2022年高考理科数学全国卷-含答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年一般高等学校招生全统一考试理科数学第一卷一、挑选题：此题共 12 小题,每道题 5 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的；（1）设集合 A x x 2 4 x 3 0,B x 2x 3 0,就 A B（A ）（3,3） （B）（3,3 ）（C）（ 1,3 ）（D）（3, 3）2 2 2 2（2）设 1 i x 1 yi,其中 x , y 是实数,就 x yi（A ）1 （B）2（C）3（ D）2 （3）已知等差数列 a n 前 9 项的和为 27,a 10 8,就 a 100（A ）100 （B）99 （C）98 （ D）97 （4）某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,就他等车时间不超过 10 分钟的概率是（A ）13（B） 2 1（C） 3 2（D） 4 32 2（5）已知方程 2 x y2 1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4,就 m 的取值范畴是m n 3 m n（A ）（1, 3）（ B）（1,3 ）（C）（ 0 , 3 ）（D）（ 0 ,3 ）（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径如该几何体的体积是 28,就它的表面积是3（A ）17（B）18（C）20（D）282 x（7）函数 y 2 x e 在 2, 的图象大致为y y y y1 1 1 1-2 O 2 x-2 O 2 x-2 O 2 x-2 O 2 x（A）（ B）（C）（D）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （8）如ab1,0c1,就开头（A ）a cb c（B）ab cba c 输入 x , y , n（C）a log b c b log a c（ D）log a c log b c n 1n n 1 x x , y ny（9）执行右图的程序框图,假如输入的 x 0 , y 1 , n 1,就输出 2x, y 的值满意 2 2否 x y 36（A ）y 2 x（ B）y 3 x（C）y 4 x（D）y 5 x 是（10） 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D , E 两 输出 x, y点已知 AB 4 2,DE 2 5,就 C 的焦点到准线的距离为终止（A ）2 （B）4 （C）6 （D）8 （11） 平面 过正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A , 平面 CB 1D 1,平面 ABCD m,平面 ABB 1 A 1 n,就 m, n 所成角的正弦值为（A ）2 3（ B） 2 2（C） 3 3（D）13（12） 已知函数 f x sin x ,0 ,x 为 f x 的零点,x 为 y f x 图象2 4 4的对称轴,且 f x 在 , 5 单调,就 的最大值为18 36（A ）11 （ B）9 （C） 7 （D）5 第二卷本卷包括必考题和选考题两部分；第13 21 题为必考题,每个试题都必需作答；第22 24 题为选考题,考生依据要求作答；二、填空题：此题共4 小题,每道题5 分；1.5kg, 乙材料（13） 设向量am 1,b,12 ,且ab2a2b2,就 m（14）2xx5的绽开式中,3 x 的系数是（用数字填写答案）（15） 设等比数列an满意a 1a 310,a2a 45,就a1a 2an的最大值为（16） 某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料. 生产一件 A需要甲材料1kg,用 5 个工时； 生产一件 B 需要甲材料0.5kg, 乙材料 0.3kg ,用 3 个工时 . 生产一件 A 产品的利名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 润为 2100 元,生产一件 B 产品的利润为900 元. 该企业现有甲材料150kg,乙材料 90kg,就在不超过 600 工时的条件下,生产产品A、产品 B 的利润之和的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；（17） （本小题满分12 分）,C的对边分别为a,b ,c,已知2cosCacosBbcosAc. ABC的内角A ,B（）求 C ；（）如c7,ABC的面积为323. 求ABC的周长 . （18） （本小题满分12 分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF 为正方形,AF2FD,EAFD90,且二面角DAFE与二面角CBEF都是 60° . CAABEF 平面 EFDC ；D（）证明：平面（）求二面角EBCA的余弦值 . FB（19） （本小题满分 12 分）某公司方案购买 2 台机器,该种机器使用三年后被剔除 . 机器有一易损零件,在购买机器时,可以额外购买这种零件为备件,每个 200 元. 在机器使用期间, 假如备件不足再购买,就每个 500 元.频数现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜40集并整理了 100 台这种三年使用期内更换的易损零件,得下面柱状图：20以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器O 8 9 10 11 更换的易损零件数更换的易损零件数发生的频率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （）求 X 的分布列；（）如要求P（Xn）0 5.,确定 n 的最小值；n19与n20之中选其一,应选用哪（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据,在个？