2022年高中数学不等式选修题型全归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 6.不等式选讲6.1 均值不等式在证明中的应用1. 1已知a bR, , x yR ,求证：x22 yxy2；x1 y的最小值；abab2已知实数x y 满意：2x2y21,试利用 1求2x21证：ab2 xy2x2y 22 bxay2x 2y22xyy2abab2 x2 yxy2当且仅当x ay b时,取等号；ab1时,21 y的最小值ab22129,当且仅当2 xy22解：21222 12 xy222 xy2x2y23x2是 9；考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 肯定值不等式6.2.1 单肯定值不等式2. 已知函数f x x25xx4 ,x0假设函数yf x a x 恰有 4个零点,就实数 a2x2 ,0的取值范畴为 _.第 1 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 1,2解析：分别作出函数 y f x 与 y a x 的图像,由图知,a 0 时,函数 y f x 与 y a x 无交点,a 0 时,函数 y f x 与 y a x 有三个交点,故 a 0.当 x 0,a 2 时,函数 y f x 与 y a x 有一个交点,当 x 0, 0 a 2 时,函数 y f x 与 y a x 有两个交点,当 x 0 时,假设 y ax 与 y x 25 x 4, 4 x 1 相切,就由 0得：a 1 或 a 9舍,因此当 x 0,a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有两个交点,当 x 0,a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有三个交点,当 x 0, 0 a 1 时,函数 y f x 与 y a x 有四个交点,所以当且仅当 1 a 2 时,函数 y f x 与 y a x 恰有 4个交点 . 第 2 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：单肯定值不等式3. 存 在x0, 使 得 不 等 式2 x2xt成 立 , 就 实 数 t的 取 值 范 围 为_答案：9 ,2 4x22xt,即xt2x2,字形图形,其象位于第一、 二象解析：不等式令y 1xt,y 1的图象是关于 x对称的一个 Vt限；y 2 2 x 2,是一个开口向下,关于 y 轴对称,最大值为 2 的抛物线；要存在 x 0,使不等式 x t 2 x 2成立,就 1y 的图象应当在其次象限和 2y 的图象有交点,两种临界情形,当 t 0 时,1y 的右半部分和 2y 在其次象限相切：1y 的右半部分即 1y x t ,第 3 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 联列方程yxty2x2,只有一个解；即xt2x2,即x2xt20,14 t80,得：t9；4此时1y恒大于等于2y,所以t9取不到；4所以9t0；4当t0时,要使1y和y2在其次象限有交点,即1y的左半部分和2y的交点的位于其次象限；无需联列方程,只要1y与 y轴的交点小于 2 即可；1ytx 与 y 轴的交点为 0, t,所以t2,又由于t0,所以 0t2；综上,实数 t 的取值范畴是：9t2；4故答案为：9 , 2 4考点：单肯定值不等式6.2.2 同系数肯定值相加型不等式4. 已知函数f | 2x1| 2xa ,g x x3.2时,求不等式1当af x g x 的解集；第 4 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2设a1,且当xa , 12 2时,f x g x ,求 a 的取值范畴；1当a2时,令yx2x12 x2x35 , x x1x1,2x2,12作出函数图像可知,当0,2时,y0,3 x6,x1故原不等式的解集为x0x2；x3,2依题意,原不等式化为1a故xa2对a 1,2 2都成立,故aa2,2故a4,3故a 的取值范畴是1,4 3. 考点：同系数肯定值相加型不等式第 5 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.2.3 同系数肯定值相减型不等式5. 已知函数f x x2x55fx33;8x15的解集；1证明：3f x 2求不等式f x x253,x21f x x2x2x7,2x当 2x5时,32x73,x53,所以,32由 1可知当x2时,f x x28x15的解集为空集；x3x5当 2x5时,f x x28x15的解集为x|5当x5时,f x x28x15的解集为x|56x6综上：不等式f x x28x15的解集：x|53考点：同系数肯定值相减型不等式6.2.4 不同系数肯定值相加减型不等式6. 设函数fx2xx1x2fx2的解集；1求不等式R ft211t 恒成立,求实数 t 的取值范畴2假设x2第 6 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - x3,x121由题意得f x 3x1,1x25xx5,2x3,x2当x1时,不等式化为x32,解得x2当1x2时,不等式化为 3x12,解得x112,2当x2时,不等式化为x32,解得x1x2,211 2t 恒成立,综上,不等式的解集为x x1 .