2022年高中数学解析几何知识点总结3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - §07. 直线和圆的方程 学问要点一、直线方程 . 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角 , 其 中 直 线 与 x 轴 平 行 或 重 合 时 , 其 倾 斜 角 为 0 , 故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是0 180 0 . 注：当 90 或 x 2 x 1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在 . 每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率肯定时,其倾斜角也对应确定 . 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式 . 特殊地,当直线经过两点 a , 0 , ,0 b ,即直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a , b a 0 , b 0 时,直线方程是：x y 1 . a b注 ： 如 y 2 x 2 是 一 直 线 的 方 程 , 就 这 条 直 线 的 方 程 是 y 2 x 2, 但 如3 32y x 2 x 0 就不是这条线 . 3附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kx b,当 k, b 均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,假如 k, b 变化时,对应的直线也会变化 .当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点（0, b ）的直线束 .当 k 为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线 . 3. 两条直线平行：1l l 2 k 1 k 2 两条直线平行的条件是： 1l 和 l 2 是两条不重合的直线 . 在 1l 和 l 2 的斜率都存在的前提下得到的 . 因此,应特殊留意,抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ”都会导致结论的错误 . （一般的结论是：对于两条直线l1,l2,它们在 y 轴上的纵截距是b 1,b2,就1ll2k1k2,且b 1b2或l1,l2的斜率均不存在,即C1C2）A 1B2B1A2是平行的必要不充分条件,且推论：假如两条直线l1,l2的倾斜角为1,2就1l l212. 两条直线垂直：名师归纳总结 两条直线垂直的条件：设两条直线1l 和2l的斜率分别为k 和 1k ,就有 2l1l2k1k21这第 1 页,共 10 页里的前提是l1,l2的斜率都存在 . l1l2k10,且l2的斜率不存在或k20,且1l 的斜率不存在 . （即A 1B2A2B 10是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l 到l2的角（方向角）；直线1l 到l2的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角,它的范畴是 0 ,当90 时tank2k1. 1k1 k2两条相交直线1l 与l2的夹角：两条相交直线1l 与2l的夹角,是指由1l 与2l相交所成的四个角中最小的正角,又称为1l和l2所成的角,它的取值范畴是,02,当90 ,就有tank2k1. 1k1 k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 过两直线l1:A1xB1yC1200的交点的直线系方程A 1xB1yC1A2xB2yC20l2:A2xB2yC为参数,A2xB2yC20不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点Px0y0,直线l:AxByC0,P到 l 的距离为d ,就有dAx0By02C. A2B注：1.两点 P1x 1,y1、P2x 2,y2的距离公式：|P 1P 2|x2x12y2y 12. uuur PPuuur PP 2, 其 中2.特例：点 Px,y 到原点 O 的距离：|OP|x2y2PP 2所成的比为即定 比 分 点 坐 标 分 式 ； 如 点Px,y 分 有 向 线 段P1x 1,y1,P2x2,y2.就xx 1x 2,yy 1y 211特例,中点坐标公式；重要结论,三角形重心坐标公式；3.直线的倾斜角（0° 180° ）、斜率 :ktan2:x 1x2王新敞,4.过两点P 1x 1,y 1,P 2x2,y2 的直线的斜率公式：ky2y 1. x2x 1当x 1x 2,y 1y2（即直线和x 轴垂直）时,直线的倾斜角 90 ,没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10 , lAxByC20 C1C2它们之间的距离为d ,就有dC1C22. A2B注； 直线系方程1. 与直线： A x+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0. m.R, C m. 2. 与直线： Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-A y+m=0. m.R 3. 过定点（ x1,y1）的直线系方程是：A x-x1+B y-y1=0 A,B 不全为 0 4. 过直线 l 1、l 2 交点的直线系方程：（A1x+B 1y+C1）+ A 2x+B2y+C2）=0 .R）注：该直线系不含 l 2. 7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线肯定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. 且两直线到对称关于某直线对称的两条直线性质：如两条直线平行,就对称直线也平行,直线距离相等 .如两条直线不平行, 就对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,就中点在对称直线上（方程）,过两对名师归纳总结 称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：曲线、直线关于始终线（yxb）对称的解法：y 换 x,x 换 y. 例：曲线 fx , y=0关于直线 y=x2 对称曲线方程是 fy+2 ,x 2=0. 曲线 C: fx ,y=0 关于点 a ,b的对称曲线方程是 fa x, 2b y=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程：在直角坐标系中,假如某曲线C 上的 与一个二元方程fx ,y0的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解. yfx ,y 0的一种关系,以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点Mx,y其坐标与方程曲线上任一点x ,y 是方程fx ,y 0的解；反过来,满意方程fx ,0的解所对应的点是曲线上的点 . 名师归纳总结 注：假如曲线C 的方程是 fx ,y=0 ,那么点 P0x 0 ,y线 C 上的充要条件是fx 0 ,y0=0 第 3 页,共 10 页2. 圆的标准方程：以点Ca ,b为圆心, r 为半径的圆的标准方程是xa2yb2r2. 特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y2r2. