2022年高数一知识点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 第三章一、极限数列极限 limn x n函数极限 limx f x , lim x f x , lim x f x x lim xf x 0 ,x lim xf x ,0 x lim xf x 0 求极限（主要方法） ：（）lim x 0sinx1,x lim11xe ,lim1 x 0x1e ,xxx（）等价无穷小替换（P76）；当 0时, ,arctansin ,tan ,arcsin 1cos 12 ,ln1 ,e 1 ,2a 1 lna a0,1 0代换时要留意,只有乘积因子才可以代换；（3）洛必达法就（0 , 0, 0,0 , 0 ,1 ,0）,只有0, 0可以直接用罗比达法就；幂指函数求极限：lim v x lim ev x lnu x ；v x l n u x, 如 l i m v x l n u xa, 就或 , 令yu x v x , 两 边 取 对 数 l nylimu x v x a e ；结合变上限函数求极限；二、连续x lim xf x 0 f x 0,介值,推论；左、右连续lim x x 0f f x0,lim x x0f x f x0函数连续函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值,有界,零点（结合证明题）三、导数f'x 0lim x x0f x f x 0lim x 0f x 0x f x 0xx 0xx f x 0左导数f'x 0lim x x 0f x f x 0lim x 0f x 0xx 0x1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 右导数f'x 0lim x x 0f x f x 0lim x 0f x 0x f x0xx 0x微分可导yAx dyAdxy dx既左可导又右可导连续可导可微可导求导数：（）复合函数链式法就 f g x 'yf u ug x dydy duf' u g' dxdu dxyf g x y'f'g x g' f'g x （）隐函数求导法就两边对 x 求导,留意y、y是x的函数；（3）参数方程求导x y dydy/dx' 2 d yd dydt dxdxd' dt' dxdtdt' dx2' 四、导数的应用dt（）罗尔定理和拉格朗日定理（证明题）（）单调性（导数符号）,极值（第一充分条件和其次充分条件）,最值；（3）凹凸性（二阶导数符号）凹凸性）；,拐点（曲线上的点,二维坐标,曲线在该点两侧有不同第四章 不定积分原函数F x f x 不定积分f x dxF x C基本性质df x dx f x 或df x dxf dxdxF x dxF x c 或dF x F x C.f x g x dxf x dxg x dx分项积分 k f xdxkf dx基本积分公式1 k xkxC ; 2 xdx11x1C1 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 1dxln |x|C4 x edxx eCx5 ax dxaxCCC6 cos x xsinxCClna7 sinx xcosx8 2 secx xta nxC9 2 cscx xcotxC10 s ec tanxd xsecx11 csc cotxdxcscx12 dxarcsinxC1x213 1dx2arctanxCx除了上述基本公式之外,仍有几个常用积分公式1. tan xdxln | cosx|C;|C;2. cotxdxln |sinx|C;xC;xa2x2C;3. sec xdxln | secxtanx4. csc xdxln | cscxcotx|5. 6. a21x2dx1 arctan axadx2 xarcsinxC;C;a2a7. x21a2dx1 ln 2 axaC;8. a22 x dxa2arcsinxa2a29. dxa2ln |xx22 a|C .2 x求不定积分的方法1 直接积分法：恒等变形,利用不定积分的性质,直接使用基本积分公式；2 换元法：第一类换元法（凑微分法）fx xd xf u duF uC FxC.其次类换元法（变量代换法）f x dxf d tF t CF C （留意回代）换元的思想：f x d xx f d tf t dtg t dtF t Ct F C .主要有幂代换、三角代换、倒代换3 分部积分法uvdxudvuvvduuvu vdxv 的优先选取次序为：指数函数；三角函数；幂函数3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 定积分一、概念1.定义bf x dxlim 0infixi,max 1 i nx i,使a12.性质：设fx、gx在a,b区间上可积,就定积分有以下的性质.1. bdxba；a2. bmfxngxdxmbfx dxnbgx dx；3.aaa3. bfx dxcfx dxbfx dx；aac4. 如在a b上,fx0,就bfx dx0；a推论 1. 如在a b 上, fxg x ,就bf x dxbg x dxaa推论 2. |bfx dx|b | afx|dx（ab ）a5. 如函数fx在区间a,b上可积,且mfxM,就m babfx dxMba a6. （定积分中值定理）设fx在区间a,b上连续,就存在a,bbfx dxfbaa积分上限函数x af t dt 及其性质1 xftdtfx,或dxftdtfx；4.adxa2 假如x0xf t dt,就x0x f t dtfxx. 3. 假如x f t dt, x就x f t dtfxxfx'x . 广义积分1. 无穷限积分afx dxt limtfx dx收敛（极限存在）a发散（极限不存在）4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - bfxdxt limtbfx dx收敛（极限存在）发散（极限不存在）fxdx收敛的充分必要条件是反常积分0fx dx、0fx dx同时收敛,并且在收敛时,有fxdx0fx dx0fx dx2. 瑕积分a 为瑕点就bffx dxlim t ab afx dx收敛x（极限存在）a发散（极限不存在）b 为瑕点bfx dxlim t bb afx dx收敛（极限存在）a发散（极限不存在）c 为瑕点bxdx收敛cfxdx与bfdx均收敛,并且在收敛时,有aacbfxdxcfxdxb cfxdxaa二、运算（一）定积分的运算1、微积分基本公式：设函数 f x 在区间 a, b 上连续,且 F x f x,就ba f x dx F b F a,牛顿 - 莱布尼兹（ N-L）公式2、换元法：设函数 f x 在区间 a, b 上连续,函数 x t 满意： 在区间 , 上可导,且 t 连续； a, b,当 t , 时,x a , b,就ba f x dx f t t dtb b b b b b3、分部积分法：a uv dx uv | a a u vdx,或a udv uv | a a vdu4、偶倍奇零：设函数 f x 在区间 a, a 上连续,就a 0 f x f xa f x dx2 0 af x dx f x f x 2 k 1 . .2 n 2 n 2 k . . 2 n 2 k5、0 sin xdx 0 cos xdx 2 2k k .1 . . n 2 k 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、分段函数的定积分；（二）与积分上限函数相关的运算（三）广义积分的运算（依据定义先求原函数,再求极限）三、定积分的应用（一）几何应用1、 平面图形的面积（1）直角坐标AAbf x d x ,Ab|f x g x |d xb a（上曲线下曲线）dx,aad dy,Ad| |dyd（右曲线左曲线）cdy或cc（2）参数方程如x 与xa xb 及 x 轴所围成的面积A t dt , ,y 分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值；（3）极坐标由曲线rr , ,d.,所围的曲边扇形的面积A1222、 旋转体的体积（1）直角坐标（2）参数方程:由曲线yf x ,xa xb ,ab 与 x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积Vbf2 x dxbf2 x dx .aa由曲线x ,yc yd,cd与y轴所围曲边梯形绕y 轴旋转一周的旋转体的体积Vd2 y dyd2 y dy .cc由x 与xa xb 及 x 轴所围成的图形绕x 由旋转一周的旋转体y 的体积V2 t dt3、平面曲线的弧长（积分限从小到大）（1）直角坐标sb1 f 2dx2dta（2）参数方程s2 x t y t （3）极坐标s 2r 2d（二）物理应用（步骤：建立坐标系,挑选积分变量,求出功的微元或压力微元,求定积分）6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - yOaxO2axa阿基米德螺线心形线ra1cosarya2cosaxyaaxasi nx双纽线O2Oaa摆线2ya 1c o s第六章 微分方程一 、内容小结：（一）、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关（二）、解的结构齐次线性y' 'P x y'Qx y0 *,y 线性无关,就非齐次线性y' 'Px y'Qx yfx *1 、y 1,y 是（ * ）的解,就yC y 1C 2y 也是 * 的解；如y 1yC y 1C y 为（ *）的通解）2、y 1* ,y 2*是（ * * ）的解,就y 1*y 2*是对应齐次线性方程的解Y 是（ * ）的通解,y*是（ * * ）的解,就Yy*是（ * * ）的通解三、解方程：判别类型,确定解法；一阶,二阶；二、一阶微分方程求解7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、可分别变量方程y'f x g y 或g y dyf x dx 或M1 x N 1 y dyM2 x N2 y dx0解法：先分别变量,两边再同时积分2、齐次方程或者y'fy xx解法：令uuy,就y'uxu'x,dxxdxduf解法： 令udyyydydy3、一阶线性微分方程齐次线性y'yP x y0yC eP x dxx d x P xQ x ed xd x 非齐次线性'P x yQ x yP e三、二阶微分方程求解一、可降阶情形1、y''f x yy' 'fx y' f x pf , y p2、不显含 y 的二阶方程解法：令y'p,就y''p',原方程化为p'3、不显含 x 的二阶方程y' 'fy y' pdp dy''pdp,原方程化为解法：令y'p ,就dy二、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程y' 'p y'q y0 * * *（其中p q 为常数）xxC 2sin特点方程r2prq0特点根r 1,r 2C e r x 2r 1r 且为实根 ,就微分方程通解为yC e r x 1r 1r2p为相等实根 ,就微分方程通解为yC 1r x C x e2yexC 1cosr 1 , 2i为一对共轭复根,就微分方程通解为2、二阶常系数非齐次线性微分方程y''py'qyP m x ex*,（为常数,P m x 是 m 次多项式）8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其具有特解形式yk x Q m x ex,其中Q m x 为与P m x 同次的多项式 , k0不是特点根1是特点单根2是特点二重根9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页