江西师大附中高二上学期期末数学试题与答案.docx

江西师大附中高二上学期期末数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(x) = xf ¢(x) f (x)是f ¢(x ) =12x =01已知函数 f，的导函数，若，则（）30-2±2± 2A. 2BCD2命题“对任意 xÎ R,都有x ³ 20192”的否定是（）Î R，都有 x < 2019xÎ RB. 不存在x < 2019，使得A. 对任意 x22Î Rx ³ 2019Î Rx < 2019C. 存在 x，使得D. 存在 x，使得202000= (1+ i)(2 + i)3复数 z，则其对应复平面上的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限pp= -x =， 所围成的封闭图形的面积为(y = 0与曲线 y = cosx4由直线 x，)66133D.A.B.1C.22(x) = e + x xÎ1,35已知函数 f2-x ，则下列说法正确的是()11(x) 的最大值为3+f (x) 的最小值为3+A函数 fC函数 fB函数D函数ee(x)f (x)的最小值为 3的最大值为 36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（）Aa，b，c 中至少有两个偶数Ca，b，c 都是奇数Ba，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数Da，b，c 都是偶数2( )=，则 y f x 的图象大致为（( )=7. 已知函数 f x）x - lnx -1A.B.C.D.( )( )= x2 + mln 1+ x8设函数 f x有两个极值点，则实数 的取值范围是()m 1(-1, )21(0, )21(0, 21(-1, 2A.B.C.D.(x) = e + x + x +1 g(x) = 2x -3Qf (x) g(x)， P 、 分别是函数 、 图象上9. 已知函数 f与x2的动点，则的最小值为（）PQ5A52 552 5BCD510下列命题中，真命题是（）, z ÎCz + z1z , z1A设 z，则为实数的充要条件是为共轭复数；1222B“直线l 与曲线 C 相切”是“直线l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件； l-1，则它们的斜率之积等于 ”的逆命题；C“若两直线l12(x)f (x)¢( ) = 0的极值点，则 f x ”的否命题D f是 R 上的可导函数，“若 x 是00x2y2, F- =1(a > 0,b > 0)l ,l的左、右焦点，两条渐近线分别为 ，11.已知 F分别是双曲线12a2b212,l经过右焦点 F 垂直于l 的直线分别交l 于 A B 两点，若 OA,| + |= 2 | |AB ，且 F 在OB21122线段上，则该双曲线的离心率为（）AB525DAB 2C. 2( ) ( )(x) =é(t - 2t)e ùdt0,+¥，则 f x 在 的单调递增区间是(12已知函数 fA(0, +¥)ò x)2tëû0B(0, 2)C( 2, +¥)D(2, +¥)二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）xxx(x) =+1(x > 0),观察：f (x) = f (x) =f (x) = f ( f (x) =13设函数 f，1x +1212x +1xxxf (x) = f ( f (x) =， f (x) = f ( f (x) =，根据以上事实，由归纳3x +14x +13243(x) =推理可得： f.2019òòp416 -+dx=14x2dxx32p- 4-2: 4x - 3y +11 = 0l : x = -12y = 4x上一动点 P 到直线 l 和15已知直线 l和直线，抛物线211 直线 的距离之和的最小值是l2ax a+ + m"aÎ1,2) $x Î(0,1ln x + e >16已知，使得，则实数 的取值范围ma02 200为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(本小题满分 10 分):f (x) = x - mx +1xÎ1,2q :上 单 调 递 减 ； 命 题 曲 线已 知 命 题 p 函 数在32x2y2-=1为双曲线m - 2 6 - m（）若“ p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（）若“ p 或q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，求实数m 的取值范围18(本小题满分 12 分)(x) = x + x - 2已知函数 f3= f (x) 在点(2,8)（）求曲线 y（）直线l 为曲线 y处的切线方程；= f (x)l的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标.19(本小题满分 12 分)( )0,1C : x + y - 6x + 8 = 0 ,，直线l 与圆C 交于 A B 不同两点已知直线l 过点 P，圆22（）求直线l 的斜率k 的取值范围；( )6,4（）是否存在过点Q且垂直平分弦 AB 的直线l ？