2022年高中高考数学公式大全.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全高考基础学问（公式）一、集合元素与集合的关系:xAxC A ,xC AxA .AA1 个；即子集：一般地,A AA , 如AB BC 就 AC真子集：一般地,A , 如AB BC 就 AC交集：一般地,AIAA, AIBBIA, AIIA并集：一般地,AUAA, AUBB U A , A U U A A2 n 个子集（包括空集） ；非空子集有 2 n集合a a2,Lan的子集个数共有真子集有 2 n 1 个；非空的真子集有 2 n2 个. 充要条件： 1、 p q ,就 p 是 q 的充分条件； 反之（如 qp ）,q 是 p 的必要条件； 2 、 p q ,且 q p ,就 p 是 q 的充要条件；3、 p q ,且 q > p ,就 p 是的 q 充分不必要条件；4、 p > q ,且 q p,就p是q的必要不充分条件；5、 p > q ,且 q > p ,就是 p 是 q 的既不充分又不必要条件；二、指数与对数指数性质： 1 1、ap1；（ 2）、a01（a0）； 3 、amnnamnap4 、arasarsaa0, , r sQ； 5 、 n ana （a0,m nN ,1）m0,m nN ,且n1）6 、annam（ana a0n a|a|7 当 n 为偶数时,nna ；当 n 为奇数时,a a0对数性质：如a0,a1,M0,N0,nN 且n2就、 logaMlogaMlogaN1 、log aMNlogaMlogaN ; 2N3 、 logaMnnlogaM nR ; 4 、 logamNnnlogaN1m5 、 log 1 a0 6、aloga bb7 、 logaa（8）、换底：logaNlogmNa0,a1,m0,m1,N0logmaNlogaNloga2N2loga9 、推论： logab.logba1; 指数与对数的关系: logaNbabNa0,a1,N01 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全三、数列：等差数列：通项公式：（1）a n a 1 n 1 d ；（ 2）a n a k n k d （其中 a 为首项, d 为公差,n 为项数,a 末项）；（3）a n S n S n 1 n 2（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（ 1）S n n a 1 a n ；其中 1a 为首项, n 为项数,a 为末项；2（ 2）S n na 1 n n 1 d2（ 3）S n S n 1 a n n 2（注 ：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、如 m n p q,就有 a m a n a p a q（2）、a p q a q p , 就 a p q 0；（ 3）、如 a n、b n 为等差数列,就 a n b n 为等差数列；（ 4）、a n 为等差数列,S 为其前 n 项和, 就 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m 也成等差数列；（ 5）、如 a m 是 a n , a p 的等差中项,就有 2 a m a n a p n、m、p 成等差；留意：已知 Sn 求 a1 和公差 d： S1=a1 求出 a1 再 S2=a1+a2 求出 a2 然后 d=a 2-a1等比数列：通项公式：（1）a n a q n 1 a 1 q n n N *；（ 2）a n a k q n k（其中 1a 为首项,qn 为项数, q 为公比）； （3）a n S n S n 1 n 2（注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（ 1）S n S n 1 a n n 2（注 ：该公式对任意数列都适用）na 1 q 1（2）S n a 1 1 q n q 11 q常用性质：（1）、如 m n p q ,就有 a m a n a p a q；（ 2）、如 a n、b n 为等比数列,就 a n b n 为等比数列；（ 3）、如 a m 是 a n , a p 的等比中项,就有 a m 2 a n a p n、m、 p 成等比；2 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全四、三角公式：诱导公式（奇变偶不变,符号看象限）公式一：公式二：sin （ + ） =sin sin（ ） =sin cos（ + ） =cos cos（ ） =cos公式三：公式四：sin （ ） =sin sin cos （ ） = cos cos（ 2 ） =sin （ 2 ） =cos公式六：公式七：sin （ /2+ ） =cos sin cos （ /2+ ） =sin cos（ /2 ） =cos （ /2 ） =sin sin公式七：公式八：（3 /2+ ） =cos sin（ 3 /2 ） = cos cos（3 /2+ ） =sin cos（3 /2 ） =sin 上面这些诱导公式可以概括为：对于 k /2 ± k Z 的三角函数值,当 k 是偶数时,得到 的同名函数值,即函数名不转变；当 k 是奇数时,得到 相应的余函数值,即sin cos; cos sin; （奇变偶不变）（符号看象限）例如： sin2 =sin4· /2 ,k=4 为偶数,所以取 sin ；令 为锐角,2 270 ° , 360° ,sin2 <0 ,符号为“ ”；所以 sin2 =sin 总结记忆：将 看成是锐角,奇变偶不变,符号看象限；奇偶是针对 k 而言的,变与2不变是针对三角函数名而言；和差公式：sin22 cos1 ；sinacosa2 sinao 45 2 cosao 45 sin2sinsincoscossin; coscoscosm sinasinbcos=a2b 2 sin；tantantan1mtantan2 帮助角所在象限由点 , a b 的象限打算 , tanb . asinasin2sina2cosa2sinasin2cosa2sinacosacos2cosa2cosa2cosacos2sina2sina二倍角公式：sin 2 a2sinacosa12tan2tancos22 cossin22cos2112sin21tan21tan2tan 212 tan2tan1sin 21cos2tancos2sin 2sin21cos2cos21cos2223 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全解斜三角形：正弦定理：aARbc2R（R为ABC 外接圆的半径）. B:sinCsinsinBsinCA:sinB c2RsinCa b csina2sinA b2Rsin余弦定理：a2b2c22bccosA ; b2c2a22 cacosB ; c2a2b22abcosCsinC面积定理：（1）S1ah a1bh b1ch （h a、h b、h c分别表示 a、b、c 边上的高）222（2）S1 1ab sin C bc sin2 2：在 ABC中,有 AAB1casinBCAB2内角和定理CC2A2B2C22AB2sinABsinC ；cosABcosC ；sinA2BcosC；cosA2B22五、向量：实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数,那么：1 结合律： ar= ar; （4） ar与 b 2 第一安排律： + ar= ar+ ar; 3 其次安排律： r 的数量积 或内积 ： ar· ar+b r = ar+ bb r r=| ar| b . r| cos,y2. 平面对量的坐标运算：1 设 ar= x y 1 , b r2 设 ar= x y 1 , b r=x2,y 2,就 ar +b r= x 1 x 2 , y 1 y,就 ar - b r= x 1 x 2 , y 1 yuuur uuur uuur就 AB OB OA x 2就 ar= x , y . ,就 ar ·b r= x x 2 y y 2 2. y 1. =x2,y 22. 3 设 A x 1 , y 1 ,B 4 设 ar= , ,5 设 ar= x 1 , y 1 , b rx 2,y2, x y 2R ,=x2,y 2是一个数值两向量的夹角：r rcos r a b r| a | | b|2 x 1x x 2y y22 y 2 ar=x 1,y 1r , b=x 2,y2. 2 y 1x2 2平面两点间的距离：uuurd A B =| AB |向量的平行与垂直ar | b rb rar b r ar线段定比分点：设uuur uuurAB AB = x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 A x 1 , y 1 ,B x 2：设 ar= x 1 , y 1 , b r= x 2 , y 2 ,且 b r0 r,就：= ar x y 2 x y 1 0 . （交叉相乘差为零）r0 ar·b r=0 x x 2 y y 2 0 . （对应相乘和为零）uuurP x y 1 ,P 2 x 2 , y 2 ,P x y 是线段 P P 的分点 , PPuuur PP 2就xx 1x 2yy 1y 2114 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全六、不等式：（1）a bRa2b22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a bRabab 当且仅当ab 时取“=” 号 2（3）3 ab3c33 abc a0,b0,c0（4）ababab（5）2ababa2ba222 b 当且仅当 a b 时取“=” 号 abaa a0（6） aa0 a0aa a0不等式解法：一元二次不等式 ax 2bx c 的解21当 a 0, b 4 ac 0 时2ax bx c 0 的解 x 1 x x 2 x 1 x 2 2ax bx c 0 的解 x x 1 , 或 x x 2 x 1 x 2 2当 a 0, b 24 ac 0 时2ax bx c 0 的解（无解）2 bax bx c 0 的解 x2 a23当 a 0, b 4 ac 0 时2ax bx c 0 的解（无解）2ax bx c 0 的解全体实数注：当 a 0 时,两边乘以 -1 即可；解一元二次不等式的时候画出函数图像以免解错；含有肯定值的不等式：当 a 0 时,有2 2x a x a a x a . 2 2x a x a x a 或 x a . 七、排列组合以及概率：分类计数原理（加法原理）：Nm 1m 2Lm n.1n 规定.01 .分步计数原理（乘法原理 ）：Nm 1m 2Lm n. 