5本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章先从甲乙中选一人,有其次种情形的总数为：第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合, 二项式定理1 C ,再从剩下5 人中选取三人,有3 C ,支配次序时就无要求,所以N2C1 23 C 54 A 4480种,从而总计600 种答案： C 例 5：从单词“equation ” 中选取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu” 其中“qu” 相连且次序不变的不同排列共有 _种思路：从题意上看,解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素,由于“qu” 必需取出,3所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出,即 C 种,然后在排列时,由于要求“qu”4相连, 所以采纳 “ 捆绑法” ,将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：A ,由于“ qu”3 4次序不变,所以不需要再对 qu 进行排列；综上,共有：C 6 A 4 480 种答案： 480例 6：设有编号 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5 的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种A. 30种 B. 31种 C. 32种 D. 36思路： 此题可依据相同编号的个数进行分类争论,有两个相同时, 要先从 5 个里选出哪两个相同,有2 C 种选法,就剩下三个为错位排列,有2 种情形,所以N 12 C 52,有三个相同时,同理,剩下两个错位排列只有一种情形交换位置,所以N2C3 51,有四个相同时就最终一个也只能相同,所以N31,从而S2 C 52C31131种5答案： B 例 7：某人上 10 级台阶,他一步可能跨 1 级台阶,称为一阶步,也可能跨 2 级台阶,称为二阶步；最多能跨 3 级台阶,称为三阶步,假设他总共跨了 6 步,而且任何相邻两步均不同阶,就此人全部可能的不同过程的种数为A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 答案： A 思路：第一要确定在这6 步中,一阶步,二阶步,三阶步各有几步,分别设为x y zN,本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 第 80 炼 排列组合的常见模型 排列组合, 二项式定理x 4 x 3 x 2x y z 6就有,解得：y 0, y 2, y 4,由于相邻两步不同阶,所以符合x 2 y 3 z 10z 2 z 1 z 0x 3要求的只有 y 2,下面开头支配次序,可以让一阶步搭架子,就二阶步与三阶步必需插z 1入一阶步里面的两个空中,所以共有 2 种插法, 二阶步与三阶步的前后支配共有 3 种三二二,三二三,二三三 ,所以过程总数为 N 2 3 6答案： A 例 8：某旅行社有导游 9 人,其中 3 人只会英语, 2 人只会日语,其余 4 人既会英语又会日语,现要从中选 6 人,其中 3 人负责英语导游,另外三人负责日语导游,就不同的选择方法有_种思路： 在步骤上可以考虑先选定英语导游,再选定日语导游；英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类争论,然后再在剩下的人里选出日语导游即可；第一种情形：3没有会双语的人加入英语导游队伍,就英语导游选择数为 C ,日语导游从剩下 6 个人中选3 3 3择,有 C 中,从而 N 0 C 3 C ,其次种情形：有一个会双语的人加入英语导游队伍,从而可得 N 1 C C 13 2C ,依次类推,第三种情形；两个会双语的加入英语导游队伍,就 3N 2 C 4 2C 3 1C ,第四种情形,英语导游均为会双语的；就 3 N 3 C 4 3C ,综上所述,3不同的选择方法总数为 S C 3 3C 6 3C C 4 13 2C 5 3C 4 2C 3 1C 4 3C 4 3C 3 3216 种 答案： 216 种例 9：如图,用四种不同颜色给图中A B C D E F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,就不同的涂色方法有240 种A. 288 种B. 264 种C. D. 168种思路：假如用四种颜色涂六个点,就需要有两对不相邻的点涂相同的颜 色 ； 所 以 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 ； 列 举 的 情 况 如 下 ：名师归纳总结 A CB D,A CB E,A CD F,A FB D,共九组,第 6 页,共 8 页A FB E,A FC E ,B DC E ,B ED F,C ED F本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章94 A 4第 80 炼 排列组合的常见模型排列组合, 二项式定理所以涂色方法共有216假如用三种颜色涂六个点,就需要有三对不相邻的点涂相同的颜色,列举情形如下：A CB ED F,A FC EB D共两组,所以涂色方法共有23 A 448综上所述,总计264种答案： B 例 10：有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,就不同的排法共有A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种思路：中间行数字和为 5 只有两种情形,即 1,4 和 2,3 ,但这两组不能同时占据两行,假设按题意摸索,以 1,4 占中间行为例,就在支配时既要考虑另一组 2,3 是否同时被选中,仍要考虑同时被选中时不能呆在同一行,情形比较复杂；所以考虑间接法,先求出中间和为 5的全部情形,再减去两行和为 5 的情形解：先考虑中间和为 5 的全部情形：第一步：先将中间行放入 1,4 或 2,3 ：C 2 12其次步：中间行数字的左右次序：A 24第三步：从剩下 6 个数字中选择 4 个,填入到剩余的四个位置并排序：A 61 2 4所以中间和为 5 的情形总数为 S C 2 A 2 A 4 1440在考虑两行和为 5 的情形：1第一步： 1,4 , 2,3 两组中哪组占用中间行：C 21其次步：另一组可选择的行数：C 2第三步： 1,4 , 2,3 在本行中的左右次序：A A 22 22第四步：从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序：A 41 1 2 2 2所以两行和为 5 的情形：N C 2 C 2 A 2 A 2 A 4 192从而仅有中间行为 5 的情形为 S N 1248种答案： B 名师归纳总结 本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第十章 第 80 炼 排列组合的常见模型 排列组合, 二项式定理本书由作者独家授权“ 学易书城”,其所含章节未经作者与学易书城同意不得随便转载名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页