2022年高等数学第章-导数与微分.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分其次章导数与微分教学目的：1、懂得导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,明白导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,懂得函数的可导性与连续性之 间的的关系；2、娴熟把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就,娴熟把握基本初等函数的导数公式,明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分；3、 明白高阶导数的概念,会求某些简洁函数的 n 阶导数；4、 会求分段函数的导数；5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数；教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四就运算法就和复合函数的求导法就；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数；教学难点：1、复合函数的求导法就；2、分段函数的导数；3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数；§2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s ft 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值ss 0f tft 0这个比值在实践tt 0tt0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0 内的平均速度假如时间间隔选较短中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 tt00取高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案即其次章导数与微分比值f tf t 0的极限假如这个极限存在设为 vtt 0vlim t t 0f tf t0tt0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时 假如割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线设曲线 C 就是函数 y fx的图形 现在要确定曲线在点 Mx0, y0y0 fx0处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 Nx, y 于是割线 MN 的斜率为tan y y 0 f x f x 0 x x 0 x x 0其中 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0 假如当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k 即k lim f x f x 0x x 0 x x 0存在 就此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 k tan 其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 Mx0, fx0且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数限从上面所争论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极lim x x 0fx fx 0xx 0令x x x0就 y fx0x fx0 fx fx0 xx0相当于x0于是lim x x 0fx fx 0xx 0成为lim x0y或lim x0fx0xf x0x点 x0xxx定义设函数 y fx在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0 处取得增量仍在该邻域内 时相应地函数y 取得增量y fx0x fx0 假如y 与x 之比当x0 时的极 记为限存在就称函数 y fx在点 x0处可导并称这个极限为函数y fx在点 x0 处的导数y|xx 0即fx 0lim x0ylim x0fx 0xf x0xx高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案|xx 0dyxx0或df xxx0其次章导数与微分也可记为ydxdx函数 fx在点 x0 处可导有时也说成fx在点 x0 具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式 常见的有f x 0 lim f x 0 h f x 0 h 0 hf x 0 x limx 0 f xx x f0 x 0 在实际中 需要争论各种具有不同意义的变量的变化“ 快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述假如极限 lim f x 0 x f x 0 不存在 就说函数 y fx在点 x0 处不行导x 0 x假如不行导的缘由是由于 lim f x 0 x f x 0 x 0 x也往往说函数 y fx在点 x0 处的导数为无穷大假如函数 y fx在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 fx在开区间 I 内可导 这时 对于任一 x I 都对应着 fx的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原先函数 y fx的导函数 记作 y f x dy 或 df x dx dx导函数的定义式ylim x0fxx f xlim h 0fxh fx xhf x0与 f x之间的关系函数 fx在点 x0 处的导数 f x就是导函数 f x在点 x x0 处的函数值 即f 0 f x x x 0导函数 f x简称导数 而 f x0是 fx在 x0 处的导数或导数 f x在 x0 处的值左右导数 所列极限存在 就定义fx在 x 的左导数 f x 0 lim f x 0 h f x 0 h 0 hfx在 x 的右导数 f x 0 lim f x 0 h f x 0 h 0 h假如极限h lim0 f x 0 hh f x 0 存在 就称此极限值为函数在 x0 的 左导数假如极限 lim f x 0 h f x 0 存在 就称此极限值为函数在 x0 的 右导数h 0 h导数与左右导数的关系 f x 0 A f x 0 f x 0 A高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分2求导数举例例 1求函数 fx CC 为常数的导数解fx lim h 0f xh fx lim h 0ChC0xlim h 0 x1x1h即C 0例 2求f x1的导数x解fx lim h 0fxh fx lim h 0x1h h1lim h 0h xhxhh h x2例 3求fxx的导数解fxlim h 0fxhfxlim h 0xhxhhan 1 nan 1lim h 0hxhxlim h 0x1x21xhh例 2求函数 fx xn n 为正整数 在 x a 处的导数解 f alim x af x fa xlim ax na nxlim xn 1 axn 2xaxa把以上结果中的a 换成 x 得 f x nxn 1即xnnxn 1C011 x 2x21xxx1x更一般地有 x x1其中为常数例 3求函数 fx sin x 的导数即解f xlim h 0fxhfx lim h 0sinxh sinxhhlim h 012cosxhsinhh22axlim h 0cos xhsinhcosx2h22sin xcos x用类似的方法可求得cos x sin x例 4求函数 fxa xa>0 a1 的导数解f xlim h 0fxh fx lim h 0axhhh高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案txloga 1hx其次章导数与微分axlim h 0ah1令ah1taxlim t 0logath1ax1eaxlnalogaloga特殊地有 ex ex例 5求函数 fx log a x a>0 a1 的导数解fx lim h 0fxh fx lim h 0logaxh hh1 xlim h 0lim h 01logaxxh1lim h 0xloga 1hhhxhxx1logaex1axlnh x解fxlim h 0loga xh logaxlim h 01loga 1hh1lim h 0loga1hx1logaex1ahxxxln即logax x1aln特殊地lnx 1xlogax x1alnx 1lnx3单侧 导数极限lim h 0fxh ffx 存在的充分必要条件是hlim h 0fxh x及lim h 0f xhfx hh都存在且相等fx在x 处的左导数 0fx 0lim h 0fxh fx hfx在x 处的右导数fx 0lim h 0fxh fx h导数与左右导数的关系函数 fx在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f x0 和右导数 f x0都存在且相等假如函数 fx在开区间 a, b内可导 且右导数 f a 和左导数 f b都存在 就说 fx有闭区间 a, b上可导高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分例 6求函数 fxx|在 x 0 处的导数解f0lim h 0f0h f 0lim h 0|h|1hhf 0 lim h 0f 0h f0lim h 0|h|1hh由于 f0 f0所以函数 fx |x|在 x 0 处不行导四、导数的几何意义即函数 y fx在点 x0 处的导数 f x0在几何上表示曲线 y fx在点 Mx0, fx0处的切线的斜率f x 0 tan 其中 是切线的倾角假如 y fx在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 y fx的割线以垂直于 x 轴的直线 x x0为极限位置 即曲线 y fx在点 M x0, fx0处具有垂直于 x 轴的切线 x x0由直线的点斜式方程 可知曲线 y fx在点 Mx0, y0处的切线方程为y y0 f x0x x0过切点 Mx0, y0且与切线垂直的直线叫做曲线y fx在点 M 处的法线假如f x0 0法线的斜率为f1从而法线方程为并写出在该点处的切线方程和法0x例 8yy 0f1xx 0x 01 在点 x1,2处的切线的斜率y求等边双曲线2线方程解 yx 12 所求切线及法线的斜率分别为k 1 x 12 x 12 4 k 2k 11 14所求切线方程为 y 2 4 x 1 即 4x y 4 02所求法线方程为 y 2 14 x 12 即 2x 8y 15 0例 9 求曲线 y x x 的通过点 0 4的切线方程解 设切点的横坐标为 x0 就切线的斜率为f x 0 x 32 3 x 12 3 x 02 x x 0 2高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分于是所求切线的方程可设为yx 0x 003x 0 xx 0因此2依据题目要求点04在切线上4x 0x3x0 0x 02解之得 x0 4 于是所求切线的方程为y4434x4即 3x y 4 02四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y fx在点 x0 处可导即lim x00y xff x0存在就就函数在该lim x0ylim x0yxlim x0ylim xxx 000xx这就是说函数 y fx在点 x0 处是连续的所以假如函数 y fx在点 x 处可导点必连续另一方面一个函数在某点连续却不肯定在该点处可导这是由于函数在点例 7 函数fx 3x在区间 , 内连续但在点 x 0 处不行导x 0 处导数为无穷大lim h 0f 0h f0lim h 03h0hhx§2 2 函数的求导法就一、函数的和、差、积、商的求导法就定理 1假如函数 u ux及 v vx在点 x 具有导数v那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外 都在点 x 具有导数并且uxvxu xv x ux vxu xvx uxv xux ux v x u xv 2 x v xvx x 证明1u x vxlim h 0u xh v xh u xh高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案lim h 0u xhu x v xh v x u x v x其次章导数与微分hh法就 1可简洁地表示为2u vuvh ux vxu x v xh u x vx u x v x lim h 0u xh v xhlim h 01 uxh v xh u x v xh hlim h 0v xh u x v xh v x h v xu xhu x hhv xuxh ux lim h 0lim h 0v xh uxlim h 0hhu xvx uxv x其中lim h 0vx h vx是由于 v x存在故 vx在点 x 连续法就 2可简洁地表示为3 uvu v uvxh vx u x v xhu xhuxu x lim h 0v xh v xlim h 0uv x hv xh v x hlim h 0u xh ux v x u x v xh v x v xh v x hhv x lim h 0uxhuxv xu x v xhhv xh v xux v x u v 2 x x vx 法就 3可简洁地表示为uuvuv例如设 u ux、v vx、vv2u vuv uvu v uvuuvu 2vvv定理 1 中的法就 1、 2可推广到任意有限个可导函数的情形w wx均可导就有u v wuvwuvw uvwuv w uvwu v uv