2022年高中数学选修知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x x 满意条件 p , Bx x满意条件 q ：选修数学 学问点已知 A专题一：常用规律用语如 AB , 就 p 是 q 充分条件；1、命题：可以判定真假的语句叫命题；规律联结词： “ 或” “ 且” “ 非” 这些词就叫做规律如 BA , 就 p 是 q 必要条件；联结词；简洁命题：不含规律联结词的命题; 如 A B,就 p 是 q 充分而不必要条件; 如 B A,就 p 是 q 必要而不充分条件; 复合命题：由简洁命题与规律联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母p , q , r , s , 表示命如 AB ,就 p 是 q 的充要条件；题. 2、四种命题及其相互关系如 AB 且 BA ,就 p 是 q 的既不充分也不必要条件 .四种命题的真假性之间的关系：4、复合命题复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q（ pq）；非 p （p ）. 复合命题的真假判定“p 或 q ” 形式复合命题的真假判定方法：一真必真 ；“p 且 q ” 形式复合命题的真假判定方法：一假必假 ；“ 非 p ” 形式复合命题的真假判定方法：真假相对 . 、两个命题 互为逆否命题 ,它们 有相同的真假性；5、全称量词与存在量词 全称量词与全称命题、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 真假性没有关系3、充分条件、必要条件与充要条件短语“ 全部的”“ 任意一个” 在规律中通常叫做全称量词 ,并用符号“” 表示 . 含有全称量词的命题,叫、一般地,假如已知 p q,那么就说：p是q的充分条件, q 是 p 的必要条件；如 p q ,就 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件做全称命题 . 存在量词与特称命题短语“ 存在一个”“ 至少有一个” 在规律中通常叫做、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命 题的条件 p 与结论 q 之间的关系：、从规律推理关系上看：存在量词 ,并用符号 “” 表示 . 含有存在量词的命题,叫做特称命题 . 全称命题与特称命题的符号表示及否定如 pq ,就 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要条件； 全 称 命 题 p ：x,p x , 它 的 否 定p：如 pq ,但 qp ,就 p 是 q 充分而不必要条件; 如 pq ,但 qp ,就 p 是 q 必要而不充分条件; x0,p x0.全称命题的否定是特称命题如 pq 且 qp ,就 p 是 q 的充要条件；特称命题p ：x 0,p x 0,它的否定p ：如 pq 且 qp ,就 p 是 q的既不充分也不必要条件 .、从集合与集合之间的关系上看：x,p x .特称命题的否定是全称命题.专题二：圆锥曲线与方程1椭圆焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上第 1 页,共 14 页焦点的位置名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图形标准方程x2y21ab0y2x21ab0a2b2a2b2第肯定义到两定点F 1、 的距离之和等于常数2a,即|MF1|MF2|2 a （2a|F F2|）其次定义与肯定点的距离和到肯定直线的距离之比为常数e,即MFe0e1adaxa 且bybybxb且a范畴1a ,0、2a,010, a 、20,a顶点轴长10, b 、20,b1b ,0、2b ,0第 2 页,共 14 页长轴的长2a短轴的长2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称焦点F 1c,0、F 2c ,0F 10,c 、F 20,c焦距F F 1 22 c2 ca22 b离心率ec2 ca2a22 b1b20e1a2 aa2准线方程xa2ya2cc焦半径左焦半径：MF 1aex 0下焦半径：MF 1aey 0M x y 0右焦半径：MF 2aex 0上焦半径：MF 2aey 0焦点三角形面积SMF F 1 22 btan2F MF2通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH2b2a（焦点）弦长公式A x y 1,B x y2,AB1k2x 1x 21k2x 1x 224x x 2焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图形 图形标准方程x2y21a0,b0y2x21a0,b0a2b2a2b2第肯定义到两定点1F、 的距离之差的确定值等于常数2a ,即|MF 1|MF2|2a （02a|F F 2|）其次定义与肯定点的距离和到肯定直线的距离之比为常数e ,即MFee1d范畴xa 或 xa , yRya 或 ya , xR顶点1a ,0、2a ,010, a 、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称焦点F 1c ,0、F 2c ,0F 10,c 、F 20,c焦距F F 1 22 c c22 ab2离心率ec2 ca22 ab21b2 e1a2 aa2准线方程xa2ya2cc渐近线方程ybxyaxabM 在右支左焦：MF1ex 0aM 在上支左焦：MF1ey 0a焦半径右焦：MF2ex 0a右焦：MF2ey 0aM x y0M 在左支左焦：MF1ex 0aM 在下支左焦：MF1ey 0a焦点三角形面积右焦：MF2ex 0a右焦：MF2ey 0aSMF F 1 2b2cot2F MF2通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH2b2a2双曲线3抛物线名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - y22pxy2学习必备px欢迎下载x22pyx22py2标准方程定义p0p0p0p0p与肯定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直线 