2022年高中数学解析几何知识点大总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学解析几何学问点大总结第一部分 :直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 1定义：直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角；2范畴：0 1802.斜率：直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 .k t an（1）.倾斜角为 90 的直线没有斜率；（2）.每一条直线都有唯独的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于 x 轴时,其斜率不存在 ,这就打算了我们在讨论直线的有关问题时,应考虑到 斜率的存在与不存在 这两种情形,否就会产生漏解；（3）设经过A x 1y 1和B x 2y 2两点的直线的斜率为k ,o 90 ；斜率不存在；就当x 1x2时,ktany 1y2；当x 1x 2时,x 1x2二、直线的方程1.点斜式：已知直线上一点P（ x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角 ）求直线的方程用点斜式：y-y0=kx-x0 留意：当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x x 0；2.斜截式：如已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为 b ,斜率为 k ,就直线方程：y kx b；特殊地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx留意：正确懂得“截距 ” 这一概念,它具有 方向性,有正负之分,与“ 距离” 有区分；3.两点式：如已知直线经过 x 1y 1 和 x 2y 2 两点,且（x 1 x 2 , y 1 y 2 就直线的方程：y y 1 x x 1；y 2 y 1 x 2 x 1留意：不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式 x 2 x 1 y y 1 y 2 y 1 x x 1 0 时, 方程可以适应在于任何一条直线 ；4 截距式：如已知直线在x 轴, y 轴上的截距分别是a , b （a,0 b0）就直线方程：xy1；ab- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意： 1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线；2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 程可设为 x-y=ax+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方5 一般式： 任何一条直线方程均可写成一般式：AxByC0；（A,B不同时为零） ；反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线；留意：直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不肯定都能化为特殊形式,这要看系数A,B ,C是否为 0 才能确定；|PP o|（单指出此时直线的方向向量：B ,A ,B ,A,ABB2,A2AB22位向量）；直线的法向量：A ,B；（与直线垂直的向量）6选修 4-4参数式xx 0at（ t 参数）其中方向向量为a,b ,yy 0bt；斜率单位向量aab2,a2bb2；kb；|PPo|t|b2；2a2 a点P 1, P 2对应的参数为t 1,t2,就|P 1P 2|t 12t 2|；ab2xx 0tcos（ t 为参数）其中方向向量为cos,sin, t 的几何意义为yy0tsin为 tan；倾斜角为0；三、两条直线的位置关系位置关系l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2或l l1: :A 1 xA 2 xl l1 2: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 02平行k 1l lk2,且b 1b 2A 1B 1C1A1B2-A2B1=0 A 2B 2C2重合k 1k2,且b 1b 2A 1B 1C 1A 2B 2C 2相交k 1k2A 1B 1B 1 yB 2 yA 2B 2垂直k 1 k 21A 1A 2B 1B 201: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2C 1C20 0；当k 1k 2或设两直线的方程分别为：22- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 1B 2A 2B 1时它们相交, 交点坐标为方程组y yk 1k 2x xb 1b 2或A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 0解；留意： 对于平行和重合,即它们的方向向量（法向量）平行；如： A 1 , B 1 A 2 , B 2 对于垂直,即它们的方向向量（法向量）垂直；如 A 1 , B 1 A 2 , B 2 0如两直线的斜率都不存在,就两直线 平行；如一条直线的斜率不存在,另始终线的斜率为 0 ,就两直线垂直；对于A 1A 2B 1 B 20来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立；因此,此公式使用起来更便利斜率相等时,两直线平行 或重合 ；但两直线平行 或重合 时,斜率不肯定相等,由于斜率有可能不存在；四、两直线的交角（1）1l 到 2l 的角：把直线 1l 依逆时针方向旋转到与 2l 重合时所转的角；它是有向角,其范畴是 0；留意： 1l 到 2l 的角与 2l 到 1l 的角是不一样的；旋转的方向是逆时针方向；绕“ 定点”是指两直线的交点；（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l相交所成的四个角的最小角 或不大于直角的角 ,它当有一的取值范畴是02；（3）设两直线方程分别为：l l1: :y yk 1 xk 2 xb 1b 2或l l1: :A 1 xA 2 xB 1 yB 2 yC 1C20 022如为1l 到2l 的角 ,tank 2kk 1或tanA 1B 2A 2B 1；12k 1A 1A 2B 1B 2如为1l 和2l 的夹角 ,就tank2kk1或tanA 1B 2A 2B 1；12k 1A 1A 2B 1B2当1k 1k20或A 1A 2B 1B20时,o 90 ；留意：上述与k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直；条直线斜率不存在时,用数形结合法处理；直线1l 到2l的角与1l 和2l 的夹角：2或2；五、点到直线的距离公式：- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 点P x 0y0到直线l:AxByC0的距离为：d|Ax 0By 02C|；A 2B2. 两平行线l 1:AxByC 10,l2:AxByC20的距离为：d|C 1C 2|；2 AB2六、直线系：（1）设直线l1:A 1xB 1yC 10,l2:A2xC 2B2yC20,经过l1,l2的交点的直线方程为A 1xB 1yC 1A 2xB 2y0（除去2l）；如：ykx1y1kx0,即也就是过y10与x0的交点01, 除去x0的直线方程；直线l:m1 x2 m1 ym5恒过一个定点f 1；fx 20；留意：推广到过曲线f1x ,y 0与f2x ,y0的交点的方程为：x （2）与l:AxByC0平行的直线为AxByC 10；（3）与l:AxByC0垂直的直线为BxAyC 10；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点Aa,b 关于Cc ,d的对称点 2 ca ,2 db 直线关于点的对称：、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再 由两点式求出直线方程；、求出一个对称点,在利用l1/ l2由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等；求出直线方程；如：求与已知直线l 1:2x3y60关于点P1 ,1 对称的直线2l 的方程；（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数；、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐 标公式求解；如：求点A 35, 关于直线l:3x4y40对称的坐标；- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直线关于直线对称： （设a,b关于 l 对称）、如a,b相交,就 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；如a /l,就b /l,且a,b与 l 的距离相等；、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程；、设 P x , y 为所求直线直线上的任意一点,就 P 关于 l 的对称点 P的坐标适合a的方程；如：求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线 b 的方程；八、简洁的线性规划：（1）设点Px 0y0和直线l:AxByC0,C0； 如 点 P 在 直 线 l 的 上 方 , 就 如 点 P 在 直 线 l 上 , 就Ax 0By 0CB Ax 0By 0C0；B Ax 0By 00；如点 P 在直线 l 的下方,就（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式AxByC00,0上方的区域；当B0时,就AxByC0表示直线l:AxByC下方的区域；AxByC0表示直线l:AxByC0下方的区域；0当B0时,就AxByC0表示直线l:AxByC0 或0 来表示二元一次不AxByC0表示直线l:AxByC0上方的区域；留意：通常情形下将原点0 ,0代入直线AxByC中,依据等式表示平面区域；（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题；满意线性约束条件的解x ,y叫做可行解,由全部可行解组成的集合叫做可行域；生产实际中有很多问题都可以归结为线性规划问题；留意：当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAxBy的值越来越大；直线AxBy0向下平移,就zAxBy的值越来越小；- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当B0时,将直线AxBy0向上平移,就zAxBy的值越来越小；直线AxBy0向下平移,就zAxBy的值越来越大；,目标函数O y C4,2 如：在如下列图的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界）zxay取得最小值的最优解有很多个,就a 为；其次部分：圆与方程A1,1 B5,1 2.1 圆的标准方程：xa2yb2r2圆心Ca,b,半径 rx 特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y2r2. 2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：y0b2r21点在圆上d=r ；2点在圆外dr ；3点在圆内dr 2.给定点Mx0y0及圆C:xa2yb 2r2. M 在圆 C 内x 0a 2y0b2r2 M 在圆 C 上（x0a 2 M 在圆 C 外x0a2y0b2r22.3 圆的一般方程：x2y2DxEyF0. D2E24F. 