w uvwu vw uv w uvw即uvwu vw uv w uvw在法就 2中假如 v CC 为常数 就有高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分CuCu 3 x例 1y 2x 35x 23x 7 求 y解 y 2x 3 5x 2 3x 7 2x 32 3x 2 5 2x 3 6x 2 10x 35x 23x7 2 x 3 5 x 2例 2f xx34cosxsin2求 f x及f2解fx x3 4cosx sin23 x24sinxf23244例 3y e xsin x cos x 求 y解 y e x sin x cos x e xsin x cos x e x sin x cos x e x cos x sin x 2excos x例 4y tan x求 y解ytanx sinxsinx cosxsinx cosxcosxcos2xcos 2xsin2x1xsec 2xcos 2xcos 2即tan xsec2x例 5y sec x求 y解ysecx 1x1cosx1cosxsin xcos 2 xsec x tan xcoscos 2x即sec xsec x tan x用类似方法仍可求得余切函数及余割函数的导数公式cot xcsc2xcsc xcsc x cot x二、反函数的求导法就定理 2 假如函数 x fy在某区间 I y 内单调、可导且 f y 0 那么它的反函数 y f 1x在对应区间 I x x|x fy y Iy 内也可导 并且 f 1 x f 1 y 或 dydx dx 1dy简要证明 由于 x fy在 I y内单调、可导 从而连续 所以 x fy的反函数 y f 1x存在且 f 1x在 I x 内也单调、连续任取 x I x 给 x 以增量 x x 0 x x I x 由 y f 1x的单调性可知y f 1x x f 1x 0高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案其次章导数与微分于是由于 y fy x1 x0故y1x连续lim x 0y从而 f 1 x lim y lim 1 1x 0 x y 0 x f y y上述结论可简洁地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6设 x sin y y , 为直接函数 就 y arcsin x 是它的反函数 函数 x sin y 在开2 2区间 , 内单调、可导 且2 2sin y cos y 0因此 由反函数的求导法就 在对应区间 I x 1 1内有arcsin x sin 1y cos 1y 1 sin 12 y 1 1x 2类似地有 arccos x 1 1x 2例 7设 x tan y y , 为直接函数 就 y arctan x 是它的反函数 函数 x tan y 在2 2区间 , 内单调、可导 且2 2tan y sec 2 y 0因此 由反函数的求导法就 在对应区间 I x 内有arctan x tan 1y sec 12 y 1 tan 12 y 1 1x 2类似地有 arc cot x 1 1x 2例 8 设 x a ya 0 a 1为直接函数 就 y loga x 是它的反函数 函数 x a y在区间 I y 内单调、可导 且a y a y ln a 0因此 由反函数的求导法就 在对应区间 I x 0 内有log a x a 1y a y 1ln a x ln 1a到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案lntan x 、e3x其次章导数与微分杂的初等函数的导数如可求呢？如函数、的导数怎样求？三、复合函数的求导法就可导定理 3 假如 u gx在点 x 可导函数 y fu在点 u gx可导就复合函数y fgx 在点 x且其导数为dyf ugx 或dydydudxdxdudx此时导数为零结论自然成证明当 u gx在 x 的某邻域内为常数时y=f x也是常数立当 u gx在 x 的某邻域内不等于常数时u 0 此时有xx gx yfgxx fgx fg xx fg x gxxg xx gx xf uuf ug xx g x x= f u g x uxlim x0gxxgdylim x0ylim u0f uu f udxxux简要证明因此dylim x0ylim x0yulim u0ylim x0ufu gx dxxuxux例 9 yex 3求dydx解 函数yxe 3可看作是由y eu u x3 复合而成的因此dydydue u3 x23 x2 ex 3dxdudx例 10 ysin12x2dy 求 dxx解 函数ysin12 x是由 y sin uu12x复合而成的x 2x 2dydyducos u2 1x 2 2x 221x 2cos 12x2dxdudx1x 2 2 1x 22x对复合函数的导数比较娴熟后就不必再写出中间变量例 11 lnsin x求dydx解dylnsinx 1xsinx 1xcosxcotxdxsinsin例 12y312x2求dydx高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案2例如其次章导数与微分x解dy 12x211 12 x2212 x23 314x33dx32x 2设 y fuuvv复合函数的求导法就可以推广到多个中间变量的情形就dydydudydudvxx1dxdudxdudvdx例 13 y lncosexdy 求 dx解dylncos e x1x cos ex dxcos e1xsine x exextan ecos e例 14ysin e1求dy1xdx解dysin e1sin e1sin1sin e1cos1xxxdxxxx1 x 2sin e1cos1xx例 15 设 x 0证明幂函数的导数公式x x1e ln x 所以 ln x ln x e ln x解 由于 xe ln xx e ln x ex1四、基本求导法就与导数公式1基本初等函数的导数1C 02x x 13sin x cos x4cos x sin x5tan x sec 2x6cot x csc2x7sec x sec x tan x8csc x csc x cot x9a x a x ln a10 e x e x11 log a x 1x ln a12 ln x 1x高等数学课程建设组名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案112其次章导数与微分13 arcsinx 1x214 arccosx 11x15 arctanx 1x216 arccotx 112x2函数的和、差、积、商的求导法就设 u ux v vx都可导 就1u v u v2C u C u3u v u v u v4 uv u vv 2 u v3反函数的求导法就设 x fy在区间 Iy 内单调、可导且f y 0就它的反函数y f1x在 Ix fIy内也可导并且f1 x f1y 或dy1 dxdxdy4复合函数的求导法就设 y fx而 u gx且 fu及 gx都可导就复合函数y fgx 的导数为dydydu或 y x f u g x