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程xa2yb2b2rb,圆心a,b或a,b与 y 轴相切的圆方程xa2yb2a2ra,圆心a ,b或a ,b与 x轴 y 轴都相切的圆方程xa2ya2a2ra,圆心a,a3. 圆的一般方程：x2y2DxEyF0. 当D2E24 F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E,半径rD2E24F. 222当D2E24F0时,方程表示一个点D,E. 22当D2E24 F0时,方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：xarcos（为参数） . ybrsin 方 程Ax2BxyCy2DxEyF0表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：B0且AC0且D2E24AF0. 圆的直径或方程： 已知A x 1,y1B x2,y2xx1xx2yy 1yy20（用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点Mx0y0及圆C:xa2yb2r2. M 在圆 C 内x0a2y0b 2r2 M 在圆 C 上（x0a2y0b2r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M 在圆 C 外x0a2y0b 2r25. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C ：xa2yb 2r2r0；直线 l ：AxByC0A2B20；圆心Ca ,b到直线 l 的距离dAaABb2C. . . 2Bdr时, l 与 C 相切；附：如两圆相切,就x2y2D1xE1 yF120相减为公切线方程x2y2D2xE2yF0dr时, l 与 C 相交；附：公共弦方程：设 C1 :x2y2D1 xE1yF10C2:x2y2D2xE2yF20有两个交点,就其公共弦方程为D1D2xE 1E2yF1F20dr时, l 与 C 相离 .的连线的中与线方程. 附：如两圆相离,就x2y2D1xE1 yF120相减为圆心O1O2x2y2D2xE2yF0由代数特点判定：方程组xa 2yb 2r2用代入法,得关于x（或 y ）的一元二次方AxBxC0程,其判别式为,就：F20相减,不表示直0l与 C 相切；0l与 C 相交；0l与 C 相离 . 注：如两圆为同心圆就x2y2D1xE1yF10,x2y2D2xE2y线. 名师归纳总结 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆x2y2r2的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是ykx1k2r过 圆Ax2y2DxEyF0上一点Px0 y0的切线方程为：x0xy0yDxx0Eyy0F0. 22一般方程如点x0 ,y0在圆上, 就x ax0 a+y by0 b=R2. 特殊地, 过圆x2y2r2上一点Px0y0的切线方程为x0xy0yr2. C D a,by1y0k x 1x0如点 x0 ,y0不在圆上,圆心为a,b就Rby1kax1,联立求出 k切线方程 . BR21第 4 页,共 10 页7. 求切点弦方程： 方法是构造图, 就切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆 . 已 知O 的 方 程x2y2DxEyF0 又 以ABCD为 圆 为 方 程 为xxAxayAyAxbk2 BC 的方程即代,相切即为所求. a2b 2xAyR2 ,所以4三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中,假如曲线C 和方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 fx,y=0 的解（纯粹性）；2） 方程 fx,y=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）；就称方程 fx,y=0 为曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 fx,y=0 的曲线；2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点,列式表标 ,简化检验 ; 2）参数法 ; 3）定义法,4）待定系数法 . -圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简洁几何性质椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简洁几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简洁几何性质考试要求：（1）把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程（2）把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质（3）把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质（4）明白圆锥曲线的初步应用§08. 圆锥曲线方程 学问要点一、椭圆方程 . 1. 椭圆方程的第肯定义：PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 方程为椭圆 ,PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 无轨迹 ,PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 以 F 1 , F 2 为端点的线段椭圆的标准方程：名师归纳总结 i. 中心在原点,焦点在x 轴上：x2y21 ab0. ii. 中心在原点,焦点在y 轴上：第 5 页,共 10 页a2b2y2x 21 ab0 . a2b2一般方程：Ax2By21A0 ,B0.椭圆的标准参数方程：x2y21的参数方程为a2b2xacos（一象限应是属于02）. ybsin顶点：a0, 0 ,b 或0 ,a b0, .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长轴长2 ,短轴长2 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦 点 ：c , 0 c , 0 或,0c 0 ,c. 焦 距 ：F1 F22 c,ca2b2. 准 线 ：xa2或cya2.离心率：ec 01e1.焦点半径：F1,F2为左、右焦点,就1aex0,PF2aex00cai. 设Px0y0为椭圆x2y2221 ab0上的一点,ab由椭圆方程的其次定义可以推出. b0 上的一点,F1,F2为上、下焦点,就 PF0aey0,PF2aeyii.设P x0y0为椭圆x2y21 a22ba. 由椭圆方程的其次定义可以推出x 02 aaex 0x 00 ,e 2 ax0ex 0ax0归结起来为pF2由椭圆其次定义可知：pFe cc“ 左加右减 ” . 留意：椭圆参数方程的推导：得 N a cos , b sin 方程的轨迹为椭圆 . 2 2 2通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标：d 2a b2 c , ba 和 c , ba 2 2共离心率的椭圆系的方程：椭圆a x2b y2 1 a b 0 的离心率是 e ca c a 2 b 2,方2 2程a x2b y2 t t 是大于 0 的参数,a b 0 的离心率也是 e ca 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 . 