当D2E24F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径r2222当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22B0且AC0且当D2E24F0时,方程无图形（称虚圆）. 注：（ 1 ）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：D2E24AF0. 圆的直径系方程：已知AB是圆的直径r2的位置关系有三Ax1,y1Bx2,y2xx 1xx2yy1yy202.4 直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆xa 2yb种, d 是圆心到直线的距离,dAaA2BbCB20； （3）1dr相离0；2dr相切dr相交0；2.5 两圆的位置关系- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r2,O 1O2d；（1）dr1r2外离4 条公切线；（2）dr1r2r外切3条公切线；（3）r 2相交2 条公切线；（4）2内切1 条公切线r 1r 2dr 1dr 1（5）0dr 1r2内含无公切线；内含外离外切相交内切2.6 圆的切线方程 ：1.直线与圆相切：1圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆x20y2r2的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是yEkxy1k2r过 圆x2y2DxEyF0上 一 点Px0y的切线方程为：x0xy0yDxx0y0F0. 22一般方程如点 x0 ,y0在圆上,就 x ax0 a+y by0 b=R 2. 特殊地,过圆x2y2r2上一点Px0y0的切线方程为x0xy0yr2. 2 Rd2y1y0kx1x0如点 x0 ,y0不在圆上,圆心为a,b就Rby1kax 1,联立求出k切线方程 . R212.7圆的弦长问题： 1.半弦L 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形, 满意勾股定理：2L222.弦长公式（设而不求） ：AB（x 1x 2）2y 1y22x 1x 2（1k2）x 1x 224第三部分 : 椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义： 平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数2 aF 1F 2的点的轨迹叫做椭圆,即点集M=P| |PF1|+|PF 2|=2a ,2a|F 1F2|=2c ；2c；这里两个定点F1,F2 叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距（2 aF 1F 22 c时为线段F1F2,2 aF 1F 22 c无轨迹）；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2标准方程：c2a2b2焦点在 x 轴上：x2y21（ab0）； 焦点 F（± c,0）a2b2焦点在 y 轴上：y2x21（ ab0）； 焦点 F（0, ± c）a2b2留意：在两种标准方程中,总有ab0,a2b2c2并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：x2y21或者mx 2ny21 m,0n0 ,mnmn二椭圆的简洁几何性质： 1.范畴x2y21（ ab0） 横坐标 -a xa , 纵坐标 -b xb （1）椭圆a2b2（2）椭圆y2x21（ab0） 横坐标 -b xb, 纵坐标 -a x a a2b2 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a ,0）,A2（a,0）,B1（0,-b ）,B2（0,b）（2）线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长； 4 离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即c 称为椭圆的离心率,a2a记作 e（0e1）,2 ec21b2a2a; e 越接近于 0 （e 越小）,椭圆就越接近于圆e 越接近于 1 （e 越大）,椭圆越扁；留意：离心率的大小只与椭圆本身的外形有关,与其所处的位置无关；（2）椭圆的其次定义：平面内与一个定点（焦点）和肯定直线（准线）的距离的比为常数 e,- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （0 e1）的点的轨迹为椭圆； （|PF |e）d焦点在 x 轴上：x2y21（ab0）准线方程：xa2a2b2c焦点在 y 轴上：y2x21（ab0）准线方程：ya2a2b2c小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、（共四个量） ,特点三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5椭圆的的内外部（1）点P x 0,y 0在椭圆x2y21ab0的内部x 0 2y 0 21. 22a2b2ab（2）点P x 0,y 0在椭圆x2y21ab0的外部1 . 2 x 02 y 022a2b2ab6. 