ò x52由 1得fxmin5,假设xR,fxt2就只需fxmin5t211t,解得1 2t5,22综上, t 的取值范畴为1 ,5 2考点：不同系数肯定值相加减型不等式6.3 已知肯定值不等式解求参数7. 设函数 f x x a 3 , x a 01当 a 1 时,求不等式 f x 3 x 2 的解集；2假如不等式 f x 0 的解集为 x x 1,求 a 的值；1当 a 1 时,f x 3 x 2 可化为 | x 1| 2；由此可得 x 3 或 x 1；故不等式 f x 3 x 2 的解集为 x x 3 或 x 1；第 7 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由f x 0得xa3 x0即此不等式化为不等式组xa3 x0或xa3 x0xaaxxa或xaaxaax xa42由于a0,所以不等式组的解集为2由题设可得a=-1,故a22考点：已知肯定值不等式解求参数6.4 已知肯定值不等式解的范畴求参数范畴8. 已知函数 f | x a | | x 2 | .1当 a 3 时,求不等式 f 3 的解集；2假设 f x | x 4| 的解集包含 1,2 ,求 a 的取值范畴 . 答案：1当a3时,f x |x3|x52 x x23,或xx332 |12x3x2x5 x3所以不等式f x 3可化为23,或2x52 x1325解得x1 或x4x x1或x4因此不等式f x 3的解集为 2由已知f x |x4 |第 8 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即为 |xa|x2 | |x4 |,也即 | x a | | x 4 | | x 2 |假设 f x | x 4 | 的解集包含 1,2 ,就 x 1,2, | x a | | x 4| | x 2 |,也就是 x 1,2, | x a | 2,所以 x 1,2,x a 2,x a 2从而 1 a 2,2 a 2解得 3 a 0因此 a 的取值范畴为 a 3,0 . 考点：已知肯定值不等式解的范畴求参数范畴、同系数肯定值不等式相加减6.5 含肯定值不等式的恒成立问题9. 已知函数f x 2x12x1,a b 都成立,求 x 的取值x 有f x a 成立,求 a的取值范畴；1假设对任意的ba1ab f x 0,对于任意的2假设不等式2 a2范畴；1依据题意 ,a 小于等于f x 的最小值第 9 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4 , x x1 2由f x 2,1x10恒成立,xR224 , x x1 2可得f x min2所以a22当ab0即 ab 时, 2b0f x 1恒成立,当ab0时,由肯定值不等式得性质可得2 aba2ab aab,当且仅当 2ab a0时取 '',2 aabba2aba1ab f x 0,2 aabba1 2f x 21f x 1,f x 221x122考点：含肯定值不等式的恒成立问题、同系数肯定值相加型不等式6.6 含肯定值不等式的能成立问题10. 已知函数fxx1xx3 .x1求 x 的取值范畴 ,使 f为常数函数 . f2假设关于 x 的不等式a0有解,求实数 a 的取值范畴 . 第 10 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x2,x31fxx1x34, 3x1a4 . 2x2,x1就当x3,1时, fx为常数函数 . 2方法一 :如图,结合1知函数 fx 的最小值为 4 , 实数 a 的取值范畴为a4 . 方法二 :x1x3x1x3; x1x34, 等号当且仅当x3,1时成立 . 得函数 fx的最小值为 4 ,就实数 a 的取值范畴为考点：含肯定值不等式的能成立问题6.7 利用肯定值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数x y满意：|xyy|1,| 2xy|1,求证：|y|53618证明：3|y|= | 3 | = |2x12xy| 2xy2xy ,由题设|xy|1,| 2xy|,363|y|11=5. 366|y|5. 18第 11 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：肯定值的三角不等式6.8 数形结合在含参肯定值不等式中的应用12. 已知函数f x x26x9x 28x16g x 对任意的 xR都成立,求实数1求f x f4的解集；R,假设f x 2设函数k x3, kg x k 的取值范畴1f x x 26 x 9 x 28 x 16 x 3 2 x 4 2| x 3| | x 4 |,f x f 4,即 | x 3| | x 4| 9 , x 4, 4 x 3, x 3, 或 或 3 x x 4 9 3 x x 4 9 x 3 x 4 9,解得不等式：x 5；：无解；：x 4,所以 f x f 4 的解集为 x x 5 或 x 42f x g x 即 f x | x 3| | x 4 | 的图象恒在 g x k x 3 图象的上方,2 x 1, x 4,可以作出 f x | x 3| | x 4 | 7, 4 x 3, 的图象,2 x 1, x 3而 g x k x 3 图象为恒过定点 P 3, 0,且斜率 k 变化的一条直线,作出函数 y f x , y g x 图象,其中kPB2,A 4,7,kPA1,g x 图象的上方,由图可知,要使得f x 的图象恒在第 12 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 实数 k 的取值范畴应当为1k2考点：同系数肯定值不等式相加型、7.