均值不等式与柯西不等式在竞赛问题中的应用.docx

均值不等式与柯西不等式在竞赛问题中的应用均值不等式在求最值中应用广泛，均值不等式与柯西不等式在证明不等式中发挥着重要作用，本文列举几个例题说明理由.例题1.已知正数满足，求的最小值.解：，等号成立当且仅当.的最小值为29.例题2已知正数满足，求的最小值.解：由柯西不等式与均值不等式得等号成立当且仅当的最小值为.例题3已知正数满足，求的最小值.解：应用均值不等式得等号成立当且仅当的最小值为.均值不等式与柯西不等式在证明不等式中起着关键作用，且看下面例题.例题4设ABC三边长为，求证：证明：因为ABC三边长为，由三边长度大小知由柯西不等式得所以只需证，等价于证明由均值不等式知只需证明不妨设则所以例题5设是正实数，求证：证明：由柯西不等式得，所以只要证等价于由三元均值不等式得上式成立.练习：1.设求证：.2.：3.在中，当n3时，求证：4.已知求证：5.已知a，b，c是正数，求证：练习题答案1.设求证：.证：易证.这是正确的.因为 2.：Proof：3.在中，当n3时，求证：证：由均值不等式，柯西不等式，排序不等式得4.已知求证：证明：由AM-GM得上式成立.（2）由AM-GM得上式成立.所以5.已知a，b，c是正数，求证：证：不妨设则由均值不等式知所以，所以学科网（北京）股份有限公司