2022年高中数学必修《基本不等式》教学设计 .pdf

课题：基本不等式：第一课时（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书（人教社A 版）数学必修 5 第三章 3.4 节一、教学分析：教学目标：知识与技能：推导并准确表达基本不等式；理解基本不等式成立的条件和几何解释；能正确运用基本不等式求解简单的最值问题。过程与方法：通过对实例的分析和提炼，培养学生观察、分析和解决问题的能力；引导学生从数和形两方面深入理解基本不等式，渗透数形结合的数学思想；通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达和逻辑思维能力。情 感 态 度 与价值观：发挥学生的主体作用，激发学生学习数学的兴趣；让学生体验数学思维活动的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；利用基本不等式解决实际生活中的问题，发展学生的数学应用意识。教学重点：从不同角度探索基本不等式的证明过程；基本不等式的简单应用。教学难点：运用基本不等式解最值问题；领会运用基本不等式求最值问题的三个要点：一正，二定，三相等。2abab名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学对象：在前面的学习中，学生已经能够运用不等式的性质证明一些简单的不等式，已经具备了一定的数学建模能力，能够解决一些简单的应用题。教学方法：情景引入，类比启发，实例探究，讲练结合，方法点拨。教学手段：借助多媒体平台，运用几何画板、PowerPoint课件、实物投影整合教学内容，提高课堂效率，同时营造生动活泼的课堂教学氛围；将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学知识的理解和掌握，使学生在学习中体会到成功的喜悦。授课类型：新授课。二 、教 学 基本流程：三、教学过程设计：【环节一：创设情景，体会感知】赵爽：弦图创设情景，体会感知总结提炼，归纳新知布置作业，课堂延伸类比推导，建构新知联系生活，解决问题深入探究，开阔视野名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 情景引入：勾股定理是 “人类最伟大的十个科学发现之一”，它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达500 多种了。通过向学生介绍中国古代数学家赵爽证明勾股定理的方法，引导学生发现赵爽弦图中存在的不等关系，从几何角度直观地引出不等式2220,0abab ab，从而引出本节课的内容。【环节二：类比推导，建构新知】1.重要不等式：222,abab a bR，当且仅当ab时，等号成立。分析：（1）代数证明：222222200,abababababa bR，当且仅当ab时，等号成立；（2）代换变形 : 当0,0ab时，通过,ab代替,a b得到基本不等式。2.基本不等式：0,02ababab，当且仅当ab时，等号成立。分析：（1）类比证明：引导学生类比重要不等式的证明方法完成课本基本不等式的推导过程；（2）特征剖析：几何平均数不大于算术平均数；（3）几何解释：直角三角形斜边上的高不大于斜边的中线长；（4）思维拓展：课后探究基本不等式的其他几何解释（课本P98 探究）。设计意图：依据认知的规律，创设有趣的情景，激发学生的学习兴趣，感知知识的发现与推导过程，体验数学思维的严谨和数形结合的魅力，培养学生的民族自豪感。设计意图：引导学生分别从数和形两方面深入探究不等式的证明，渗透数形结合的数学思想，通过课后探究激发学生的学习热情，加深对所学知识的理解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【环节三：深入探究，开阔视野】学生探究活动：暑假是电脑销售的旺季，商家会开展一系列的促销活动吸引顾客，现有两种不同的打折方式：方式一：甲商家采取的促销方式是在原价打a折的基础上再打b折；方式二：乙商家的促销方式是在原价打2ab折的基础上再打2ab折；其中甲、乙商家的商品原价相同，,0,10a b。请问：（）如果你是顾客，你认为在哪个商家购买更合算？为什么？（）如果你是商家，你会使用哪种打折方式？为什么？分析：（1）组织学生分组分角色讨论；（2）在学生讨论过程中适当引导学生利用具体数据猜想结果；（3）设商品原价为1，则方式一的商品价格：1100ab方式二的商品价格：211002ab由基本不等式0,02ababab可得：22abab【环节四：联系生活，解决问题】设计意图：通过创设师生、生生互动的活动过程，营造活泼的课堂氛围，在探究讨论中激发学生的学习情趣，增强对所学知识的理解，提升应用意识。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1.例题讲解：例 1： （）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（）用一段长为36米的篱笆围一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大。最大面积是多少？分析：（ 1） 设矩形的长为x米，宽为y米，则题（ ）的本质是已知0 x、0y，且100 xy，求当, x y为何值时，2()xy最小。由2xyxy易得。结论 1：若两正数的积为定值P，则它们和的最小值是2P。（ 2） 设矩形的长为x米，宽为y米，则题（ ）的本质是已知0 x、0y，且18xy，求当,x y为何值时，xy最大。由2xyxy易得。结论 2： （引导学生类比结论）若两正数的和为定值S，则它们积的最大值是。（3）归纳运用基本不等式解最值问题的要点：一正、二定、三相等。2.模仿练习：练习 1： （课本P100 练习 2）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？解 ： 设 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 分 别 为,x y， 则0 x、0y， 且1502xy即100 xy所以两直角边的和2xyxy，即20 xy，当且仅当10 xy时，等号成立所以两条直角边都为10时，两条直角边的和最小，最小值是2022S名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 练习 2： （变式） 已知直角三角形的两条直角边之和等于20，两条直角边各为多少时，直角三角形的面积最大，最大值是多少？解： 设直角三角形的两条直角边分别为,x y，则0 x、0y，且20 xy所以直角三角形的面积211222xyxy，即1502xy，当且仅当10 xy时，等号成立所以两条直角边都为10时，直角三角形的面积最大，最大值是50.引申思考：已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，周长最小，最小值是多少？【环节五：总结提炼，归纳新知】 基本不等式的内容，证明方法，几何解释； 运用基本不等式解简单的最值问题； 渗透数形结合的数学思想。【环节六：布置作业，课堂延伸】1.基础训练：（1）做一个体积为332cm，高为2cm的长方体纸盒，底面的长与宽各取什么值时，用纸最少？设计意图：通过利用基本不等式解决实际生活中的最值问题，使学生感受到生活中处处有数学，进一步体验数学在解决实际问题中的作用，发展学生的应用意识。设计意图：通过归纳本节课的学习内容，使知识脉络更加清晰，学生更容易理解、记忆。强调运用基本不等式解最值问题的三个要点：一正，二定，三相等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - （2）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2.巩固提高：（1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？（2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？3. 课外探究：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为A。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么A并非实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为B。有人把两次称得的物体质量“平均一下 ”，用2AB表示物体的质量。这样的做法，你认为合理吗？四、板书设计：设计意图：通过安排不同难度的作业，以满足不同层次的学生的需求。课外探究延伸了数学课堂，扩大学生的知识容量，提高学生解决问题的能力，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，培养学生勇于探索、锲而不舍的精神和创新意识，通过问题的自我解决来激发学生学习数学的兴趣和增强学生的自信心。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3.4 基本不等式2abab一、重要不等式：222( ,)abab a bR当且仅当ab时等号成立 . 二、基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当ab时等号成立 . 三、基本不等式的应用：1、比较大小2、最值问题要点：一正、二定、三相等（推理证明演示板块）例 1：（）（）本质：（ ）若两正数的积为定值P，则它们和的最小值是2P。（）若两正数的和为定值S，则它们积的最大值是22S。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -