山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题(教师版).docx

山东省烟台市 2020 届高三上学期期末考试数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. B = x | y = xA = x | x2 - x - 2 £ 0，则 A B=1.已知集合，（）x | -1£ x £ 2x | 0 £ x £ 2x | x ³ -1 x | x ³ 0A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 A = x | -1£ x £ 2 B = x | x ³ 0分别对集合 、 中元素性质进行整理,可得A,进而根据并集的定义求B解即可【详解】由题,因为 x - x - 2 £ 0 ,则( )( )x -2 x +1 £ 0x ,即 ；-1£ £ 2 A = x | -1£ x £ 2,解得2³³ 0=因为 x,则B x | x 0,AÈ B =x | x ³ -1所以故选：C【点睛】本题考查集合的并集运算,考查解一元二次不等式,考查具体函数的定义域"x Î R, x - x +1 > 02.命题“”的否定是（ ）2"x Î R, x - x +1£ 0"x Î R, x - x +1< 0A.C.B.D.22$x Î R, x - x +1£ 0$x Î R, x - x +1< 022000000【答案】C【解析】$x Î R, x - x +1£ 0全称命题的否定“”，故选 C.20x2 y (a2)的离心率为25-=1 a > 0,b > 03.若双曲线，则其渐近线方程为（）b222x ± 3y = 03x± 2y = 0x ± 2y = 02x 3y 0± =D.A.B.C. 【答案】C【解析】【分析】b,求出 ,进而求得渐近线方程即可cb2a25由离心率e = = 1+=aa2cb2a25b 1,解得 =a 2【详解】由题,离心率e= = 1+=,a21= ± x±=2y 0因为焦点在 x 轴上,则渐近线方程为 y故选：C,即 x2【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,考查离心率的应用æ 1 ö-0.5a = log 30.5=，b 0.5 ，c=，则 a,b,c 的大小关系为（4.设）3ç ÷è 3øa < b < c< a < cC. b< <D. b c aA.B. < <a c b【答案】A【解析】【分析】y = log x y = 0.5 y = 3上的点的纵坐标,利用函数单调性与特殊值0,1比较,xx由题, a,b,c 分别为函数,0.5进而比较a,b,c 的大小关系y = log x0.5a = log 3 < log 1 = 0；【详解】由题,因为单调递减,则0.50.5= 0.5< =3<=0因为 y单调递减,则0 b 0.5 0.5 1；xæ 1 ö-0.5ç ÷è 3ø= 3=> =30.5 3 1,因为 y所以 a单调递增,则cx0< 0 < b <1< c,故选：A【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小,掌握指数函数,对数函数的性质是解题关键5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（） A. 216B. 480C. 504D. 624【答案】C【解析】【分析】针对课程“御”“乐”的特殊性,分别讨论课程“御”排在第一周与不排在第一周的情况,进而求得排法=120【详解】当课程“御”排在第一周时,则共有 A5种；5´C ´ A = 384当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有C1种；14444则120+384 = 504,故选：C【点睛】本题考查元素有限制的排列问题,考查分类讨论思想6.函数 y = x +sin x 的部分图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】pæöxÎ 0,利用奇偶性可排除 A、B,再利用函数的二阶导数的范围来判断ç÷ 的图象的性质.è 2 ø( )( )( )x sin x x sin x- = -【详解】由题,xÎR,设= +f x x sin x,则- = - +,故函数不具有奇偶性,f x可排除 、 ；ABp( )= x +sin xf x( )( )æöp¢ = +f x 1 cosx 0>¢¢ = - <sin x 0xÎ 0,即在> x > 0f x当时,所以,则ç÷è 2 ø2( )f x时,图像向上凸.故选 D【点睛】本题考查函数图象,考查函数奇偶性的应用,考查利用导数判断函数图象.f x( )= 3sin x + 4cos x7.若 x = a时，函数取得最小值，则sina （）= 35354545-D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】p( ) ( )f x = 5sin x +j435( )p+ = - +2k k ÎZjja j化简函数可得,且sin= ,cos =,可知时取得最小52j值,进而利用 的三角函数值求解sin a 即可( ) ( )f x = 5sin x +j435jj= ,cos =【详解】由题,则,sin,5pp( )f x时, 取得最小值,( )( )a jpa = - -j + p Î+ = - + 2k k ÎZ2k k Z当,即22pæö3ajpjsin = sin - - + 2k = -cos = -则ç÷,è 2ø5故选：B【点睛】本题考查根据正弦型函数的最值求参,考查三角函数对称轴的应用,考查运算能力ì2log x, x ³1,( )( )f x = í ( 2 )f x = -2x + mm有且只有两个不相等的实数根，则实数 的取值8.函数，若方程f x +1 , x <1,î范围是 （）( )-¥,4(-¥,4( )-2,4( -2,4D.A.B.C.【答案】A【解析】【分析】( )( ) ( )g x = -2x + mf x g x m与 的图象,根据只有两个交点找到 的范围令,分别画出( )( ) ( )f x g x与 的图象,g x = -2x + m【详解】令,画出 ( )1,2=时只有一个交点,此时m 4 ,向右平移,不再符合条件,故< 4平移直线,当直线经过故选：Am【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想二、多项选择题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服» 4.762务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算 K 的观测值k，则可以推断出（）2满意30男女201040( )0.1002.7060.0503.8410.0106.635k35A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【答案】AC 【解析】【分析】根据表格中的数据可求得男、女生对食堂服务满意的概率的估计值,根据k» 4.762 >3.841,可判断 C、D 选项303【详解】对于选项 A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为= ,故 A 正确；3 0+20 5404 3= >40 +10 5 5对于选项 B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为,故 B 错误；» 4.762 > 3.841,所以有95%因为 k故选：AC【点睛】本题考查 K 的应用,考查由统计数据求概率的估计值的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故 C 正确,D 错误2pppæö( ) ( )jjf x = sin 3x +- < <=10.已知函数ç÷ 的图象关于直线x对称，则（）è 22 ø4æp öf x +A. 函数 ç÷ 为奇函数è 12 øp p( ) éùúf x,B. 函数在上单调递增êë12 3 û( ) ( )pf x - f x = 2x- xC. 若，则的最小值为12123p的图象向右平移 个单位长度得到函数( )f xy = -cos3x的图象D. 函数4【答案】AC【解析】【分析】pæp öp( )f x sin 3xj=-x+= -先根据对称轴可得,即ç÷,将代入判断函数奇偶性进而判断选项 A；先求è4 ø412p p( )f xéùú,出的单调增区间,再判断是否为其子集来判断 B；将问题转化为符合条件的区间至少包含一êë12 3 û个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断 C；根据图像变换规则判断 D 即可pppæö( ) ( )j- < <j=+【详解】因为直线 x是f x sin 3xç÷ 的对称轴,è 22ø4 ppp( )( )pjpjæ´ + = + k k ÎZ= - + k k ÎZ所以3,则,424pp ö( )k = 0时,j= -f x = sin 3x - ÷,当,则çè4 ø4pp pöp öæöé æùú( )-3x = -sin3xæf x += sin 3 x +-= sin3 x ,因为sinf x+对于选项 A, ç÷ç÷,所以 ç÷ 为奇êè 12 øë è 12 ø 4 ûè 12 ø函数,故 A 正确；pp pp( )2k142k ( )p p+ k ÎZppp- + 2k < 3x - < + 2k k ÎZ- +< x <=,当k 0对于选项 B,即24 212 33p p( ) éùúf x- ,时,在当单调递增,故 B 错误；êë 12 4 ûpp( ) ( )2 1´ =3 2 3f x - f x = 2x- x对于选项 C,若,则最小为半个周期,即,故 C 正确；1212p pöpé æùú( )f x( )p= sin 3x - = -sin 3x,故sin 3 xë è-÷对于选项 D,函数的图象向右平移 个单位长度,即 ê ç44 ø 4 ûD 错误故选：AC【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键ABCD - A B C DB C111.如图，在正方体中，点 在线段P上运动，则 （）1111A. 直线 平面 AC D1 1BD1P - AC DB. 三棱锥的体积为定值11 45°,90°A D1C. 异面直线与所成角的取值范围是AP6C P1D. 