2022年高中文科数学立体几何知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点mll/ml/立体几何学问点整理（文科）m一直线和平面的三种位置关系：l1. 线面平行方法二：用面面平行实现；l符号表示：lll/l/2. 线面相交 lAn方法三：用平面法向量实现；的 一 个 法 向 量 ,符号表示：3. 线在面内l如 n 为 平 面l符号表示：nl且 l,就 /；二平行关系：；3.面面平行：ml1.线线平行：方法一：用线面平行实现；ll/方法一：用线线平行实现；l' m'll/ml/l'mm/m '且相交/ml,m方法二：用面面平行实现；l,'m '且相交l/mll/mml方法二：用线面平行实现；m方法三：用线面垂直实现；l/如l,m,就l /m；m/l,m且相交方法四：用向量方法：如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就l /m2.线面平行：方法一：用线线平行实现；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点l名师归纳总结 ACmmllPA方法三：用向量方法：B三垂直关系：如向量 l 和向量 m 的数量积为0,就lm；三夹角问题；1. 线面垂直：一 异面直线所成的角：方法一：用线线垂直实现；1 范畴： 0,90lAClABAl2求法：nPACAB方法一：定义法；AOAC,AB步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角；方法二：用面面垂直实现；步骤 2：解三角形求出角；常用到余弦定理 l余弦定理：cosa2b2c2abcmlm ,l2 ab2. 面面垂直：运算结果可能是其补角 方法一：用线面垂直实现；方法二：向量法；转化为向量C的夹角llAB运算结果可能是其补角：lcosABAC方法二：运算所成二面角为直角；ABAC3.线线垂直：二 线面角方法一：用线面垂直实现；1 定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ,作mlllPO于 O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA 在面内的射影,PAO 图中为直线 l 与面所成的角；mP方法二：三垂线定理及其逆定理；AOPPOlOA2范畴：0, 90AlOl第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当0 时, l或 /名师总结精品学问点n1n2当90 时, l3求法：方法一：定义法；步骤 1：作出线面角,并证明；步骤一：运算cosn 1n2n n2步骤 2：解三角形,求出线面角；n 1n2三二面角及其平面角步骤二：判定与n n 1 2的关系,可能相等或1定义：在棱l 上取一点P,两个半平面内分别作为者互补；距离问题；l 的垂线（射线） m、n,就射线 m 和 n 的夹角四二面角l的平面角；1点面距；方法一：几何法；2范畴：0mlPnPAO, 180步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求；3求法：步骤 2：运算线段PO 的长度； 直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法 方法一：定义法；2线面距、面面距均可转化为点面距；步骤 1：作出二面角的平面角三垂线定理 ,并证明；3异面直线之间的距离步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角；方法一：转化为线面距离；名师归纳总结 方法二：截面法；和,m且步骤 1：如图,如平面 POA 同时垂直于平面n就交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角；如图, m 和 n 为两条异面直线,n步骤 2：解三角形,求出二面角；第 3 页,共 11 页m/,就异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直P线 m 与平面之间的距离；A方法二：直接运算公垂线段的长度；O方法三：公式法；方法三：坐标法运算结果可能与二面角互补- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BaAm名师总结精品学问点m 和 n 的公垂线段,如图, AD 是异面直线cdnm'm/ m ',就异面直线m 和 n 之间的距离为：bDdc2a2b22abcosC五空间向量A 1A一空间向量基本定理C D C 1如向量a ,b ,c为空间中不共面的三个向量,就对空间中任意一个向量B p ,都存在唯独的有序实数对 B 1x、y、z,使得pxay bz c；二 三点共线,四点共面问题1. A ,B, C 三点共线OA xOB yOC ,且 x y 1当 x y 1时, A 是线段 BC 的2A, B, C 三点共线 AB AC2. A ,B, C, D 四点共面OAxOByOCzOD ,且xyzy1当xyz1时, A 是 BCD的ACAD3A, B, C,D 四点共面ABx三空间向量的坐标运算名师归纳总结 1. 已知空间中A、B 两点的坐标分别为：x 2,y 2,z 2第 4 页,共 11 页A x 1,y z 1,B x 2,y2,z 2就：AB ;dA,BAB2. 如空间中的向量ax y z 1,b就 abab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a bcosa b名师总结精品学问点六常见几何体的特点及运算一长方体 1. 长方体的对角线相等且相互平分；2. 如长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、,就2 cos+2 cos+2 cos 如长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、,就cos2+cos2+cos2；3. 如长方体的长宽高分别为a、b、c,就体对角线长为,表面积为,体积为二正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心；三正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；四正多面体：每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体；只有五种正多面体 五棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相像,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比；正棱锥的性质：各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形；六体积：V棱柱V 棱锥七球 1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面；2. 