排列数公式m：A =n n1 nm1=nn！. n ,m N *,且 m！m组合数公式：Cm=m A n=n n11 nm1 =n！ n N *,mm ！N ,且 mn . nm A m2mm！n组合数的两个性质:1Cm=Cnm ;2 Cm+Cm1=Cm1. 规定C0.nnnnnn互斥大事：不行能同时发生的大事；A B 分别发生的概率的和：P ABP AP B. P A nn 个互斥大事分别发生的概率的：P A 1A 2.A nP A 1P A 2独立大事：大事A（或 B ）是否发生对大事B （A）发生的概率没有影响；5 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全A B 同时发生的概率：P A BP Ag P Bn 个独立大事同时发生的概率：P A 1g A 2g .A nP A 1g P A 2 . P A n独立重复试验：一系列的重复试验n 次独立重复试验中某大事恰好发生k 次的概率：P n k C Pk1Pn k.八、统计：平均数：x1 n1 nxx. x 2.x nx 2方差：S 2x 1x 2x 2函数与几何一、函数基本学问函数单调性 : 增函数：设f x 在 xD 上,如对任意的x 1,x 2D且x 1x2,都有fx 1f x 2成立,就f x 在 xD 上是增函数；D 就是f x 的递增区间；,都有fx 1f x 2成减函数：设f x 在 xD上,如对任意的x 1,x 2D且x 1x2立,就f x 在 xD上是减函数；D就是f x 的递减区间；单调性性质： 1 、增函数 +增函数 =增函数；（ 2）、减函数 +减函数 =减函数；3 、增函数 -减函数 =增函数 ；4 、减函数 -增函数 =减函数 ；单调性解法：（1）依据定义求解（2）设 x x 1 2 a b , x 1 x 那么 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是增函数；x 1 x 2 x 1 x 2 f x 1 f x 2 0 f x 1 f x 2 0 f x 在 a , b 上是减函数 . x 1 x 23 导数法：设函数 y f x 在某个区间内可导,假如 f x 0,就 f x 为增函数；假如 f x 0,就 f x 为减函数 . （常用）函数奇偶性： （注： 是奇偶函数的前提条件是：定义域必需关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下,如有 f x f x ,就 f x 就是奇函数；性质 ：（ 1）、奇函数的图象关于原点对称；（ 2）、奇函数在x>0 和 x<0 上具有 相同的单调区间；（ 3）、定义在 R 上的奇函数,有f00. 6 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全偶函数：定义：在前提条件下,如有fxf x ,就f x 就是偶函数；性质 ：（ 1）、偶函数的图象关于 y 轴对称；（ 2）、偶函数在 奇偶函数间的关系：x>0 和 x<0 上具有 相反的单调区间；1 、奇函数· 偶函数=奇函数；（2）、奇函数· 奇函数=偶函数；3 、偶奇函数· 偶函数=偶函数；4 、奇函数± 奇函数=奇函数（也可能偶函数）5 、偶函数± 偶函数=偶函数；6 、奇函数± 偶函数=非奇非偶函数奇偶性解法：（1）前提条件下（定义域必需关于原点对称）假如一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数（2）定义法：fx f x ,就f x 就是奇函数；fxf x ,就f x 就是偶函数；函数的周期性：定义： 对函数f x ,如存在 T0,使得f xTf x ,就就叫f x 是周期函数；周期函数几种常见的表述形式：1 、f xTfx ,此时周期为 2T；T|2|（2）、f xm f xn ,此时周期为2 mn；3 、f xm 1,此时周期为2mf x （4）、函数ysinx,或者ycosx,此时周期为|函数ytanx,xk2,kZ ,此时周期T|yk<0k>0xo二、直线（一次函数） ：y=kx+b 直线 l 过点P x 1,y 1,且斜率为 k 直线的方程： （1）点斜式yy 1k xx 1（2）一般式AxByC0其中 A、B 不同时为 0. 斜率公式： tan=ky2y 1（P x y 1、P 2x2,y 2、为倾斜角 ） . x 2x 1两直线夹角：tan|k2k 1|. 1k k17 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全两直线平行：1k =k2两直线垂直：k1*k =-1 点线距离：d|Ax0By0C|x 12x ,y 12y 2）A2B2线段 Ax 1,y 1,Bx 2,y2的中点坐标 （ya<0o xa>0三、二次函数 特别抛物线 :y=ax2+bx+cy4acb21. f x ax2bxc a0如b24 ac0, 就x 1,2bb24ac2a如b24 ac0, 就x 1x2b2a如b24 ac0,它在实数集R 内没有实数根yax2bxca xb24 acb2a0也可看成抛物线2 a4 a顶点b,4acab2焦点b,4acb21准线：2 a42a4 a4 ayy=ax0<a<1 a>11四、指数函数：o x1 、y a x a 1 在定义域内是单调递增函数；（2）、y a x 0 a 1 在定义域内是单调递减函数；注：指数 函数图象都恒过点（0,1）yy=log ax0<a<1五、对数函数：oa>11x8 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全1 、ylogax a1在定义域内是单调递增函数；（2）、ylogax0a1在定义域内是单调递减函数就x0,13 、logax0a x0,1 或a x1,4 、 logax0a0,1 就x1,或a1,注： 对数 函数图象都恒过点（1,0）y=sinxy1-/2o/23/22x六、三角函数：-2-3/2- -1f x sinx定义域 R,值域 1,1,z 单增单调性：x2k2,2k2kx2k2,2k3kz 单减2奇偶性： 奇函数周期：T2|最小正周期为 2|y=cosxy1x-2-3/2-/2o/23/22-1f x cos x 定义域 R,值域 1,1,单调性：x 2 k 1 ,2 k k z 单增x 2 k ,2 k 1 k z 单减奇偶性： 偶函数 周期：T 2 最小正周期为 2| |最值（值域）问题：1、当 f x a sin x b cos x 类型要化为 f x A sin x 或者f x A cos x 的形式, sin 和 cos 的值域是 1,1即可求的最值 （以及周期） ；2 22、当 f x a sin x b sin x 或者 f x a sin x b cos x时, 化9 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全为顶点式的二次函数即可求得最值（如显现的是f x asinxbcos2x ,把 cos2x 升幂为2cos2x1即可）借助公式化为单个同名三角函数即可求得最值（值总之, 不管一个三角函数式子有多复杂,域）、周期、奇偶性；奇偶性一般直接用fxf x 和fxf x 求解；七、圆：圆的方程：2 2 21、圆的标准方程 x a y b r . （圆心（ a , b ）半径 r）2 、 圆 的 一 般 方 程 x 2y 2Dx Ey F 0 圆 心 为 （D , E ）, 半 径2 22 2D E 4 Fr 23、两点式： x x 1 x x 2 y y 1 y y 2 0 已知圆上两点求圆的方程 圆与点：点 P x 0 , y 0 与圆 x a 2 y b 2r 2的位置关系有三种：2 2如 d a x 0 b y 0 ,就 d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P 在圆内 . 圆与直线： 1、在 x 2y 2r 2（圆心在原点）的 圆上一点 P x 1 , y 1 引一条直线的方程2是 xx 1 yy 1 r2 2 22、在 x a y b r（圆心不在原点）外面的一点 P x 1 , y 1 引出的切线有 2条,解法：令直线方程为：y y 1 k x x 1 化为一般式后为 kx y y 1 kx 1 0,圆 心 （ a , b ） 到 该 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ：d ka b2 y 1 kx 1r 即k 212 2d ka b y 1 kx 1 r k 1 两边平方解得 2 个解即为此 2 切线；10 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆xa2yb2r2的位置关系有三种 dAa2BbC: ;dr相交0. dAB2dr相离0;dr相切0O 1O 2d两圆位置关系: 设两圆圆心分别为O1, O2,半径分别为r 1,r 2,就：dr 1r2外离4条公切线; 内含内切相交外切相离dr 1r2外切3 条公切线; r 1r 2dr 1r 2相交2 条公切线; odr2-r1dr1+r2ddr 1r2内切1 条公切线; 八、椭圆：定义一：MF1MF22a|F F2| 2c0e1标准方程：x2y21 ab0长轴长 2a短轴长 2ba2b2定义二： M 到同边焦点的距离与 M 到准线距离的比等于eca离心率：ec关系：a22 bc2准线：x y a2ac九、双曲线：定义一：|MF1MF2| 2a|F F2| 2 ce1ybx标准方程：x2y21 ab0长轴长 2a短轴长 2ba2b22与 M 到准线距离的比等于ec定义二： M 到同边焦点的距离a离心率：ec关系：ca2b2准线：x y a2渐近线：aca11 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中高考数学公式大全如渐近线方程为 y b x x y0 双曲线可设为a a b2 2 2 2如双曲线与 x2 y2 1 有公共渐近线,可设为 x2 y2a b a b任何情形下,焦点到渐近线的距离等于 bx2y2a2b2十、抛物线：上开口：x22py 下开口：x22py定义： M 到焦点的距离 与 M 到准线距离相等方程：右开口：y22px左开口：y22px离心率：e1 右开口 焦点： p,0准线：x y p2（ 弦 端 点22注 ： 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式ABx 1x 22y 1y 2A x 1,y 1,B x2,y 2,由方程ykxb0消去 y 得到ax2bxc0方程的解F 圆锥 , 是的A B 横坐标 . 再带入直线方程解得A B 纵坐标即可解得弦长；12 / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页