l 上 顶点0,0离心率e1对称轴x 轴y 轴范畴x0x0y0y0焦点Fp, 0Fp, 0F0,pF0,p2222准线方程xpxpypyp2222焦半径MFx 0pMFx 0pMFy 0pMFy 0M x y 02222通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p焦点弦长ABx 1x 2p公式参数 p 的几参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔何意义关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB为过抛物线y2p2pxp0焦点的弦,A x y 1、B x2,y2,直线 AB 的倾斜角为,就x x2p2,y y 22;AB2 sinp 2;4 以 AB 为直径的圆与准线相切； 焦点 F 对 A、 在准线上射影的张角为2；等分成 n 个小区间,在每个小区间xi1,x i上任取一点|1|1|2 . PFAFB专题三：定积分1、定积分的概念第 4 页,共 14 页i i1,2, ,作和式假如函数f x 在区间 , a b 上连续,用分点ax 0x 1x i1x ixnb将区间 , 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载Lnin1fixin1bnafi,当 n时,上sinaxdx1cosaxca0acosaxdx1sinaxca0述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f x 在a4、定积分的性质区间 , a b 上的定积分 . 记作b a fx dx,即bkfxdxkbfx dx（k 为常数）；aabfx gx dxbfx dxbgx dx；bf x dxlim ninbnafi,这里, a 与 b 分别叫a1aaabf x dxcf x dxbf x dx（其中acb ; 做积分下限与积分上限,区间 , a b 叫做积分区间, 函aac数f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f x dx 叫利用函数的奇偶性求定积分: 如f x 是 a a 上的奇函数 , 就afxdx0; 如f x 是 a a 上的 偶做被积式 . 说明：a函数 , 就afxdx2a f 0xdx. （1）定积分的值是一个常数,可正、 可负、 可为零；a（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割； 近似代替；求和；取极限 . 2、微积分基本定理 牛顿 - 莱布尼兹公式 5、定积分的几何意义定积分b af x dx 表示在区间 , a b 上的曲线假如F f x ,且bf x 在a,b上可积,就yf x 与直线 xa 、xb以及 x 轴所围成的平面【 其 中b af x dxF x F b F a ,图形（曲边梯形）的面积的代数和,即abf x dxS x轴上方S x 轴下方. （在 x 轴上方的面积取的 一 个 原 函 数 , 因 为F x 叫 做f x a正号 , 在 x 轴下方的面积取负号）F x CF f x 】6、求曲边梯形面积的方法与步骤 画出草图 ,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图像；借助图形 确定出被积函数,求出交点坐标,确定积3、常用定积分公式0dxc （ c 为常数）分的上、下限； 1dxxcc0,11写出定积分表达式；x dxx1求出曲边梯形的面积和,即各积分的确定值的和. 7、定积分的简洁应用1定积分在几何中的应用：1dxlnxcxaa几种常见的曲边梯形面积的运算方法: （1） x 型区域：x 由 一 条 曲 线yfx其中fx0）与 直 线cx e dxx exa,xb ab 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面x a dxax积：Sb af x dx（如图（ 1）；aclncsinxdxcoscosxdxsinxc第 5 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载求,图（ 1）由一条曲线yfx其中x0）与直线ya,yb ab 以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积 由 一 条 曲 线yfx其中fx0）与 直 线可由yfx得xh y ,然后利用Sb h aydyxa,xb ab以及 x 轴所围成的曲边梯形的面出（如图（ 5）；积：Sbfx dxbfxdx（如图（ 2）；aa图（ 5）图（ 2）由一条曲线yfx其中x0）与直线ya,yb ab 以及 y轴所围成的曲边梯形的面由一条曲线yf 积,可由yf x先求出xh y,然后利用【当 axc时,f x 0cf x dx0;Sb h aydyb h ay dy求出（如图（ 6）；a当 cxb 时,f x 0bf x dx0.】c与直线xa ,xb ab 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积：Scf x dxbf x dxac图（ 6）cf x dxbf x dx .（如图（ 3）；ac由两条曲线yfx,yg x与直线ya,yb ab 所围成的曲边梯形的面积,可由yfx,yg x先分别求出xh 1 y ,xh2 y,然后利用Sb | ah 1y h 2y|dy求出（如图（ 7）；图（ 3）由两条曲线yf x ,yg x （f x g x 与直线xa,xb ab 所围成的曲边梯形的面积：Sbf x dxbg x dxbf xg xdx（如aaa图（ 4）图（ 7）定积分在物理中的应用：变速直线运动的路程（2） y型区域：图（ 4）作变速直线运动的物体所经过的路程S ,等于其速度函数vv t 0在时间区间,a b 上的定积分,即Sbv t dt . 第 6 页,共 14 页a变力作功名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 物体在变力F x 的作用下做直线运动,学习必备欢迎下载并且物体沿论,这种推理称为演绎推理简言之, 演绎推理是由一般到特殊的推理.