设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心 O 到小圆的距离为d,就它们三者之间的数量关系是；3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度；4. 球的表面积公式：体积公式：高考题典例名师归纳总结 考点 1 点到平面的距离第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点例 1 如图,正三棱柱 ABC A B C的全部棱长都为 2 , D 为 CC中点（）求证：AB 平面 1 A BD；（）求二面角 A A D 1 B 的大小；（）求点 C到平面 A BD 的距离1解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC为正三角形,AOBCA C A D 1A 1别 为B C,C C正三棱柱ABCA BC中,平面ABC 平面BCC B ,AO 平面BCC B连结B O,在正方形 1BB C C中, O,D分O F 的中点,B OBD,AB 1BDD C 1在正方形ABB A 中,1 1AB1A B 1,AB 平面 1A BDB AB 1于 F , 连 结（）设AB与A B 交于点 G ,在平面ABD中,作GFAD 1为二面角B 的平面角AF ,由（）得AB 平面A BD 1AFA D,AFG在AA D 1中,由等面积法可求得AF4 5,5又AG1AB 12,sinAFGAG2102AF4 545名师归纳总结 所以二面角AA DB 的大小为arcsin101第 6 页,共 11 页4（）A BD中,BDA D5,A B2 2,SA BD 16,SBCD在正三棱柱中,A 到平面BCC B 的距离为3 设点 C 到平面1A BD 的距离为 d 由VA 1BCDV CA BD 1,得1SBCD31SA BDd,d3 SBCD233SA BD 12点 C 到平面A BD 的距离为 122考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC的长为 2,且垂直于底面 .E、D分别为BC、AB的中点,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点CD 与 SE 间的距离 . 名师归纳总结 解答过程 ： 如下列图,取BD 的中点 F,连结 EF ,SF,CF ,3EF 为BCD 的中位线,EF CD ,CD 面 SEF ,CD 到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离 .又线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,CD26,EF1CD6,DF2,SC22VSCEF11EFDFSC116222333232在 RtSCE中,SE2 SCCE223在 RtSCF 中,SF2 SCCF2424230又EF6 ,SSEF3由于VCSEFVSCEF1SSEFh,即13h233,解得h2333第 7 页,共 11 页故 CD 与 SE 间的距离为233. 考点 3 直线到平面的距离例 3 如图,在棱长为2 的正方体AC 中, G 是 1AA 的中点,求 1BD 到平面GB 1D 1的距离 . 思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. D1O 1B 1C 1解答过程 ：解析一BD 平面GB 1D 1,A 1BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求H 点 O 平面GB 1D 1的距离 , G D C B 1D 1A 1C 1,B 1D 1A 1A,B 1D 1平面A 1ACC 1, A O B 又B 1D 1平面GB 1D 1平面A 1ACC 1GB 1D 1,两个平面的交线是O1G, 作OHO 1G于 H,就有 OH平面GB 1D 1,即 OH 是 O 点到平面GB 1D 1的距离 . 在O1 OG中,SO 1OG1O 1OAO1222. 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又SO1 OG1OHO 1G13OH名师总结OH精品学问点. 2,26223即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. , 解析二BD 平面GB 1D 1,BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求点B 平面GB 1D 1的距离 . 设点 B 到平面GB 1D 1的距离为 h,将它视为三棱锥BGB 1D 1的高,就VBGB 1D1VD 1GBB1,由于SGB 1D 112236,VD 1GBB11122242323h426,63即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 小结 ：当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是依据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 名师归纳总结 考点 4 异面直线所成的角AOC可以通过 RtAOB以直线 AO 为轴旋转B例 4 如图,在 RtAOB中,OAB,斜边AB4 Rt6A得到,且二面角BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点（I）求证：平面 COD平面 AOB；zD（II）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小解答过程 ：（I）由题意, COAO , BOAO ,COEABOC 是二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO,CO平面 AOB,AODBy第 8 页,共 11 页又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB,（II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DECDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角OOE2在 RtCOE中,COBO2,OE1BO1,CECO25xC2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又DE1AO3在 RtCDE中,名师总结CE精品学问点tanCDE5152DE33异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan15 3小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“ 特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二；补形法：把空间图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0 , . 2考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 S ABCD中,底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC 底面 ABCD 已知ABC 45,AB 2,BC 2 2,SA SB 3S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD与平面 SAB所成角的大小C解答过程：（） 作 SOBC,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC B 底 面D AA B,得 SO 底面 ABCD 由于 SA SB,所以 AO BO ,S又ABC 45, 故A O B 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,AOBO,由三垂线定理,得 SABCC OB（）由（）知 SABC,依题设 ADBC,D A故 SAAD,由 AD BC 2 2,SA 3,AO 2,2得 SO 1,SD 11SA B 的面积 S 1 1AB SA 2 1AB 22 2连结 DB ,得DAB 的面积 S 2 1AB AD sin135 22设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于 V D SAB V S ABD,得 1h S 1 1 SO S,解得 h 23 3设 SD 与平面 SAB所成角为,就 sin h 2 22SD 11 11所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为 arcsin 2211小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1）先判定直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点Q 运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值. 考点 6 二面角例 6如图, 已知直二面角PQ, APQ , B,C, CACB ,C BAP45,直线 CA 和平面所成的角为 30 （I）证明 BCPQP A （II）求二面角 BACP 的大小B 过程指引 ：（I）在平面内过点 C 作 COPQ于点 O ,连结 OB 由于,PQ ,所以 CO,C H 又由于 CACB ,所以 OAOB P O A Q B 而BAO45,所以ABO45,AOB90,从而 BOPQ,又 COPQ,所以 PQ 平面 OBC 由于 BC平面 OBC ,故 PQBC（II）由（ I）知, BOPQ,又,PQ ,BO,所以 BO 过点 O 作 OHAC于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BHAC故BHO 是二面角 BACP 的平面角由（ I）知, CO,所以CAO 是 CA 和平面所成的角,就CAO30,不妨设AC2,就AO3,OHAOsin 3032在 RtOAB中 ,ABOBAO45, 所 以B OA O3, 于 是 在 RtBOH中 ,t a nBHOBO3故二面角 BACP 的大小为 arctan2 OH32小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱；解法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面名师归纳总结 角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小. 第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结精品学问点A 1考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图,已知ABCDA B C D 是棱长为 3的正方体,D 1点 E 在AA 上,点 F 在CC 上,且AEFC11C 1B 1（1）求证：E, , ,D1四点共面；FMEA（2）如点 G 在 BC 上,BG2,点 M 在BB 上, GMBF,CDHGB垂 足 为3H ,求证： EM 平面BCC B ；A 1（3）用表示截面EBFD 和侧面BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan过程指引 ：（1）如图,在DD 上取点 N ,使DN1,连结 EN , CN ,D 1就AEDN1,CFND 12C1B 1由于 AEDN,ND1CF,所以四边形ADNE ,CFD N 都为平行四FNE边形从而ENAD,FD1CNDHMBA又由于 ADBC,所以 ENBC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此CG推知 CNBE,从而FD1BE因此,E, ,F,D 1四点共面（2）如图, GMBF,又 BMBC,所以BGMCFB,BMBGtanBGMBGtanCFBBGBC231CF32于是EHM由于 AEBM,所以 ABME 为平行四边形,从而ABEM又 AB 平面BCC B ,所以 EM 平面BCC B （3）如图,连结 EH 由于 MHBF,EMBF,所以 BF 平面 EMH ,得 EHBF是所求的二面角的平面角,即EHM由于MBHCFB,所以MHBMsinMBHBMsinCFBBMBCCF21323223,tanEM13BC213MH第 11 页,共 11 页- - - - - - -