直线与平面 AC D所成角的正弦值的最大值为113【答案】ABD 【解析】【分析】P - AC D利用线面垂直的性质判定可判定选项 A,对三棱锥转化顶点可判定选项 B,找到异面成角的最小值11的情况即可判断选项 C,转化直线C P与平面 AC D所成角的正弦值的最大值为直线1C P1BD与直线所成角111的余弦值最大,进而判断选项 DB D1AC B DBB 平面 A B C D ,则BB AC【详解】对于选项 A,连接,由正方体可得,且,所以1111111111111AC BD B1AC BDADA D BD,易证得 ,则平面,故；同理,连接平面 AC D,故 A 正确；1 1BD11111111111= V= A D× AB对于选项 B,V,因为点 在线段PB C1上运动,所以S,面积为定值,且 到CP-A C DC -A PD2A DP1111111A PD1CA B CD1 1平面的距离即为 到平面 的距离,也为定值,故体积为定值,故 B 正确；1160°所成角取得最小值为B C1A D1对于选项 C,当点 与线段P的端点重合时,与AP,故 C 错误；C P1C P1对于选项 D,因为直线与平面 AC D所成角的正弦值最大,则直线1与BD 平面 AC D,所以若直线1 111BDB C1ÐC BDRt D C B,设棱长为 1,在直线所成角的余弦值最大,则 运动到P中点处,即所成角为11111C B1BD236中,cosÐC BD =,故 D 正确3111故选：ABD【点睛】本题考查线面垂直的判定,考查异面成角,线面成角,考查棱锥体积,考查转化思想和空间想象能力( ) ( )C : y = 4x 的焦点为 F 、准线为l ，过点 F 的直线与抛物线交于两点P x , y，Q x , y12.已知抛物线，21122点 在l 上的射影为 P ，则 （）P1x + x = 6PQ=8A. 若，则12B. 以 PQ 为直径的圆与准线l 相切( )M 0,1PM+ PP ³ 2C. 设，则1( )M 0,1D. 过点与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条C【答案】ABC【解析】 【分析】利用抛物线的定义和几何性质依次判断选项即可= 2+ + =x x 2 PQPQ =8,则 ,故 A 正确；【详解】对于选项 A,因为 p,所以12对于选项 B,设 N 为 PQ 中点,设点 N 在l 上的射影为 N ,点Q 在l 上的射影为 ,则由梯形性质可得Q11PP + QQ PF + QF PQNN =1=,故 B 正确；12221( )F 1,0,所以PM+ PP = PM + PF ³ MF =2 ,故 C 正确；对于选项 C,因为1= 0 = +的直线为y kx 1,对于选项 D,显然直线 x,y 1与抛物线只有一个公共点,设过Mìy = kx +1( )k x + 2k -4 x +1= 0 D = 0,则k =联立 í,可得 2 2,令1,所以直线 y = x +1与抛物线也只有一个y = 4xî 2公共点,此时有三条直线符合题意,故 D 错误；故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的几何性质的应用,考查直线与抛物线的的交点个数问题,考查抛物线的定义的应用,考查数形结合思想和运算能力第卷（共 90 分）三、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）=113. 已知向量a, 满足| a | ，| b |= 2 a (a + b)，则a与 夹角的大小是_bb3p【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得 × = - 2，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.a bar r r2 (a + b)× + =【详解】由a得， a (a b) 0 ，即 + × = ，a a b 0据此可得：a ×b = a × b ×cos a,b = -a2，12cos a,b = -= -，1´ 223pp又 与 的夹角的取值范围为0, ，故 与 的夹角为.a ba b4 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.( )X N 1,s 2，()( )P X ³ 3 =，则 _P -1< X <1 = 0.414.已知随机变量【答案】0.1【解析】【分析】( )x=1对称,根据曲线的对称性得到结果N 1,s随机变量 X 服从正态分布,得到曲线关于2( )N 1,s【详解】因为随机变量 X 服从正态分布,2所以曲线关于 x=1对称,()P -1< X <1 = 0.4因为所以,( ) (P X ³ 3 = P X £ -1 = 0.5- P -1< X <1 = 0.1)()故答案为：0.1【点睛】本题考查正态分布曲线的特点,考查正态分布下的概率= e + x上任一点，则点 到直线x - y -1 = 0的最小距离为_P15.设点 是曲线 yPx2【答案】2【解析】【分析】= e + xx - y -1 = 0过点 作曲线 yP的切线,当切线与直线平行时点 到该直线距离最小,Px2进而求解即可( )= e + xy¢ = e + 2xP x , y=+,则k e 2x ,【详解】由题,过点 作曲线 yP的切线,则,设点x2xx0000x - y -1 = 0平行时点 到该直线距离最小,则e+ 2x =1,即x 0=,0当切线与直线Px000-1-1( )0,1x - y -1 = 0的最小距离为= 2,所以点 为P,则点 到直线P2故答案为：2【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查点到直线距离的最值问题,考查转化思想 16.