2022年高中数学必修立体几何专题线面角典型例题求法总结 .pdf

线面角的求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中， SA,SB,SC 两两垂直， SBA=45 , SBC=60 , M 为 AB 的中点，求（ 1）BC 与平面 SAB 所成的角。（2）SC 与平面 ABC 所成的角。BMHSCA解:（1） SCSB,SCSA, 图 1 SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为60 。（2） 连结 SM,CM ，则 SMAB, 又 SCAB, AB 平面 SCM, 面 ABC 面 SCM 过 S作 SH CM 于 H, 则 SH平面 ABC CH 即为SC 在面 ABC 内的射影。SCH 为SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77（ “垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线 . 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2. 利用公式 sin=h其中 是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例 2 （ 如图 2）长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求 AB 与面AB1C1D 所成的角。A1C1D1H4CB123BAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解： 设点B 到 AB1C1D 的距离为 h， VBAB1C1=VABB1C113SAB1C1 h= 13 SBB1C1 AB ， 易得 h=125 ，设 AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则 sin=hAB=4 5， AB 与面 AB1C1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos =cos1 cos2（如图 3） 若 OA 为平面的一条斜线，O为斜足， OB为OA 在面内的射影， OC为面内的一条直线，其中 为OA 与OC所成的角，BOAC图3 1为OA 与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么cos=cos1 cos2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为，则易知：1| |cosABAO，212| |cos|coscosACABAO又| |cosACAO，可以得到：12coscoscos，注意：2(0,)2（若22，则由三垂线定理可知，OAAC，即2；与“AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C”不相符）。易得：1coscos又1,(0,)2即可得：1则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角） 。说明 ：1若a，则规定a与所成的角是直角；2若/a或a，则规定a与所成的角为0；3直线和平面所成角的范围为：090；4直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12coscoscos） 。例 3 （如图 4） 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为60 , ，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。ODACB21OCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解： AOB= AOC OA 在面 OBC 内的射影在 BOC 的平分线 OD 上，则 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角， 可知 DOC=30 ,cosAOC=cos AOD cosDOC，cos60 =cosAOD cos30 cosAOD= 33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。2例题分析：例 1如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，,AOO为垂足，BC为内的一条直线，60 ,45ABCOBC，求斜线AB和平面所成角。解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，又12coscoscos，coscos60122coscoscos45222ABCABOCBO，45BAO，即斜线AB和平面所成角为45例 2如图，在正方体1AC中，求面对角线1AB与对角面11BBD D所成的角。解（法一）连结11AC与11B D交于O，连结OB，111DDAC，1111B DAC，1AO平面11BB D D，1A BO是1AB与对角面11BB D D所成的角，在1Rt A BO中，1112A OA B，130ABO（法二）由法一得1ABO是1AB与对角面11BB D D所成的角，又112coscos452A BB，116cos3B BB BOBO，11112cos32coscos263A BBA BOB BO，130ABO说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21coscoscos求线面角显得更加方便。例 3已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。解：过A作AO平面BCD于点O，连接,CO BO DO，ABACAD，O是正三角形BCD的外心，设四面体的边长为a，则33COa，90AOC，ACO即为AC与平面BCD所成角，3cos3ACO，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为33OCBAODCBA1B1A1CABC1DDO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2如图，已知PA正方形ABCD所在平面，且24,6 10PCPBPD，求PC和平面ABCD所成的角。APCBABCDP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -