高中数学必修五高中数学必修5公开课教案3.3.1-二元一次不等式(组)与平面区域-教案课时训练练习教.doc

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，再回归到先前的具体实例，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究二元一次不等式（组）的概念，一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系.得出一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.课时安排 2课时三维目标一、知识与技能1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一个实际例子.一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？生 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由资金总数为25 000 000元，得到x+y25 000 000.师 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以(12%)x+(10%)y30 000，即12x+10y3 000 000.师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是生 x0,y0.师 将合在一起，得到分配资金应该满足的条件：师 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.师 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x,y)|x+y-1=0是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-10的解为坐标的点的集合A=(x,y)|x+y-10是什么图形呢？推进新课合作探究师 二元一次方程xy10有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集(x，y)|xy10，它在坐标平面上表示一条直线.以二元一次不等式xy10的解为坐标的点，也拼成一个点集.如x3，y2时，xy10，点(3，2)的坐标满足不等式xy10.(3，2)是二元一次不等式xy10的解集中的一个元素.我们把二元一次不等式xy10的解为坐标的点拼成的点集记为(x，y)|xy10.请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？生 xy10表示直线l：xy10右上方的所有点拼成的平面区域.师 事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线xy10分为三类：在直线xy10上；在直线xy10右上方的平面区域内；在直线xy10左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐标代入xy1中，xy10，(2，2)点在直线xy10的右上方.(1，2)点的坐标代入xy1中，xy10，(1，2)点在直线xy10上.(1，1)点的坐标代入xy1中，xy10，(1，-1)点在直线xy10的左下方.因此，我们猜想，对直线xy10右上方的点(x，y)，xy10成立；对直线xy10左下方的点(x，y)，xy10成立.师 下面对这一猜想进行一下推证.在直线l：xy10上任取一点P(x 0，y 0)，过点P作平行于x轴的直线yy0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有xx 0，yy0两式相加.xyx 0y 0，则xy1x0y01,P点在直线xy10上，x0y 010.所以xy10.因为点P(x0，y0)是直线xy10上的任意一点，所以对于直线xy10的右上方的任意点(x，y),xy10都成立.同理，对于直线xy10左下方的任意点(x，y)，xy10都成立.所以点集(x，y)|xy10是直线xy10右上方的平面区域，点集(x，y)|xy10是直线xy10左下方的平面区域.师 一般来讲，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0的某一侧所有点组成的平面区域.由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y0)，由Ax0By0C的正、负就可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域.当C0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入xy1中，xy10.说明：xy10表示直线xy10左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线xy10的同一侧.如果C0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.师 提醒同学们注意，不等式AxByC0所表示的区域，应当理解为(x，y)|AxByC0(x，y)|AxByC0.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.师 另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.（1）A为直线l右上方的平面区域(2)B为直线l左下方的平面区域(3)C为直线l左上方的平面区域(4)D为直线l右下方的平面区域教师精讲师 二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面区域.（1）结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c0时，常把原点作为此特殊点.知识拓展【例1】 画出不等式2xy60表示的平面区域.解:先画直线2xy60(虚线)，把原点(0，0)代入2xy6，得060.因2xy60，说明原点不在要求的区域内，不等式2xy60表示的平面区域与原点在直线2xy60的异侧，即直线2xy60的右上部分的平面区域.生 学生课堂练习.(1)xy10.(2)2x3y60.(3)2x5y100.(4)4x3y12.【例2】 画出不等式组表示的平面区域.x3y60表示直线上及其右上方的点的集合.xy20表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.【例3】 画出不等式组表示的平面区域.师 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.生 解：不等式x-y+50表示直线x-y+5=0右上方的平面区域，x+y0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.（1）x-y+10;（2）2x+3y-60;（3）2x+5y-100;（4）4x-3y-120;（5）如下图：合作探究师 由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？生 归纳如下：1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类：（1）直线l上：(x,y)|x+y-1=0；（2）直线l的上方：(x,y)|x+y-10；（3）直线l的下方：(x,y)|x+y-10.对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标,代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小于0.观察到所有大于0的点都在直线l的右上方，所有小于0的点都在直线l的左下方，所有等于0的点在直线l上.2.一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线.此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点）方法引导上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论.课堂小结1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l分成三类：（1）直线l上；（2）直线l的上方；（3）直线l的下方.2.二元一次不等式ax+by+c0和ax+by+c0表示的平面区域.布置作业1.不等式x-2y+60表示的区域在x-2y+6=0的（）A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式3x+2y-60表示的平面区域是（）3.不等式组表示的平面区域是（）4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式_表示.5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是_.6.画出(x+2y-1)(x-y+3)0表示的区域.答案：1.B2.D3.B4.x+2y-105.（1，1）6.第2课时导入新课师 前一节课我们共同学习了二元一次不等式（组）的一些基本概念，并且从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，下面请同学回忆上述内容.生 一般来讲，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0的某一侧所有点组成的平面区域.由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y 0)，由Ax 0By0C的正、负就可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域.当C0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如果C0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.推进新课例题剖析师 【例1】 画出不等式x+4y4表示的平面区域.师 解：先画直线x+4y-40(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4040，因为x+4y-40，说明原点在要求的区域内，不等式x+4y-40表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.师 【例2】 用平面区域表示不等式组的解集.师 分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.生 解：不等式y-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x2y表示直线上方的区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.师【例3】 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格：(以班级为单位)学段班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.师 若设开设初中班x个,高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在2030之间,所以应该有什么样的限制?生 20x+y30.师 考虑到所投资金的限制,又应该得到什么?生 26x+54y+2×2x+2×3y1 200,即x+2y40.另外,开设的班数不能为负,则x0,y0.把上面四个不等式合在一起,得到师 用图形表示这个限制条件,请同学完成.生 得到图中的平面区域(阴影部分).师 例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐4吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.师 若设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则应满足什么样的条件?生 满足以下条件师 在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域.生生 课堂练习(1)(2)方法引导上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答.课堂小结1.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要.2.在实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.布置作业课本第97页练习4.板书设计第1课时二元一次不等式（组）与平面区域例1课堂小结 例3例2第2课时二元一次不等式(组)与平面区域例1例3 例4例2下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？  甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。  乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。  主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？  齐：主动关好。  小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？  主持人：可以。  小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？  答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。  小记者：请这位同学谈谈好吗？  答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。  小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！  水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！  主持人：你们还有发言的吗？  答：有。  生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。  动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！  花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！  水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。  主持人：水伯伯，您这是干什么呢？  水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！  主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！  4.主持人：大家欢迎老师讲话！  同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。  5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。  6.活动效果：  此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：  1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：  “双手抓不起，一刀劈不开，  煮饭和洗衣，都要请它来。”  主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”  一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”  主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。  水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”  甲：如果没有水，我们人类就无法生存。  小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。  花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。  主持人：下面请听快板水的用处真叫大  竹板一敲来说话，水的用处真叫大；  洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，  煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。  栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；  鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；  采煤发电要靠它，京城美化更要它。  主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？  甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。  乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。  丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。  2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？  （1）（生）：我要节约用水，保护水源。  （2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。  （3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。  （4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。  3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。  （1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。  （2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。  （3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）  （4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？  主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的  大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”  旁白：“那又是谁家的呢？”  主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？