已知三棱锥 P- ABC=的四个顶点都在球O的表面上，PA 平面 ABC，PA 6，=，AC 2，AB = 2 3BC = 4，则：（1）球O的表面积为_；（2）若 D 是面积的最小值是_的中点，过点 D 作球O的截面，则截面BC【答案】【解析】【分析】(1). 52p(2). 4p- ABC（1）根据垂直关系,可将三棱锥 P线为外接球直径,进而求解即可；可放入以AP, AC, AB为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角（2）易得 D 为底面 ABC的外接圆圆心,当 DO 截面时,截面面积最小,即截面为平面 ABC,求解即可. AB-AP, AC, AB【详解】（1）由题,根据勾股定理可得 AC,则可将三棱锥P ABC 可放入以为长方体( )2的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即2r = 2 + 6 + 2 32=2 13 ,则r =13 ,所以球2( )p的表面积为4 rp2p= 4 ´ 13 = 52；2（2）由题,因为 Rt ABC,所以 D 为底面 ABC的外接圆圆心,当 DO 截面时,截面面积最小,即截面为平面 ABC,则外接圆半径为 ,故截面面积为´2 = 42p2p故答案为：（1） p ；（2） p524【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查球的表面积,考查转化思想,考查空间想象能力.四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.pB+ C17.在条件(a +b)(sin A-sin B) = (c -b)sin C任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.=， asin B bcos(A+) ，bsin=asin B 中62DABC中，角 A, B,C+ =a,b,c ，b c 6在求的对边分别为， a 2 6 ，=.DABC的面积.【答案】见解析【解析】【分析】若选：利用正弦定理可得(a+ b)(a - b) = (c- b)c,即b c a bc ,再利用余弦定理求得2+ - =cos A,进而22求得bc ,从而求得面积； pp= sin Bcos(A+ )63A =若选：利用正弦定理可得sin Asin B,化简可得tan A =,即,利用余弦定理63求得 ,从而求得面积；bcpB + C= sin Asin BA =若选：根据正弦定理得sin Bsin,整理可得,进而求得面积23【详解】解：若选：由正弦定理得(a+ b)(a - b) = (c- b)c，即b + c - a = bc ，222b + c - abc 1= =2bc 2222=所以cos A，2bcpAÎ(0,p )=因为，所以A.3= b + c - bc = (b + c) - 3bc又 a2，222a = 2 6 ，b + c = 6，所以bc= 4，11p= bcsin A = ´4´sin = 3所以 S.DABC223若选：p= sin Bcos(A+ )由正弦定理得sin Asin B6p< B <p，所以sin B ¹ 0=+，sin A cos(A) ，因为0631=cos A- sin A化简得sin A，22p3< A <p=，因为0A=.即 tan A，所以，63p= b + c - 2bccos又因为 a2226(b + c) - a 6 - (2 6)2222=所以bc所以 S，即bc = 24 -12 3 ，2 + 32 + 3111= bcsin A = ´(24 -12 3) ´ = 6 -3 3.DABC222若选：B + C= sin Asin B由正弦定理得sin Bsin，2 < B <p ，所以sin B ¹ 0B + C因为0，= sin A+ = p-所以sin，又因为 B CA，0 ，2AAA= 2sin cos所以cos，222A pA< A << <¹因为0p ，0，所以cos2 22A 1 A psin =2 2 2 6p=，所以 A.3= b + c - bc = (b + c) - 3bc又 a2，222a = 2 6 ，b + c = 6，所以bc= 4，11p= bcsin A = ´4´sin = 3所以 S.DABC223【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理处理三角形中的边角关系,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力( )( ) an2S = n +1 a nÎ Na = 2118.已知数列（1）求数列的前 项和 S 满足* ，且.nnnn a的通项公式；n( ) bb = a -1 2n的前 项和T .（2）设a ，求数列nnnnn20 (6n -5)4n+1a = 2n=+【答案】（1）（2）Tn99n【解析】【分析】, 2S = (n + 2)aa（1）由题可得,两式作差,进而求得的通项公式；n+1n+1n= (2n -1)4n,利用错位相减法求得前 项和T 即可（2）由（1）bnnn2S = (n +1 )a Î【详解】解：（1）因为, n N ,*nn2S = (n + 2)aÎ, n N ,*所以n+1n+12a = (n + 2)a - (n +1)a两式相减得n+1n+1nna = (n +1)a整理得,n+1n ìa ü*,所以 n 为常数列,í ýaa=, nÎN即n+1nn +1 nî n þa a= = 2所以所以,nn 11a = 2nn= (a -1)2 =(2n -1)4（2）由（1）,b,annnn=1´ 4 +3´ 4 +5´ 4 + +(2n -1)4所以 T123nn4T =1´ 4 +3´ 4 +(2n - 3)4 + (2n -1)423nn+1n两式相减得：-3T = 4+2 ´(4 +4 +4 ) - (2n -1)4，23nn+1n4 - 42n+1-3T = 4+2´- (2n -1)4n+1，1- 4n20 (6n -5)4n+1= +化简得T99nS a【点睛】本题考查由 与 的关系求通项公式,考查错位相减法求前n 项和,考查运算能力nn CDSCD 平面 ABCD，19.如图，在四棱锥 -S ABCD中，ABCD为直角梯形，AD / /BC ，BC，平面DSCD是以CD=为斜边的等腰直角三角形，BC 2AD 2CD 4 ， 为 BS 上一点，且 BE 2ES .=E（1）证明：直线SD / / 平面；ACE（2）求二面角S- AC- E的余弦值.1【答案】（1）证明见解析 （2）3【解析】【分析】（1）连接交 AC 于点 F ,连接 EF ,利用相似证得 EF / /SD,进而得证；BD y（2）以C 为坐标原点,CD,CB 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向,与CD,CB 均垂直的方向作为 x 轴z的正方向,利用平面法向量求解二面角余弦值即可【详解】解：（1）连接交 AC 于点 F ,连接 EF ,BDDBCF因为所以AD / /BC ,所以 DAFD与相似,BF BC=FD AD= 2,BE BF=ES FD=2又,所以 EF / /SD,Ì因 EF 平面ACE,Ë 平面 ACE,SD所以直线 SD / / 平面ACEABCD = CD BC ÌBC CD平面 ABCD, ,（2）由题,因为平面 SCD 平面 ABCD,平面 SCD平面,所以 平面 SCD,BCy以C 为坐标原点,CD,CB 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向,与CD,CB 均垂直的方向作为 x 轴的正方z向,建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz,= 2AD = 2CD = 4 BE = 2ES,因为 BC,2 2 4S(1,1,0) A(0,2,2) E( , , ),则C(0,0,0) ,3 3 32 2 4= ( , , )3 3 3= (0,2,2) CS = (1,1,0) CE所以CA,设平面的一个法向量为m= (x, y, z),则SACì × =m CA 0y z 0+ =ìí,即 í,×CS = 0îx + y = 0îm=1 = -=1 x,得, y1= -,于是m (1, 1,1),令 z 设平面的一个法向量为n = (x, y, z) ,则EACìíîìy + z = 0n ×CA = 0n ×CE = 0,即 íx + y + 2z = 0,î= -1 = -=1 x,得, y1= - -,于是m ( 1, 1,1),令 zm×n13- AC- E=设二面角 S所以二面角 S的平面角的大小为q ,则cosq,m n1- AC- E的余弦值为3【点睛】本题考查线面平行的证明,考查利用空间向量求二面角余弦值,考查运算能力x2 y (a b2)32+ =1 a > b > 0=，F 是其右焦点，直线y kx 与椭圆交于 ， 两点，AB20.已知椭圆的离心率为22AF + BF = 8.（1）求椭圆的标准方程；( )Q 3,0 ，若AQB（2）设为锐角，求实数 的取值范围.kx y223535+ = 116 4k >< -或 k【答案】（1）（2）1010【解析】【分析】3 c=2 a（1）根据椭圆对称性可得a= 4,利用离心率可得e=,则c = 2 3 ,进而求得标准方程；ìxy22ï + =1-16x + x = 0 x x=,由AQB（2）联立í16 4,可得,×>为锐角可得QA QB 0 ,整理可得+11 2 4kï122y = kxî16(1+ k )29 -> 0 ,求解即可4k +12AF = FB,【详解】解：（1）设 F 为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,F B111AF + BF = BF + BF = 2a = 8,所以a = 4,所以1 3 c=2 a= 2,= +=又e, a b c ,解得c 2 3 ,b222x y22+ = 1所以椭圆的标准方程为16 4= (x -3,y ) QB = (x -3,y ),A(x , y ), B(x , y ) QA,则（2）设点,11221122ìxy22ï + =1联立 í16 4+1)x -16 = 0,得(4k,22ïy = kxî-16x + x = 0 x x=所以,