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （20） （本小题满分 12 分）设圆x2y22x150的圆心为 A,直线 l 过点B ,10 且与 x 轴不重合, l 交圆 A于C,D两Q点,过 B 作 AC 的平行线交AD 于点 E . （）证明EAEB为定值,并写出点E 的轨迹方程；P,（）设点 E 的轨迹为曲线C ,直线 l 交C 于M ,N两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆A 交于两点,求四边形MPNQ 面积的取值范畴. （21） （本小题满分12 分）已知函数fxx2 exax1 2有两个零点 . （）求 a 的取值范畴；（）设 x 1, x 2 是 f x 的两个零点,证明：x 1 x 2 2 . 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,假如多做,就按所做的第一题计分；（22） （本小题满分10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲1OA为半径作圆 . CB如图,OAB是等腰三角形,AOB120. 以 O 为圆心,2（）证明：直线AB 与 O 相切；AD（）点C,D在 O 上,且A,B ,C,D四点共圆,证明：OABCD. （23） （本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程名师归纳总结 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 1xacos t,t, t 为参数,a0. 在以坐标原点第 4 页,共 15 页y1asin为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C ：4cos. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）说明C 是哪一种曲线,并将C 的方程化为极坐标方程；（） 直线C 的极坐标方程为0,其中0满意tan02,如曲线C 与C 的公共点都在C 上,求 a . （24） （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数fxx12 x3. yfx 的图像；（）在答题卡第（24）题图中画出（）求不等式fx1的解集 . y11xo名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年全国卷高考数学（理科）答案与解析 一、挑选题【答案】（1）D（2）B （3）C （ 4）B （5）A （6） A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12） B【解析】（1）Axx24x30x1x3,Bx2x30xx3 2,y22ABx3x3yix1 ,解得：yx1,xyix22（2） 1xxi1ix1yi即xy1（3）S 99 a 1a 992 a59 a527a53,a 108da 10a 51,22105a 100a 1090d98（4）如下列图,画出时间轴：7:307:407:508:008:108:208:302AC 或 DB 时,才ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段能保证他等车的时间不超过10 分钟,1 2n3m2,依据几何概型,所求概率p101040（5）x2ny2n1 表示双曲线,就 m2n 3 m2n 0,m2 m2 3 m2 c4n2 3 mn 2 4 mc22 m解得m21,1n3（6）原立体图如下列图：是一个球被切掉左上角的 1/8 后的三视图,表面积是 7/8 的球面面积和三个扇形面积之和,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - S742231221784（7）f28e282 .820,排除 A；exf2x8e282 .721,排除 B；0x0时,1x140 efx 2x2ex,fx4x0 ,f,当时,x441单调递减,排除C；f在0 ,4应选 D（8）对 A：由于0c1,函数yc x 在 R 上单调递增,因此ab1acc b ,A 错误；b对 B：由于1c10,函数yc x1在 1,上单调递减,和ln ca ln a,只需blnab1c a1c b1bacc ab ,B 错误对 C：要比较alogbc和blog ac ,只需比较alnc和blnc,只需比较lnclnblnablnb和alna上单调递增,因此构造函数fxxlnx x1,就f'xlnx110,fx在1,f af b0alnablnb0a1ab1blnln又由0c1得lnc0,lnclncblogacalogbc,C 正确alnablnb对 D：要比较loga c和log b c,只需比较lnc和ln lnclnab1而函数ylnx 在 1,上单调递增,故ab1lnalnb01lnalnb又由0c1得lnc0,ln lnclnclogaclogbc,D 错误alnb应选 C名师归纳总结 【2° 用特别值法,令a3 ,b2 ,cn1 2得3111231,排除B；222,排除A；32223log212log32,C 正确；log31log21,排除 D；选 C】是否n nn1222判定（9）如下表：1y循环节运x xxyny2 xy236行次数输出2运行前0 / 1 第 7 页,共 15 页1 / 第一次01否否2其次次1 22否否3第三次3 26是是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 输出 x 32,y 6,满意 y 4 x ,应选 C（10）以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理设抛物线为y22pxp0,设圆的方程为x2y22 r ,题目条件翻译如图：F 设A x 0,22,Dp,5,2点 A x 0,2 2在抛物线 y 22 px 上,8 2px 2D p , 5 5 p r2点 2 在圆 x 2y 2r 上,2 2 点 A x 0,2 2在圆 x 2y 2r 上,2x 028 r 2联立解得：p 4,焦点到准线的距离为 p 422° 【如图,设抛物线方程为 y 2 px ,圆的半径为 r,AB DE 交 x 轴于 C F 点,就 AC 2 2,即 A 点纵坐标为 2 2 ,就 A 点横坐标为 4,即 OC 4,由勾股定p p2 2 2 2 2 2 2 2理知 DF OF DO r,AC OC AO r ,即 5 2 p 22 2 2 4 2,解得 p 4,即 C 的2 p焦点到准线的距离为 4】（11）如下列图：名师归纳总结 平面CB D 1,如设平面CB D 1平面ABCDm ,就m 1mB D 1DBC又平面ABCD 平面ABC D ,结合平面B D C平面A BC D 1B D 1m 1,故B D 1mA同理可得：CD 1n故m、n的所成角的大小与B D 、CD 所成角的大小A1D1B 1C1相等,即CD B 的大小第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而B CB D 1CD （均为面对交线） ,因此CD B 13,即sinCD B 132（12）由题意知： 4+k 1就2k1,其中kZ,12 4+k2+2f x 在 5 ,18 36单调,5T3618122接下来用排除法名师归纳总结 如f11, 4,f x 在 3 , 18 44递增,在3 5 , 44 36递减,不满第 9 页,共 15 页4 ,此时f x sin 11 x足 x 在 5 ,18 36单调；,满意f x 在 5 ,18 36单调递减9,f x sin 9x如4 ,此时4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、填空题【答案】（13）-2 （ 14）10 （15）64 （16）216 000 【解析】（13） 由已知得abm1 3, , ab2a2b2m1 272 3m22 11222,解得m21120,解得m22°ab2a2b2得ab,m（14）2xx5的绽开式的通项为r C 2 5rxr5 2rr C 5x5rr0,1,2, ,5,令 5r322得r4,所以3 x 的系数是2C410 a 1a310a 1a 1q2310,解得a 18,5（15） 设等比数列an的公比为qq0,1a2a4qq5a 1qa 152故an1n4,a 1a2an132（n4）11nn11n7249当2224226422n3或4时,a 1a2an取得最大值26（16） 设生产 A 产品 x 件, B 产品 y件,依据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,构造线性规章约束为1.5x0.5y150900yx0.3y905x3y600x0y0xN*yN*目标函数z2100x作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为60,100 0,200 0,0 90,0名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在60,100处取得最大值,z210060900 100216000三、解答题（17）解：（I）由已知及正弦定理的,2cosCsinAcosBsinBcosA sinC,7,即2cosCsinABsinC,故2sinCcos CsinC,可得cosC1,C32（II）由已知,1absinC33,22又C3,ab6,由已知及余弦定理得,a2b22 abcosC故a2b213,从而ab225,ABC的周长为57（18）解：（I）由已知可得 AF DF,AFFE, AF平面 EFDC 又 AF 平面 ABEF,故平面 ABEF 平面 EFDC （II）过 D 作 DGEF,垂足为 G,由 知 DG平面 ABEF,名师归纳总结 以 G 为坐标原点, . . 的方向为 x 轴正方向,|. . |为单位长,第 11 页,共 15 页建立如下列图的空间直角坐标系G-xyz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 知 DFE 为二面角 .- .- .的平面角,故. =60°,就|.| = 2,|.| = 3,可得 .1,4,0,.-3,4,0 ,.-3,0,0 , .0,0,3 ,由已知, AB EF, AB 平面 EFDC ,又平面 ABCD . 平面 EFDC =CD,故 AB CD,CD EF,由 BE AF,可得 BE平面 EFDC , CEF 为二面角 C- BE- F 的平面角, CEF=60° ,从而可得 C-2,0,3, . . = 1,0, 3 ,. . = 0,4,0,. . = -3,-4, 3 ,. . . = -4,0,0,设.= .,.,.是平面 BCE 的法向量,就 . . = 0,即x+ 3z=0 , 可取 .= 3,0, - 3 ,. . = 0,4y=0 设.是平面 ABCD 的法向量,就 . . . = 0,. . . . = 0,同理可取 . = 0, 3, 4 ,就cos.,.=.|.|.|.