若存在，求直线l 斜率k 的值，111若不存在，请说明理由 20(本小题满分 12 分)1- x1+ x(x) = ln(ax +1)+x ³ 0 ），其中a > 0已知函数 f（）若 f（）若 f（(x) x =1在处取得极值，求实数a 的值；(x)a的最小值为 1，求实数 的取值范围21(本小题满分 12 分)xy22: + =1 ( > > 0)a bF (-1,0) F (1,0)已知椭圆 C的左右焦点分别为、，经过 F 的2a2b212DF AB直线 与椭圆C 交于 A、 B 两点，且l的周长为 81（）求椭圆C 的方程；DAF F DBF FS - S1（）记与的面积分别为S 和 S ，求1的最大值12122222. (本小题满分 12 分)(x) = (ax - 2)(lna - ln x)x > 0 a > 0，f (x)），记函数 的导函数为已知函数 f（其中g(x) = f ¢(x) （）求函数 g(x)的单调区间；(x) £ 0（）是否存在实数 a ，使得 f对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由江西师大附中高二上学期期末数学试题答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）x(-¥,e-1)16.13148p1532019x +1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.32¢( ) = 3 - 2 £ 0 在 xÎ1,2³17【解析】（）若 p 为真命题， f xxmx恒成立，即 mx 在23xÎ1,2恒成立， x 在 xÎ1,2的最大值是 3， m ³ 32若 q 为真命题，则(m - 2)(6 - m) > 0，解得2 < m < 6，ì m ³3若“ p 且 q ”为真命题，即 p ，q 均为真命题，所以í，解得3 £ m < 6，î2 < m < 6综上所述，若“ p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为3,6)；5 分（）若“ p 或q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，即 p ， q 一真一假，m ³ 3îm £ 2或m ³ 6ì³ 6，当 p 真q 假时， í，解得mì m <3当 p 假q 真时， í，解得2 < m < 3，î2 < m < 6综上所述，实数m 的取值范围为(2,3) 6,+¥)10 分¢( ) = 3 +1¢(2) =133 分18【解析】（） f xx，所以 f2所以所求的切线方程为 y -8 =13(x - 2) ，即13x - y -18 = 06 分7 分9 分（x , x + x - 2)f ¢(x ) = 3x +1（）设切点为3，则200000() ( )2- x + x - 2 = 3x +1 (x - x )所以切线方程为 y30000() ( )2- x + x - 2 = -x 3x +1，因为切线过原点，所以300002x = -2x = -10所以3，解得，11分0¢(-1) = 4= 4x ，所以 f又因为 f，故所求切线方程为 y(-1) = -4 ，切点为(-1,-4)12 分19 【解析】（）法 1：直线 l 的方程为 y= kx +1，则 y=kx+1( ) ( )+1 x + 2x -6 x +9 = 02由由2 + 2 -6 +8=0 得 kx yx( )3( )D= 2k - 6 -36 k +1 > 0 -24k -36k2 > 0- < k < 022得，故6 分4法 2：直线 l 的方程为 y= kx +1，即kx - y +1= 0，3k +1=圆心为 C（3，0），圆的半径为 1 则圆心到直线的距离d，k +123k +13因为直线与有交于 A，B 两点，故<1，故 - < k < 06 分4k +12( ) ( )6,4 ,C 3,0（）假设存在直线l 垂直平分于弦 AB ，此时直线l 过Q，114 - 0 434=AB 的斜率k = -，故则 k1 6 -3 3，由（1）可知，不满足条件12 分所以，不存在直线l 垂直于弦 AB 1a2ax + a - 22¢( ) =f x+=20【解析】（）求导函数可得ax +1 (x +1) (ax +1)(x +1)222a - 2(x) x =1在f ¢(1)= 0= 0错误 !未找到引用源。 ，解得 f处取得极值，4(a +1)a =1；4 分=1 f (x) x =1处取得极小值，符合题意，所以a =15 分经检验，a时在ax + a - 22¢( ) =（） f x，(ax +1)(x +1)2³ 0 a > 0 ax +1> 0 x +1> 0 x当 a，³ 20,+¥) f ¢(x) ³ 0 f (x)f (x)的最小值为f (0) =18 分时，在区间上，递增，2 - a2 - a0 < a < 2f ¢(x) > 0>f ¢(x) < 02 - a，解得 x0 £ <当时，由，解得 x；由aa2 - a(x) 的单调减区间为0,2 - a)，单调增区间为(,+¥)10 分 faa2 - a(x)=(f ，不合) < (0) =1于是， f在 x处取得最小值 faa 综上可知，若 f（x）的最小值为 1，则实数 的取值范围是12 分a2,+¥)21【解析】(-1,0)=1DF AB（）因为 F为椭圆 C 的焦点，所以 c，由椭圆的定义知，的周长为11(| AF | + | AF |) + (| BF | + | BF |) = 2a + 2a = 4a = 8a = 2b = a - c = 3，所以 2 ，解得221212x2y2+ =1所以椭圆C 的方程为；4 分4 3= my +1( , )( , )（）设直线 的方程为 xl， A x y ， B x y ，1122ìxy22ï + =16m(3m + 4)y + 6my - 9 = 0y + y = -由 í 4 3，整理得，则，7 分223m + 4122ïî x = my +116 | m |S - S = | F F | (| y | - | y |) = y + y =，当m = 0时， S - S = 0，23m + 4121212122126 | m |663¹ 0S - S =£=当 m时，43m + 42 12 21223| m | +| m |2 333= ±S - S的最大值为（当且仅当m时等号成立）综上所述，12 分21212(x) = f ¢(x) = a(ln a - ln x) + (ax - 2)(- ) = aln a - aln x - a +22【解析】（） g，xxa 2a 2¢( ) = - -> 0> 0¢( ) = - - < 0， g x 恒成立， g x， x， ax x2x x2 g(x)的单调减区间为(0,+¥)，无递增区间；4 分(x) (0,+¥)在g(x) = 0 (0,+¥)在 上必存在实（）解法一：由（）知g上单调递减，所以22(x ) = 0aln a - aln x - a + = 0ln x = ln a -1+数根，不妨记 g，即，可得00x00ax0Î(0, x )( ) > 0时， g x¢( ) > 0，即 f xx Î(x ,+¥)( ) < 0时， g x¢( ) < 0，即 f x ，当 x，当00(x) (0, )( ,+¥)上单调递减，所以 f所以 f在 x 上单调递增，在 x00(x) = f (x ) = (ax - 2)(ln a - ln x )，8 分max000 24(x) = (ax - 2)(1-) = ax +- 4，把（*）式代入可得 fmax0ax0ax0044(x) = f (x ) = ax +- 4 £ 0ax +- 4 ³ 0，依题意 f恒成立，又由基本不等式有max00ax0ax0042= 2时等号成立，解得ax = 2=当且仅当ax，所以 x00ax0a022ln = ln a= aa > 0，所以解得a = 2，又 代入（*）式得，所以aa综上所述，存在实数a = 2( ) £ 0，使得 f x对任意正实数 恒成立12 分x(ax - 2)(ln a - ln x) £ 0 "xÎ(0,+¥)对 恒成立，解法二：要使22ax - 2 ³ 0即 x ³ 时，lna £ ln xx ³ ax £ ax ³ maxa, ，解得，所以，所以，a2a2- 2 £ 0 x £ 时，lna ³ ln xx £ mina, ax即，解得，aa2=a > 0，所以解得a = 2依题意可知，、应同时成立，则a，又a综上可知，若 f（x）的最小值为 1，则实数 的取值范围是12 分a2,+¥)21【解析】(-1,0)=1DF AB（）因为 F为椭圆 C 的焦点，所以 c，由椭圆的定义知，的周长为11(| AF | + | AF |) + (| BF | + | BF |) = 2a + 2a = 4a = 8a = 2b = a - c = 3，所以 2 ，解得221212x2y2+ =1所以椭圆C 的方程为；4 分4 3= my +1( , )( , )（）设直线 的方程为 xl， A x y ， B x y ，1122ìxy22ï + =16m(3m + 4)y + 6my - 9 = 0y + y = -由 í 4 3，整理得，则，7 分223m + 4122ïî x = my +116 | m |S - S = | F F | (| y | - | y |) = y + y =，当m = 0时， S - S = 0，23m + 4121212122126 | m |663¹ 0S - S =£=当 m时，43m + 42 12 21223| m | +| m |2 333= ±S - S的最大值为（当且仅当m时等号成立）综上所述，12 分21212(x) = f ¢(x) = a(ln a - ln x) + (ax - 2)(- ) = aln a - aln x - a +22【解析】（） g，xxa 2a 2¢( ) = - -> 0> 0¢( ) = - - < 0， g x 恒成立， g x， x， ax x2x x2 g(x)的单调减区间为(0,+¥)，无递增区间；4 分(x) (0,+¥)在g(x) = 0 (0,+¥)在 上必存在实（）解法一：由（）知g上单调递减，所以22(x ) = 0aln a - aln x - a + = 0ln x = ln a -1+数根，不妨记 g，即，可得00x00ax0Î(0, x )( ) > 0时， g x¢( ) > 0，即 f xx Î(x ,+¥)( ) < 0时， g x¢( ) < 0，即 f x ，当 x，当00(x) (0, )( ,+¥)上单调递减，所以 f所以 f在 x 上单调递增，在 x00(x) = f (x ) = (ax - 2)(ln a - ln x )，8 分max000 24(x) = (ax - 2)(1-) = ax +- 4，把（*）式代入可得 fmax0ax0ax0044(x) = f (x ) = ax +- 4 £ 0ax +- 4 ³ 0，依题意 f恒成立，又由基本不等式有max00ax0ax0042= 2时等号成立，解得ax = 2=当且仅当ax，所以 x00ax0a022ln = ln a= aa > 0，所以解得a = 2，又 代入（*）式得，所以aa综上所述，存在实数a = 2( ) £ 0，使得 f x对任意正实数 恒成立12 分x(ax - 2)(ln a - ln x) £ 0 "xÎ(0,+¥)对 恒成立，解法二：要使22ax - 2 ³ 0即 x ³ 时，lna £ ln xx ³ ax £ ax ³ maxa, ，解得，所以，所以，a2a2- 2 £ 0 x £ 时，lna ³ ln xx £ mina, ax即，解得，aa2=a > 0，所以解得a = 2依题意可知，、应同时成立，则a，又a