2 2如 P 是椭圆：x2 y2 1 上的点 . F 1,F 2 为焦点,如 F 1PF 2,就 PF 1F 2 的面积为a bb 2tan（用余弦定理与 PF 1 PF 2 2 a 可得） . 如是双曲线,就面积为 b 2cot . 2 2二、双曲线方程 . y bcos , bsin acos , asin 1. 双曲线的第肯定义：N xPF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 方程为双曲线PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 无轨迹 N 的轨迹是椭圆PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2 以 F 1 , F 2 的一个端点的一条射线 双 曲 线 标 准 方 程 ：x 22 y2 21 a , b 0 , y 22 x 22 1 a , b 0 . 一 般 方 程 ：a b a bAx 2 Cy 21 AC 0 . i. 焦点在 x 轴上：名师归纳总结 顶点：a , 0 ,a ,0焦点： c, 0 ,c, 0 准线方程xc a2渐近线方程：xy0或第 6 页,共 10 页cabx2y20a2b2a, ,0a. 焦点： 0 ,c, 0 ,. 准线方程：ya2. 渐近线ii. 焦点在 y 轴上：顶点：,0c- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程：yx0或y2x20,参数方程：xasec或xbtan .aba2b2ybtanyasec轴x,y为对称轴, 实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. 离心率ec. 准线距2 a2ac（两准线的距离）；通径2 b2. 参数关系c2a2b2,ec. 焦点半径公式：对于双曲aa线方程x2y21（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）2b2a“ 长加短减” 原就：MF1ex0a构成满意MF1MF22aMF1ex0a（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半xMF2ex0aMF2ex0a径要带符号运算,而双曲线不带符号）yyMF1ey0aM'MF 1MF2ey0axMxMF1ey0aF 1F2M'MF2ey0aF2等轴双曲线： 双曲线x2y2a2称为等轴双曲线, 其渐近线方程为yx,离心率e2. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线 .x2y2与x2y2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x2y20. 2b22b22b2aaa共渐近线的双曲线系方程：x2y20的渐近线方程为x2y20假如双曲线的a2b2a2b2y渐近线为xy0时,它的双曲线方程可设为x2y20. 22432abab例如：如双曲线一条渐近线为y1x且过p3,1,求双曲线的方程？F 153122F2解：令双曲线的方程为：x2y20 ,代入 3 ,1得x2y21. 34282直线与双曲线的位置关系：区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线 . 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4条. 名师归纳总结 （2）如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入“”法与渐第 7 页,共 10 页近线求交和两根之和与两根之积同号. 如 P 在双曲线x2y21,就常用结论1：P 到焦点的距离为m = n,就 P 到两准线的距2b2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 离比为 mn. 简证：d1PF1= m . ned2PF2e常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程 . 3. 设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：x2,2pyxx20,2pyxy22pxy22px图形F 0 yy y yOxOxOOF焦点p 2p 2F p 2, 0 Fp,02名师归纳总结 准线xpxpypyp第 8 页,共 10 页2222范畴x0 ,yRx,0yRxR , y0xR , y0对称轴x 轴y 轴顶点（0,0）离心率e1焦点PFpx 1PFpx1PFpy 1PFpy12222注：ay2bycx顶点4 acb2b.4a2 ay22pxp0就焦点半径PFxP;x22pyp0就焦点半径为PFyP. 22通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. y22px（或x22py）的参数方程为x2pt2（或x2pt2）（ t 为参数） . y2pty2pt四、圆锥曲线的统肯定义. 4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e的点的轨迹 . 当0e1时,轨迹为椭圆；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当e1时,轨迹为抛物线；当e1时,轨迹为双曲线；c,当c,0ab时） . 当时,轨迹为圆（ee0a5. 圆锥曲线方程具有对称性 于原点对称的 . . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关由于具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2 的距离1到两定点F1,F2 的距之和为定值 2a2a>|F1F2|离之差的肯定值为定值的点的轨迹2a0<2a<|F1F2|的点的轨迹2与定点和直线的距离2与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等之比为定值e 的点的轨之比为定值e 的点的轨的点的轨迹 . 迹 .（0<e<1）迹.（ e>1）图形方标准x2y21ab>0 x2y21a>0,b>0 x y2 2y2=2px 方程a2b2a2b2程参数x ay b 参数cos sin为离心角）x ay b 参数sec tan为离心角）pt pt2t 为参数 方程范畴 a x a, b y b |x| a,y R x 0 中心原点 O（0,0）原点 O（0,0）0,0 顶点a,0, a,0, 0,b , a,0, a,00, b名师归纳总结 对称轴x 轴, y 轴；x 轴, y 轴; Fx 轴第 9 页,共 10 页焦点长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a, 虚轴长 2b. p 20,F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0焦距2c （c=a2b2）2c （ c=a2b2）e=1 离心率ec0e1 ece1aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 准线x=a2x=a2xp2cc名师归纳总结 渐近线y=±bx . rxp第 10 页,共 10 页a焦半径raexrexa2通径2 b22 b22p aa焦参数a2a2P cc1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质2.等轴双曲线3.共轭双曲线5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. - - - - - - -