2022年高中数学必修基本初等函数常考题型：对数函数的图象及性质.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 对数函数的图象及性质【学问梳理】1对数函数的定义0,函数ylog ax a0,且a1 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是2对数函数的图象与性质a10a1图象定义域：0,性质在 0,过点 1,0值域： R1时,y0,即当x上是减函数上是增函数在 0,3对数函数与指数函数的关系指数函数yx a 和对数函数ylog ax a0,且a1 互为反函数【常考题型】题型一、对数函数的概念【例 1】判定以下函数是否是对数函数？并说明理由2 y log a x a 0,且 a 1 ； y log 2 x 1； y 2log 8 x ； y log x a x 0,且 x 1 ； y log 5 x . 解 中真数不是自变量 x ,不是对数函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中对数式后减 1,不是对数函数；中 log x 前的系数是 2 ,而不是 1,不是对数函数；中底数是自变量 x ,而特别数 a ,不是对数函数为对数函数【类题通法】判定一个函数是否为对数函数的方法判定一个函数是对数函数必需是形如ylog ax a0且a1 的形式,即必需满意以下条件：系数为 1. 底数为大于 0 且不等于 1的常数对数的真数仅有自变量 x . 【对点训练】函数fx0a2a1log a1x是对数函数,就实数a_. 解析：a2a11,解得a0或 1. 又a1,且a11,a1. 答案： 1题型二、对数函数的图象【例 2】1 函数ylogax12ay0,且a1 的图象恒过点 _log bylog cx ,ylog dx 的图象,2 如下图的曲线是对数函数ylog ax ,x ,就 a , b , c , d 与 1的大小关系为 _ 解析 1 由于函数ylogax a0,且a1 的图象恒过点1,0,就令x1 1得x0,此时ylogaax122,且a1 的图象恒过点0, 2 第 2 页,共 6 页名师归纳总结 所以函数ylogx12a0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由图可知函数ylog ax ,ylog bx 的底数a1,b1,函数ylog cx ,ylog dx的底数 0c1, 0d1. c , d ,过点 0,1 作平行于 x 轴的直线,就直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为a , b ,明显ba1dc . 答案 10, 2 2ba1dc【类题通法】1对数函数图象过定点问题求函数ymlogafx a0,且a1 的图象过的定点时,只需令fx1求出 x ,即得定点为,x m 2对数函数图象的判定依据对数函数图象判定底数大小的方法：作直线y1与所给图象相交, 交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内, 自左向右,图象对应的对数函数的底数逐步变大,可比较底数的大小【对点训练】已知a0,且a1,就函数yx a 与ylog ax 的图象只能是 解析：选B 法一：假设0a1,就函数yx a 的图象下降且过点0,1 ,而函数y log a x 的图象上升且过点 1,0 ,以上图象均不符合x假设 a 1,就函数 y a 的图象上升且过点 0,1 ,而函数 y log a x 的图象下降且过点 1,0,只有 B 中图象符合法二：第一指数函数 y a 的图象只可能在上半平面,x函数 y log a x 的图象只可能在左半平面,从而排除 A,C；再看单调性,y a 与 xy log a x 的单调性正好相反,排除 D.只有 B 中图象符合 . 题型三、与对数函数有关的定义域问题名师归纳总结 【例 3】求以下函数的定义域第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1ylog51x ；2ylog1x5；51x 的定义3yln 43x； 4ylog0.54x3x 解 1 要使函数式有意义,需1x0,解得x1,所以函数ylog域是x x1log1x5的定2 要使函数式有意义,需1x0,解得x1,且x0,所以函数y1x1义域是x x1 且x0ln 43x的3 要使函数式有意义,需4x0,解得x4,且x3,所以函数yx30x定义域是x x4 且x34 要使函数式有意义,需4x34030,解得3 4x1,所以函数log0.5xylog0.54 x3的定义域是x3x14【类题通法】求对数函数定义域应留意的问题 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,假设自变量在真数上,就必需保证真数大于 保证底数大于 0 且不等于 1. 【对点训练】求以下函数的定义域：1y1x；log22ylgx33x 4；ylog2164ylogx13x 0；假设自变量在底数上,应名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1 要使函数式有意义,需x00,解得x0,且x1. 4. log2x函数y1x的定义域是x x0 且x10 1,解得xlog2300,即x32 要使函数式有意义,需x lgx3x3所求函数的定义域是x x. 43 要使函数式有意义,需164x0,解得x2. ,且x2所求函数的定义域是x x23x04 要使函数式有意义,需x10,解得 1x3x11所求函数的定义域是x1x3 且x2【练习反馈】1函数fx1,11xlg 1x 的定义域是 A, 1B 1,C1,1D,解析：选 C 由题意知1x0,解得x1且x1. y1a x 的图象只能是 1,0,故排除 C,1x02当a1时,函数ylog ax 和解析：选 B 由于a1,所以ylog ax 为增函数,且函数图象过定点D.又 1a0,所以直线y1a x应过原点,且经过其次象限和第四象限应选B. 第 5 页,共 6 页3已知对数函数过点2,4 ,就 fx 的解析式为 _名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：设fxlog ax,就由f2log 24得a42,a4 2,11a0,a1 的图象必经过点_fxlog4 2x. 答案：fxlog4 2x4函数fxa x2logax解析：当x2时,f2a 0log 12,所以图象必经过点2,2 答案：2,25已知fxlog 3x . 1 作出这个函数的图象；2 假设f af2,利用图象求a 的取值范畴解： 1 作出函数ylog3x 的图象如下图2 令fxf2,即log xlog 2 ,名师归纳总结 解得x2. 2. 第 6 页,共 6 页由图象知：当 0a2时,恒有f af2所求 a 的取值范畴为 0a- - - - - - -