证明不等式的基本方法7.1 比较法证明不等式数形结合在含参肯定值不等式中的应用13. 设不等式 | 2x1|1的解集是 M ,a bM ,a2b2,2,求证：h2.max2 a1试比较ab1 与 ab 的大小；2设max 表示数集 A的最大数habb答案： 1ab1ab 2见解析解析： 1先解出Mx|0x1 .ab1aba1b10. 问题得证 . 第 13 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2hmax2,a22 b,2,aabb可知h2,ha2b2,h2 b, h38. aab所以依据不等式的性质,同向正向不等式具有可乘性,从而可证出故h2. 考点：比较法证明不等式7.2 综合法证明不等式7.3 分析法证明不等式14. 已知f x x1x1,不等式f x 4的解集为 M .1求 M ；2当a bM 时,证明: 2ab4ab . 16,1解不等式：x1x14；x14或1x1或x2x12 x2448ab1x2或1x1或2x1,2x2M2,2. 2需证明：4a22abb22 a b2只需证明2 a b24a24 b2160,第 14 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即需证明a24b240a ba 2, 22a24,b24a240,b24024b40,所以原不等式成立 . 考点：分析法证明不等式7.4 反证法证明不等式15. 设a0,b0.且ab11 . b证明：2,即ab2；a1ab2；2a2a2与b2b2不行能同时成立 . 由ab11 = a b ab,ba0,b0.得ab1a1由基本不等式及ab1,有ab2ab2假设a2a2与2 bb2同时成立,就由a2a2及a0得 0a1,同理 0b1,从而ab1,这与ab1冲突,故a2a2与b2b2不行能同时成立 . 考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用第 15 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8.5 放缩法证明不等式多为数列的题16.已知数列an的前 n项和S 满意S n2a nn 1T nn01求数列a n的通项公式；T ,证明：a n2设b n,记数列b n的前 n和为a n132【答案】1a n2 n1；2详见解析 .【解析】试题分析：1考虑到 a n 1 S n 1 S n,因此可以利用条件中的式子得到数列 a n 的一个递推公式,从而n即可求解；2由 1可知 b n a n 2n 1 1,b n 1n 12,从而可证 T n n 0,进一步a n 1 2 1 2 2 2 2放缩可得 n 12 n 1n 1n,求和即可得证 .2 2 2 2 3 2 3 2试题解析：1S n 2 a n n ,当 n 1 时,S 1 a 1 2 a 1 1 a 1 1,又S n 1 2 a n 1 n 1,与 S n 2 a n n 两边分别相减得 a n 1 2 a n 1 2 a n 1,得 a n 1 1 2 a n 1,又a 1 1 2,数列 a n 1 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,a n 1 2 n,得 a n 2 n1；nb n a n 2n 1 1,b n 1n 12,T n n3 14 1n 12 0, 得a n 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2T n n 0,又n 12 n 1n 1n,T n n 1 1 12 1n2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 21 1n 1,1 T n n 0 .3 3 2 3 3 2第 16 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9.柯西不等式9.1 柯西不等式的代数形式17. 已知关于 x 的不等式 xab的解集为 x| 2x24t24t1求实数a b 的值；2求at12bt 的最大值 . 1由 xab,得baxba就bbaa42,解得a3,b1.23 t12t3 4tt322 1 2 4tt4当且仅当43tt 即 1t1时等号成立,故3t12tmin4. 考点：柯西不等式的代数形式9.2 一般形式的柯西不等式18. 已知函数f m|x2|,mR 且f x20的解集为1,1 ,第 17 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1求 m的值; 2 假设a b cR 且1 a11m ,求证a2 b3 c9.2b3 c1f x2mx0,xm1,1m0,mxm ,f x20的解集是故m1 . 111, , , a b cR,2 由 1知1 a2 b3 c由柯西不等式得a2 b3cab2 b13 111c19.a2 b3 ca12b3 c2a23考点：一般的柯西不等式第 18 页 共 18 页名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 18 页