几何性质（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：acMFac1F 2b2tan2其中（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB2 b2：SMFa（ 3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）F 1MF27 直线与椭圆的位置关系：1 判定方法 : 联立直线方程与椭圆方程消 的符号判定位置关系：联立0有两个交点相交相切有一个交点0相离没有交点0x2y2C10消 y 得：a Ax2b By2y 或 x 得到关于 x 的一元二次方程,依据判别式- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - a22 Ab2B2x22 a2ACxa2C2b2B20x 1x 2a 22 a2AC2x 1x 22 a2C2b2B2y21m0 ,n,0mn 交 于 两 点A 2b 2BaA2b2B2联立x2y2C10消 x 得：a Ax2b By2a22 Ab2B2y22 b2BCyb2C2a2A20y 1y 2a22 b2BC2y 1y 2b22C2a2A2A 2b 2BaA 2b2B22 弦 中 点 问 题 : 斜 率 为k 的 直 线l 与 椭 圆x2m 2n2A x 1,y 1、B x 2,y 2M（x 0, y 0）是 AB的中点,就：k ABn 2x 02 my 03 弦长公式：AB（x 1x 2）2y 1y22x 1x 2（1k2）x 1x 224第四部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）F ,标准方程（焦点在y 轴）F F 2）的点的y2x21 a0,b0x2y21 a0,b0a2b2a2b2第肯定义：平面内与两个定点F 的距离的差的肯定值是常数（小于轨 迹 叫 双 曲 线 ； 这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 , 两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距 ；定义MMF 1MF22a2aF 1F 2e1时,动点Py yxxyyF 2F 1F 2xxPF 1其次定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离的比是常数e ,当的轨迹是双曲线；定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e（e1）叫做双曲线的离心率；- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - Py yPx xPyyF 2范畴F 1F 2F 1x xPxa , yRya , xR对称轴F 20, x 轴 , y 轴；实轴长为2a , 虚轴长为 2b对称中心原点O0,0F 10,c F 1c ,0F c 2 ,0焦点坐标顶点坐标 离心率重要结论准线方程渐近线 方程 共 渐 近 线 的 双 曲 线焦点在实轴上,ca22 b ；焦距：F F 22 c（a,0 ） a ,0 0, a , 0, a ece1 a（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：acMF（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）AB2 b2a（ 3 ） 焦 点 三 角 形 （ 双 曲 线 上 的 任 意 一 点 与 两 焦 点 够 成 的 三 角 形 ）：SMF1F 2b22b2cot2tanxa2ya2cc准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a2cybxxbyaax2y2k（k0）y2x2k（k0）a2b2a2b2系方程- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）判定方法 : 联立直线方程与双曲线方程消判别式0 0 0联立的符号判定位置关系：有两个交点相交相切有一个交点相离没有交点x2y2C10消 y 得：a Ax2b By2y 或 x 得到关于 x 的一元二次方程,依据直 线 和 双2 a2 A2 bB22 x2 a2ACxa2C22 bB20y21 m,0n0 交 于两 点x 1x 2a222 aAC2x 1x 2a2C2b22 BA 2b2Ba 2A 2b2B2曲 线 的 位联立x2y2C10消 x 得：置a Ax2b By22 a2 Ab2B22 y2 2 bBCyb2C2a22 A0y 1y 2a22 b2BC2y 1y 2b2C22 aA2A2b2Ba22 Ab2B24 弦 中 点 问 题 : 斜 率 为k 的 直 线 l 与双 曲线x2m 2n2A x 1,y 1、Bx 2,y 2M（x 0, y0）是 AB的中点,就：kABn2x 02 my 0弦长公式：AB（x 1x 2）2y 1y22x 2（1k2）x 1x 224 x 1补充学问点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半 实轴 长=半虚轴长；2 2（2）其标准方程为 x y C 其中 C 0；（3）离心率 e 2；（4） 渐近线 ：两条渐近线 y=± x 相互垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的 比例中项 ；（6）等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条 渐近线 之间的线段,必被 P 所平分；27）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数 a- 12 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五部分：抛物线学问点总结图象y22px p0 y2y 2px p0 x22py p0 x22py pl 0 l y l y y 定义范畴对称性焦点顶点离心率准线 方程顶点到准线 的距离 焦点到准线 的距离焦半径O F x F O x O F x O x F l 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线；MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称p ,0 2p,0 0,p 20,p 22焦点在对称轴上O0,0e =1 xpxpypyp2222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等；p 2 pAFx 1pAFx 1pAFy 1pAFy 1pA x y 12222焦点弦长ABx 1x 2px 1x 2py 1y 2py 1y 2p- 13 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - -