2022年高中数学第二章平面向量.从位移、速度、力到向量学案北师大版必修 .pdf

1 1从位移、速度、力到向量1理解向量的有关概念及向量的几何表示( 重点 ) 2掌握共线向量、相等向量的概念( 难点) 3正确区分向量平行与直线平行( 易混点 ) 基础初探 教材整理向量的概念阅读教材 P73P75“练习”以上部分，完成下列问题1向量的有关概念名称定义表示方法零向量长度为零的向量0 单位向量长度为单位1 的向量叫作单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作ab向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作ab或ab，Z2. 向量及其表示(1) 定义既有大小，又有方向的量叫作向量(2) 有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫作有向线段AB的长度，记作 |AB|. (3) 向量的长度|AB|( 或|a|) 表示向量AB( 或a) 的大小，即长度( 也称模 )(4) 向量的表示法向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量也可以用黑体小写斜体字母如a，b，c，来表示， 书写用a，b，c来表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 判断 (正确的打“”，错误的打“”)(1) 数量同向量一样可以比较大小( ) (2) 向量AB与向量BA是相等向量 ( ) (3) 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行( ) (4) 向量就是有向线段( ) 【解析】(1) 错误向量不能比较大小(2) 错误 .AB与BA方向相反不是相等向量(3) 错误两条直线平行或重合(4) 错误向量不能等同于有向线段，有向线段只是向量的一种直观表示【答案】(1) (2) (3) (4) 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_ 解惑： _ 疑问 2：_ 解惑： _ 疑问 3：_ 解惑： _ 小组合作型 向量的有关概念给出下列几种说法：温度、速度、位移这些物理量都是向量；若 |a| |b| ，则ab或ab；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 其中说法正确的是_( 填序号 ) 【精彩点拨】解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错【自主解答】错误，只有速度、位移是向量错误|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系错误 .0 的模 |0| 0. 正确对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关【答案】1零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的 相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别2理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关 再练一题 1判断下列说法是否正确，并说明理由(1) 若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；(2) 若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3) 向量AB的长度与向量BA的长度相等；(4) 单位向量都相等【解】对于 (1) ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别事实上，有向线段共线要求线段必须在同一条直线上而向量共线时， 表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，所以(1) 错；对于 (2) ，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，所以 (2) 错；对于 (3) ，向量AB与BA方向相反，但长度相等所以(3) 对；对于 (4) ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同，所以(4) 错. 向量表示(1) 已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 _个互不相等的非零向量(2) 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km 到达B点，然后又改变方向向北偏西40名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 走了 200 km 到达C点，最后改变方向，向东行驶了100 km 到达D点作出向量AB，BC，CD；求 |AD|. 【精彩点拨】(1) 根据向量的表示方法求解(2) 先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题【自主解答】(1) 设线段AD的长度是 3，则长度为1 的向量有ABBCCD，BACBDC，共 2 个互不相等的非零向量；长度为 2 的向量有ACBD，CADB共有 2 个互不相等的非零向量，长度为3 的向量有AD，DA，共 2 个互不相等的非零向量，综上知共 6 个互不相等的非零向量【答案】6 (2) 向量AB，BC，CD如图所示由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，又|AB| |CD| ，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，ADBC， |AD| |BC| 200(km) 1准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点 用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、 长度和终点，三者缺一不可2起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心，向量长度为半径的圆 再练一题 2小李离家从A点出发向东走2 km 到达B点，然后从B点沿南偏西60走 4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km 到达D点(1) 作出AB，BC，CD；(2) 求小李到达D点时与A点的距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 【解】作AB，BC，CD，如图所示：(2) 依题意，四边形ABCD为平行四边形，|AD| |BC| 4，即小李到达D点时离A点 4 km. 探究共研型 相等向量与共线向量探究 1 如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？【提示】方向相同或相反探究 2 相等向量和共线向量有怎样的关系？两个向量能比较大小吗？【提示】相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，两个向量不能比较大小探究3 平行四边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？【提示】平行四边形的对边平行且相等，表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合探究 4 如果非零向量AB与CD是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？【提示】不一定共线如图 211 所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OAa，OBb，OCc. 图 211 (1) 与a的模相等的向量有多少个？(2) 与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3) 与a共线的向量有哪些？(4) 请分别一一列出与a，b，c相等的向量【精彩点拨】由题目可获得以下主要信息：六边形ABCDEF是正六边形；OAa，OBb，OCc；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 求各相应向量解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题【自主解答】(1) 与a的模相等的向量有23 个(2) 与a的长度相等且方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. (3) 与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD. (4) 与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB. 1向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别2共线向量有四种情况方向相同且模相等；方向相同但模不等；方向相反但模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量3向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时， 表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合若直线m，n，l，mn，nl，则ml；若向量a，b，c，ab，bc，而a，c不一定平行4向量的相关概念性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来 再练一题 3. 如图 212 所示，O为正方形ABCD对角线的交点， 四边形OAED，OCFB都是正方形 在图中所示的向量中：图 212 (1) 分别写出与AO，BO相等的向量；(2) 写出与AO共线的向量【解】(1) |AO| |OC| |BF| ，且OC，BF与AO的方向相同， 与AO相等的向量是OC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 BF. 同理，与BO相等的向量是AE. (2) AODEBF，A，O，C三点共线，与AO共线的向量是DE，OC，BF，CO. 构建体系 1下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有 ( ) A1 个B2 个C3 个D4 个【解析】根据向量的概念知速度、力、加速度为向量【答案】D 2下列说法中正确的是( ) A零向量没有方向B零向量的模等于零C单位向量的模等于1 厘米D单位向量的方向都相同【解析】零向量也有方向，其方向是任意的，因此A错误；单位向量的模等于1个单位长度，而不是具体的1 厘米，因此C 错误；单位向量的方向要因具体情况而定，因此D错误所以只有B是正确的【答案】B 3给出下列命题：若 |a|b| ，则ab；若ab，则ab；若 |a| 0，则a0； 00；向量AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 大于向量CD；方向不同的两个向量一定不平行其中，正确命题的序号是_( 把你认为正确的命题序号都填上) 【导学号： 66470038】【解析】不正确向量不能比较大小；正确共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；正确；不正确.0 是一个向量，而0 是一个数量，应|0| 0；不正确因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；不正确因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况【答案】4设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL相等的向量是 _【解析】因为K，L分别是AB，BC的中点，所以KLAC，KL12AC，同理MN綊12AC，所以KLMN.KLMN，所以KLNM. 【答案】NM5如图 213 所示，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形图 213 (1) 用有向线段表示与向量AB相等的向量；(2) 用有向线段表示与向量AB共线的向量【解】(1) 与向量AB相等的向量是向量CE，DC. (2) 与AB共线的向量为BA，DC，CD，CE，EC，ED，DE. 我还有这些不足：(1)_ (2)_ 我的课下提升方案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 (1)_ (2)_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -