2022年高中数学-公式结论汇总.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学公式结论大全1. ,.2. . 3.4. 集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个. 5. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式 ; 2 顶点式 ; 当已知抛物线的顶点坐标 时,设为此式3 零点式；当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时,设为此式4 切线式：；当已知抛物线与直线 相切且切点的横坐标为 时,设为此式6. 解连不等式 常有以下转化形式. 7. 方程在内有且只有一个实根 , 等价于或；8. 闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,详细如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 当 a>0 时,假设,就；,. 2 当 a<0 时,假设,就,假设,就,. 9. 一元二次方程0 的实根分布1 方程在区间内有根的充要条件为或；2 方程在区间内有根的充要条件为；或或3 方程在区间内有根的充要条件为或 . 10. 定区间上含参数的不等式恒成立 或有解 的条件依据不同上含参数的不等式 为参1 在给定区间的子区间形如,数 恒成立的充要条件是； 为参数 恒成立的充要条件是2 在给定区间的子区间上含参数的不等式；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 在给定区间的子区间上含参数的不等式为参数 的有解充要条件是；4 在给定区间的子区间上含参数的不等式 为参数 有解的充要条件是；对于参数及函数. 假设恒成立,就；假设恒成立,就有解,就；假设有解,就；假设有解,就；假设. 假设函数无最大值或最小值的情形,可以仿此推出相应结论11. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假12. 常见结论的否认形式原结论,成立反设词,不成立原结论反设词个是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有小于不小于至多有个至少有个对全部存在某或且对任何,不成立存在某,成立且或13. 四种命题的相互关系 右图 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 充要条件记 表示条件,表示结论1 充分条件：假设,就 是 充分条件 . 2 必要条件：假设,就 是 必要条件 . 3 充要条件：假设,且,就 是 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然 . 15. 函数的单调性的等价关系1 设 那么上是增函数；上是减函数 . 2 设函数在某个区间内可导,假如,就为增函数；假如,就为减函数. 16. 假如函数 和 都是减函数 , 就在公共定义域内 , 和函数 也是减函数 ; 假如函数和 都是增函数 , 就在公共定义域内 , 和函数 也是增函数 ; 假如函数 和在其对应的定义域上都是减函数 , 就复合函数 是增函数；假如函数 和在其对应的定义域上都是增函数 , 就复合函数 是增函数；假如函数 和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数 , 就复合函数 是减函数 . 17奇偶函数的图象特点奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 那么这个函数是奇函数；假如一个函数的图象关于18. 常见函数的图像：y 轴对称 ; 反过来,假如一个函数的图象关于原点对称,y 轴对称,那么这个函数是偶函数名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 对于函数,恒成立 , 就函数的对称轴是; 两个函数与的图象关于直线对称. 20. 假设, 就函数的图象关于点对称 ; 假设, 就函数为周期为的周期函数 . 21多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零 . . 多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零 . 22. 函数的图象的对称性对称优特网 uutte 优特网吘莒嶩1 函数的图象关于直线2 函数的图象关于直线对称. 23. 两个函数图象的对称性1 函数与函数的图象关于直线 即轴 对称 . 第 5 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 函数与函数的图象关于直线对称. 3 函数和的图象关于直线 y=x 对称 . 24. 假设将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象 . 的图象；假设将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线25. 几个常见的函数方程1 正比例函数 . 2 指数函数 . 3 对数函数, 正弦函数,. . ,4 幂函数5 余弦函数. 26. 几个函数方程的周期 商定 a>0 1,就的周期 T=a；, 就的周期 T=2a；2,或3,就的周期 T=3a；4且,就的周期 T=4a；27. 分数指数幂名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1,且. . 2,且28. 根式的性质1. ；. 2 当为奇数时,当为偶数时,29有理指数幂的运算性质1 . . 2 . 3注：假设 a0,p 是一个无理数,就 指数幂都适用 . a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数30. 指数式与对数式的互化式 : , 且, 且.,. 31. 对数的换底公式 :对数恒等式：, 且,. . 推论, 且32对数的四就运算法就 : 假设 a0,a 1, M0,N0,就1; 2 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3; 4 ；33. 设函数, 记. 假设的定义域为, 就且; 假设的值域为, 就,且；,. ,且,就34. 对数换底不等式及其推广：设1. 235. 平均增长率的问题负增长时假如原先产值的基础数为N,平均增长率为,就对于时间的总产值,有. 36. 数列的通项公式与前n 项的和的关系： 数列的前 n 项的和为. 37. 等差数列的通项公式：；. 其前 n 项和公式为：38. 等比数列的通项公式：；其前 n 项的和公式为或. 39. 等比差数列:的通项公式为；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其前 n 项和公式为：. 40. 分期付款 按揭贷款 ：每次仍款元 贷款元,次仍清 , 每期利率为. 41常见三角不等式1 假设,就. 2 假设,就. 3 . ：,=,. 42. 同角三角函数的基本关系式43. 正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变,符号看象限,44. 和角与差角公式; ; . 平方正弦公式 ; . = 帮助角所在象限由点的象限打算 , . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 45. 二倍角公式及降幂公式. . . 46. 三角函数的周期公式函数,xR 及函数,xRA, ,为常数,且 A 0 的周期；函数,A, ,为常数,且 A 0 的周期. 三角函数的图像：五点法作图列表：47. 正弦定理：0 /23 /22R为外接圆的半径 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 48. 余弦定理;. 53. 面积定理1 分别表示 a、b、c 边上的高 . 2 . 3 . 49. 三角形内角和定理在 ABC中,有. 50. 简洁的三角方程的通解. . . 特殊地 , 有. . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 51. 最简洁的三角不等式及其解集. . . . . . 52. 实数与向量的积的运算律 : 设 、 为实数,那么1 结合律： = ; 2 第一安排律： + = + ;3 其次安排律： + = + . 53. 向量的数量积的运算律：1···= ···交换律 ; .=· 2+= =·3= +·54. 平面对量基本定理名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1、2,使得=1+2不共线的向量、叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 三点 A、B、C共线的充要条件：M为任意点 55向量平行的坐标表示设=,=,且,就 |的乘积. 56. 与的数量积 或内积 ：·=|；57.·的几何意义：数量积·等于的长度 | 与在的方向上的投影 |向量在向量上的投影： |58. 平面对量的坐标运算1 设=,=,B,就+=. . 2 设=,=,就-=. 3 设 A, 就4 设=,=,就=·. 5 设=,就=59. 两向量的夹角 公式=,=. 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 60. 平面两点间的距离公式=：设=,=A,B. . 是实数,且,61. 向量的平行与垂直,且,就|=·=0. . 是线段的分点 ,62. 线段的定比分公式：设,就63. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为、, 就 ABC的重心的坐标是. 64. 点的平移公式. 注: 图形 F上的任意一点 Px,y 在平移后图形上的对应点为,且的坐标为. 65. “ 按向量平移” 的几个结论1 点按向量=平移后得到点. 的函数解析式为. 2 函数的图象按向量=平移后得到图象, 就3 图象按向量=平移后得到图象, 假设的解析式, 就的函数解析式为. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 曲线:=按向量=平移后得到图象, 就的方程为. 5 向量按向量=平移后得到的向量仍旧为=. 66. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设为所在平面上一点,角. 所对边长分别为,就1为的外心2为的重心. . . . 3为的垂心4为的内心5为的的旁心67. 常用不等式：1 当且仅当 ab 时取“=” 号 2 当且仅当 ab 时取“=” 号 345 . 6 当且仅当 ab 时取“=” 号 ；68. 最值定理 : 已知都是正数,就有第 15 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 假设积是定值,就当时和有最小值；2 假设和是定值,就当时积有最大值. 3 已知,假设就有；4 已知,假设就有69. 一元二次不等式,假如与同号,就其解集在两根之外；假如与异号,就其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外,异号两根之间. ；. 70. 含有肯定值的不等式：当 a> 0 时,有. 或 . 71. 无理不等式1 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 . 3 . 72. 指数不等式与对数不等式1 当时, ; . 2 当 时, ; 73. 斜率公式、. 74. 直线的五种方程1 点斜式 直线 过点,且斜率为 . 2 斜截式b 为直线在 y 轴上的截距 . 3 两点式、 两点式的推广：无任何限制条件！4 截距式分别为直线的横、纵截距, 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 一般式 其中 A、B 不同时为 0. 直线 的法向量：,方向向量：75. 两条直线的平行和垂直1 假设,; . , 且 A1、A2、B1、B2都不为零 , 2 假设,；,此时直线76四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：1 定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 除直线 , 其中 是待定的系数 ; 经过定点 的直线系方程为 , 其中 是待定的系数2 共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 除 ,其中 是待定的系数3 平行直线系方程：直线 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程与直线平行的直线系方程是 , 是参变量4 垂直直线系方程：与直线 A 0,B 0 垂直的直线系方程是 , 是参变量5 直线系与线段相交；第 18 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 77. 点到直线的距离： 点, 直线 ：. 78. ,当与或所表示的平面区域所表示的平面区域是：异号时,表示直线设直线,就或假设同号时,表示直线的上方的区域；当与的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 , 异号在下 . 假设,当与同号时,表示直线的右方的区域；当与异号时,表示直线的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左；79. 或所表示的平面区域或所表示的平面区域是两直线和所成的对顶角区域上下或左右两部分；80. 圆的四种方程1 圆的标准方程. . 0. 2 圆的一般方程3 圆的参数方程4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是、. 81. 圆系方程1 过点,的圆系方程是第 19 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - , 其中是直线的方程 , 是待定的系数2 过直线 :时,与圆:, 的交点的圆系方程是是待定的系数3 过圆:与圆:的交点的圆系方程是特殊地,当, 是待定的系数就是表示：当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程；向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程82. 点与圆的位置关系：点,就与圆点在圆外 ;的位置关系有三种点在圆内 . 假设点在圆上 ;83. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种 : ;. 84. 两圆位置关系的判定方法 : 设两圆圆心分别为; ; ; O1,O2,半径分别为 r 1,r 2,名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - ; . 85. 圆的切线方程及切线长公式1 已知圆假设已知切点 在圆上,就切线只有一条,其方程是. 当圆外时 , 表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程,仍可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定；过圆外一点的切线方程可设为,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,留意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线2 已知圆; 过圆上的点的切线方程为斜率为的圆的切线方程为. 3 过圆外一点的切线长为86. 椭圆的离心率,过焦点且垂直于长轴的弦长为：. 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 87. 椭圆,；88椭圆的的内外部1 点在椭圆的内部. 2 点在椭圆的外部. 89. 椭圆的切线方程1 椭圆上一点处的切线方程是. 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 椭圆与直线相切的条件是. 90. 双曲线的离心率,过焦点且垂直于实轴的弦长为：. ,；91. 双曲线的内外部1 点在双曲线的内部. 2 点在双曲线的外部. 92. 双曲线的方程与渐近线方程的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 假设双曲线方程为渐近线方程：. 2 假设渐近线方程为双曲线可设为. 3 假设双曲线与 有公共渐近线,可设为,焦点在 x 轴上,焦点在 y 轴上 . 4 焦点到渐近线的距离总是；93. 双曲线的切线方程1 双曲线上一点处的切线方程是. 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 3 双曲线与直线相切的条件是. 94. 抛物线的焦半径公式. 抛物线, 其中 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角 过焦点弦长 . 其中 为倾斜角 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 95. 抛物线上的动点可设为 P或 P,其中. 95. 二次函数 的图象是抛物线：1 顶点坐标为；2 焦点的坐标为；3 准线方程是 . 97. 以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切；98. 抛物线的切线方程1 抛物线上一点处的切线方程是. . . 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是3 抛物线与直线相切的条件是99. 两个常见的曲线系方程1 过曲线,的交点的曲线系方程是为参数 . 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程, 其中. 当 时, 表示椭圆 ; 当 时, 表示双曲线 . 100. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弦端点 A,由方程消去 y 得到,为直线的倾斜角,为直线的斜率,. 101. 圆锥曲线的两类对称问题1 曲线关于点成中心对称的曲线是. 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是. 特殊地,曲线关于原点成中心对称的曲线是,假设. . ,M的轨迹为椭圆；假设,曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是. 曲线关于直线轴对称的曲线是102. 动点 M到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数M的轨迹为抛物线；假设,M的轨迹为双曲线；103证明直线与直线的平行的摸索途径 1 转化为判定共面二直线无交点；2 转化为二直线同与第三条直线平行；3 转化为线面平行；4 转化为线面垂直；5 转化为面面平行 . 104证明直线与平面的平行的摸索途径名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 转化为直线与平面无公共点；2 转化为线线平行；3 转化为面面平行 . 105证明平面与平面平行的摸索途径 1 转化为判定二平面无公共点；2 转化为线面平行；3 转化为线面垂直 . 106证明直线与直线的垂直的摸索途径 1 转化为相交垂直；2 转化为线面垂直；3 转化为线与另一线的射影垂直；4 转化为线与形成射影的斜线垂直 . 107证明直线与平面垂直的摸索途径 1 转化为该直线与平面内任始终线垂直；2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3 转化为该直线与平面的一条垂线平行；4 转化为该直线垂直于另一个平行平面；108证明平面与平面的垂直的摸索途径 1 转化为判定二面角是直二面角；2 转化为线面垂直；3 转化为两平面的法向量平行；109. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律1 加法交换律：= 第 26 页,共 41 页2 加法结合律： =3 数乘安排律： =名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 110. 平面对量加法的平行四边形法就向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,点的对角线所表示的向量 . 111. 共线向量定理等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始对空间任意两个向量、 ,存在实数 使=三点共线共线且不共线且. 不共线 . 、112. 共面对量定理向量与两个不共线的向量、共面的存在实数对, 使. 推论空间一点 P位于平面 MAB内的存在有序实数对, 使,或对空间任肯定点O,有序实数对,使时,假设,就当时,113. 对空间任一点和不共线的三点A、B、C,满意对于空间任一点,总有 P、A、B、C四点共面；当平面 ABC,就 P、A、B、C四点共面；假设平面 ABC,就 P、A、B、C四点不共面四点共面与、共面平面 ABC. 114. 空间向量基本定理假如三个向量、不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯独的有序实数组 x,y,z,使xyz推论 设 O、A、B、C是不共面的四点,就对空间任一点 P,都存在唯独的三个有序实数 x,y,z,使. 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 115. 射影公式已知向量=和轴 ,是 上与 同方向的单位向量 . 作 A 点在 上的射影,作 B点在 上的射影,就116. 向量的直角坐标运算设= ,就. 1 ；2 ,B；3 R；4 ·；117. 设 A,就118空间的线线平行或垂直设,就；. 119. 夹角公式设,就. 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论,就,此即三维柯西不等式 . 120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为；特殊地,对于正四周体每两个面所成的角为,有；121异面直线所成角=其中为异面直线所成角,分别表示异面直线的方向向量122. 直线与平面所成角的法向量 . 为平面123. 二面角或的平面角依据详细图形确定是锐角或是钝角,为平面,的法向量 . 124 折叠角定理设 AC是 内的任一条直线,AD是 的一条斜线 AB在 内的射影,且 BDAD,垂足为 D,设 AB与 AD所成的角为, AD 与 AC所成的角为, AB 与 AC所成的角为就. 125. 空间两点间的距离公式假设 A,B,就=. 第 29 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 126. 点到直线 距离 点在直线 上,为直线的方向向量,=. 127. 异面直线间的距离是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离 . 128. 点到平面的距离,是的一条斜线段 . 为平面的法向量,129. 异面直线上两点距离公式. . . 两条异面直线 a、b 所成的角为 ,其公垂线段,. 130. 三个向量和的平方公式131作截面的依据的长度为 h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F,三个平面两两相交,有三条交线,就这三条交线交于一点或相互平行 . 132棱锥的平行截面的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相像,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相像多边形,相像多边形面积的比等于对应边的比的平方； 相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比133. 球的半径是 R,就其体积, 其外表积134. 球的组合体1 球与长方体的组合体 : 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 . 2 球与正方体的组合体 : 正方体的内切球的直径是正方体的棱长 体的面对角线长 , 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 . , 正方体的棱切球的直径是正方 3 球与正四周体的组合体 : 棱长为的正四周体的内切球的半径为 正四周体高的, 外接球的半径为 正四周体高的. 135柱体、锥体的体积是柱体的底面积、是柱体的高 . 是锥体的底面积、是锥体的高 . 136. 分类计数原理加法原理：. 137. 分步计数原理乘法原理：=. .,N *,且 规定. 138. 排列数公式：=139. 排列恒等式 : 1;2; 3; 4; 5. 6 . 第 31 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 140. 组合数公式 ：=N *,且. 141. 组合数的两个性质 :1= ;2 +=. 规定. 142. 组合恒等式1;2; 3; 4=; 5. . 个元素的排列6. 78. . 9. 10143. 排列数与组合数的关系 : .个元素中取144单条件排列以下各条的大前提是从1“ 在位” 与“ 不在位”某特元必在某位有种；某特元不在某位有补集思想着眼位置着眼元素种 . 2 紧贴与插空即相邻与不相邻定位紧贴：个元在固定位的排列有种. 第 32 页,共 41 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 浮动紧贴：个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有种. 注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h 个,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的全部排列数有种. 3 两组元素各相同的插空当个大球个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法？时,无解；当时