|= -219 19,故二面角E- BC- A 的余弦值为 -219 19 . （19）解：（I）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而PX=16=0.2 × 0.2=0.04 ,P X=17=2 × 0.2 × 0.4=0.16 ,P X=18=2 × 0.2 × 0.2+0.4 × 0.4=0.24 ,P X=19=2 × 0.2 × 0.2+2 × 0.4 × 0.2=0.24 ,P X=20=2 × 0.2 × 0.4+0.2 × 0.2=0.2 ,P X=21=2 × 0.2 × 0.2=0.08 ,P X=22= 0.2 × 0.2=0.04 ,所以 X 的分布列为20 21 22 X 16 17 18 19 （II ）由 知 P XP 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 18=0.44 ,P X19=0.68 ,故 n 的最小值为19,（III ）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）当 n=19 时, EY=19× 200× 0.68+19 × 200+500 × 0.2+19 × 200+2× 500 × 0.08+19 × 200+3× 500 × 0.04=4040 当 n=20 时, EY=20× 200× 0.88+20 × 200+500 × 0.08+20 × 200+2× 500 × 0.04=4080 名师归纳总结 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于n=20 时所需费用的期望值,故应选n=19第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （20）解：（I） |AD| = |AC|,EB AC ,故 EBD =ACD = ADC |EB| = |ED|,故 |EA| + |EB| = |EA| + |ED|又圆 A 的标准方程为x1 2y216, 从而 |AD| = 4, |EA| + |EB| = 4y0）由题设得 A-1,0,B1,0 ,|AB| = 2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x2y21（43（II ）当 l 与 x 轴不垂直时,设l 的方程为ykx1（k0）,Mx 1y 1,Nx 2y 2由y x2k x2y1,得4k23 x28k2x4k2120143就x 1x28 k23,x 1x24k212；MN1k2x 1x212k214 k24k234k23过点 B1,0且与 l 垂直的直线m：y1 x k1 , A 到 m 的距离为k21,2PQ242k21244k232k21故四边形 MPNQ 的面积S1MPPQ1214 k1322可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范畴为 12,83当 l 与 x 轴垂直时,其方程为x,1MN,3PQ8,四边形MPNQ 的面积为 12综上,四边形MPNQ 面积的取值范畴为12,83）（21）解：名师归纳总结 （I）fx x1 ex2ax1 x1 ex2a时,fx0第 13 页,共 15 页（i）设a0,就fxx2ex,fx只有一个零点（ii ）设a0,就当x,时,fx0；当x ,fx在, 单调递减,在1 ,单调递增又f1 e,f2a,取 b 满意b0且bln a 2,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fbab2ab1 2ab23b0,22故 f x 存在两个零点（iii ）设 a 0,由 f x 0 得 x 1 或 x ln 2 a 如 a e,就 ln 2 a 1,故当 x , 时,f x 0,因此 f x 在 1 , 单调2递增又当 x 1 时,f x 0,f x 不存在两个零点；如 a e,就 ln 2 a 1,故当 x 1,ln 2 a 时,f x 0；当 x ln 2 a ,2时,f x 0因此 f x 在 1,ln 2 a 单调递减,在 ln 2 a , 单调递增 又当 x 1时,f x 0,f x 不存在两点零点综上, a 的取值范畴为 ,（II ）不妨设 x 1 x 2,由 知,x 1 ,x 2 1,2 x 2 ,1,f x 在 ,单调递减,x 1 x 2 2 f x 1 f 2 x 2 ,即 f 2 2x 0f 2 x 2 x 2 e 2 x 2a x 2 1 2,而 f x 2 x 2 2 e x 2a x 2 1 2 0,2 x 2 x 2f 2 x 2 x 2 e x 2 2 e设 g x xe 2 x x 2 e x,就 g x x 1 e 2 xe x 当 x 1 时,g x 0,而 g 1 0,故当 x 1 时 g x 0从而 g x 2 f 2 x 2 0,故 x 1 x 2 2（22）解：（I）设 E 是 AB 的中点,连结OECBOO AB OA =OB, AOB =120° , OEAB , AOE =60° 在 Rt AOE 中, OE=1 2AO,即 O 到直线 AB 的距离等于DOO 的半径, AB 与 O 相切AEO'（II ）OA =2OD ,O 不是 A, B, C, D 四点所在圆的圆心设O 是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又O 在线段 AB 的垂直平分线上,同理可证, OO CD AB CD名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （23）解：（I）消去参数 t 得到 C 的一般方程 x 2 y 1 2a 2C 是以（ 0,1）为圆心, a 为半径的圆将 x cos,y sin 代入 C 的一般方程中,得到 C 的极坐标方程为2 22 sin 1 a 02 2（II ）曲线 C 1,C 2