着与F x 相同的方向从xa 移动到xb ab ,演绎推理的一般模式“ 三段论” ,包括大前提 - 已知的一般原理；那么变力F x 所作的功WbF x dx . 归纳推理小前提 - 所讨论的特殊情形；a结论 - 据一般原理, 对特殊情形做出的判定专题四：推理与证明用集合的观点来懂得：如集合M 中的全部元素都具有性质 P , S 是 M 的一个子集,那么 S 中全部元素学问结构也都具有性质P. 合情推理类比推理M · a S推理推演绎推理理与直接证明比较法从推理所得的结论来看,合情推理的结论不肯定正证综合法确,有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都明正确的前提下,得到的结论肯定正确. 分析法证明5、直接证明与间接证明1、归纳推理间接证明反证法综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明数学归纳法的结论成立 . 框图表示：把从个别事实中推演出一般性结论的推理 , 称为归纳推理 简称归纳 . 简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理；归纳推理的一般步骤：要点： 顺推证法；由因导果 .分析法：从要证明的结论动身,逐步查找使它成立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止 . 通过观看个别情形发觉某些相同的性质；框图表示：. 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题要点： 逆推证法；执果索因.（猜想）；反证法：一般地,假设原命题不成立,经过正确的证明（视题目要求,可有可无）. 推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明2、类比推理了原命题成立 .的证明方法 . 它是一种间接的证明方法由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的 某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推反证法法证明一个命题的一般步骤：1 （反设）假设命题的结论不成立；理称为类比推理（简称类比）.2 （推理）依据假设进行推理, 直到导出冲突为止；简言之, 类比推理是由特殊到特殊的推理3 （归谬）断言假设不成立；类比推理的一般步骤：4 （结论）确定原命题的结论成立. 找出两类对象之间可以准确表述的相像特点；用一类对象的已知特点去估计另一类对象的特点,从而得出一个猜想；检验猜想；3、合情推理 归纳推理和类比推理都是依据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理 . 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,6、数学归纳法数学归纳法是 证明关于正整数 n 的命题 的一种方法 . 用数学归纳法证明命题的步骤 ; *（1）（归纳奠基） 证明当 n 取第一个值 n n 0 N 时命题成立；*（2）（归纳递推）假设 n k k n 0 , k N 时命题成立,推证当 n k 1 时命题也成立 . 只要完成了这两个步骤,就可以确定命题对从 n 开始的全部正整数 n 都成立 . 用数学归纳法可以证明很多与自然数有关的数学合情推理是指“ 合乎情理” 的推理. 命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几4、演绎推理何中的运算问题等. 从一般性的原理动身,推出某个特殊情形下的结名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 虚数单位 i ；欢迎下载9 设123 i是 1 的立方虚根,就复数的代数形式zabi , a bR ；120,3n1,3n2,3 n31复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 6、复数的几何意义2、复数的分类复平面：用来表示复数的直角坐标系,其中x 轴叫复数zabia bR做复平面的实轴,y轴叫做复平面的虚轴. 实数b0复数zabi一一对应复平面内的点 （ a,b虚数b0纯虚数aa0,bb00复数zabi一一对应平面对量OZ非纯虚数0,专题六：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理3、相关公式abicdiab,且cd 分类加法计数原理： 分类相加 abi0ab0做一件事情,完成它有n类方法,在第一类方法中有zabia2b2m 种不同的方法,在其次类方法中有m 种不同的方法 在第 n 类方法中有m 种不同的方法 . 那么完成 zabi这件事情共有Nm 1m 2m n种不同的方法 . z,z指两复数实部相同,虚部互为相反数 （互为共 分步乘法计数原理： 分步相乘 轭复数） .4、复数运算做一件事情,完成它需要n个步骤,做第一个步骤有复数加减法：abicdiacbdi；m 种不同的方法,做其次个步骤有m 种不同的方法 做第 n 个步骤有m 种不同的方法 . 那么完成这复数的乘法：件事情共有Nm 1m 2m n种不同的方法 . abicdiacbdbcad i ；2、排列与组合排列定义：一般地,从n 个不同的元素中任取复数的除法：abiabicdimmn个元素,依据肯定的次序排成一列,叫做从cdicdicdin 个不同的元素中任取m个元素的一个排列. acbd2bcad iacbdbcad i 2d组合定义：一般地,从n 个不同的元素中任取cd2c2d2c2mmn个元素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分任取 m 个元素的一个组合. 母实数化 ）5、常见的运算规律排列数： 从 n 个不同的元素中任取mmn个元素1zz;2zz2 , a zz2 ;的全部排列的个数,叫做从n 个不同的元素中任取m个元素的排列数,记作m A n. 3z zz2z2a2b2;4zz ;5zzzR6i4n1i i4n21, i4n3i i4n41;组合数： 从 n 个不同的元素中任取mmn个元素的全部组合的个数,叫做从n 个不同的元素中任取m7 1i2i;81ii,1ii,1i2i个元素的组合数,记作m C n. 1i1i2排列数公式：第 8 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备n欢迎下载A n mnn1n2nm1abn0 C an1 C an1 b2 C an2 b2r C an rbrm A nnn！.；C b n n nnN.m二项绽开式的通项公式：A n n.n,规定.01. T r1Cranrbr0rn,rN,nN. 主要用途n组合数公式：是求指定的项 . Cm nnn1n2nm1或项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当m .二项式的两个项的系数都为1 时,系数就是二项式系Cmm .n！.；数. 如nmn在 axb n的绽开式中, 第r1项的二项式系数CmCnm,规定C n 01. 为r C ,第r1项的系数为r C an rr b；而x1n的xnn排列与组合的区分：排列有次序,组合无次序. 绽开式中的系数等于二项式系数；二项式系数肯定为正,而项的系数不肯定为正. 排列与组合的联系：A n mCmA m m,即排列就是先1xn的绽开式：n组合再全排列 . 1xn0 C nn x1 C nxn12 C nxn2Cnx0,Cmm A nnn11nm1n.m.mnnm A mmm2 1m n如令x1,就有排列与组合的两个性质性质11n2n0 C nC12 C nn C n. n排列m A n1m A nm mA n1；组合m C n1CmCm1.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数nn解排列组合问题的方法的和 . 即C0C2C1C32n1nnnn特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法 ：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法 ：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置） . 间接法 （对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉）.相邻问题捆绑法（把相邻的如干个特殊元素“ 捆绑”为一个大元素,然后再与其余“ 一般元素” 全排列,最终再“ 松绑”,将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻 相间 问题插空法 （某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采纳插空法,即先支配好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.有序问题组合法 . 选取问题先选后排法 . 至多至少问题间接法 . 二项式系数的性质：（1）对称性 ：与首末两端“ 等距离” 的两个二项m n m式系数相等,即 C n C n；（2）增减性与最大值：当 r n 1时,二项式系2数 C rn的值逐步增大, 当 r n 1时,C rn的值逐步减小,2且在中间取得最大值；当 n 为偶数时, 中间一项（第 n2n1 项）的二项式系数 C n 2 取得最大值 . 当 n 为奇数时,中间两项（第 n 1 和 n 1 1 项）的二项式系数2 2n 1 n 1C n 2 C n 2 相等并同时取最大值 . 系数最大项的求法相同元素分组可采纳隔板法. 设第 r 项的系数A 最大,由不等式组n,A rA r1分组问题 ：要留意区分是平均分组仍是非平均分组,A rA r平均分成 n 组问题别忘除以n！. 可确定 r . a xa x2.a x13、二项式定理赋值法二项绽开公式：如axbna0名师归纳总结 第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就设f x axb . n有：f 1;学习必备欢迎下载否发生对另一个大事发生的概率没有影响）. 这样的两个大事叫做相互独立大事. a0f0;当 A、B是相互独立大事时,那么大事A B 发生（即 A、B同时发生） 的概率, 等于大事 A、B分别发a0a 1a2.anf1;生的概率的积 . 即P A B P A P B . a0a 1a2a3. 1nan如 A、B 两大事相互独立,就A 与 B 、 A 与 B、 A与 B 也都是相互独立的. a 0a 2a 4a 6.f12f 1;独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n 次试验称为 1.n 次独立重复试验. a 1a 3a 5a 7.f12f独立重复试验的概率公式假如在 1 次试验中某大事发生的概率是p,那么专题七：随机变量及其分布在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率学问结构P nkk C pk 1 pnk k0 , 1 2 , .条件概率： 对任意大事A 和大事 B,在已知大事A发生的条件下大事B 发生的概率, 叫做条件概率 .记作PB|A ,读作 A 发生的条件下B 发生的概率 . 公式：P B AP AB,P A0.P A 2、离散型随机变量1、基本概念随机变量： 假如随机试验的结果可以用一个变量互斥大事：不行能同时发生的两个大事. 来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用假如大事 A、 、C,其中任何两个都是互斥事字母X Y, ,等表示 . 件,就说大事A、 、C彼此互斥 . 当 A、B是互斥大事时, 那么大事 AB 发生（即离散型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可A、B中有一个发生） 的概率, 等于大事 A、B分别发以按肯定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型 随机变量 . 生的概率的和,即PABPAPB 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量 . 离散型随机变量与连续型随机变量的区分与联 系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表 示随机试验的结果；但是离散型随