2022年高考数学知识点扫描复习数列3.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -五、数列一、数列定义：数列是根据肯定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的其次个数,有第三个数, ,于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数；因此,数列就是定义在正整数集 N （或它的有限子集 * ,1 ,2 ,3 , n ）上的函 数 f n , 当 自 变 量 从 1 开 始 由 小 到 大 依 次 取 正 整 数 时 , 相 对 应 的 一 列 函 数 值 为f 1 , f 2 ,；通常用 a 代替 f n ,于是数列的一般形式常记为 a 1a 2 , 或简记为 a n ,其中 a 表示数列 n a n 的通项；留意：（1） a n 与 a 是不同的概念, a n 表示数列 a 1a 2 ,而 a 表示的是数列的第 n项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值；（3）a 和S 之间的关系：an1S 1n12 a ；S nS n1 n如：已知a n的S 满意lgSnn nN*,求二、等差数列、等比数列的性质：定义等差数列等比数列假如一个数列从第2 项起,每一项与它假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数的前一项的比等于同一个常数,这个数公差列就叫等差数列列就叫做等比数列an1q nN* n2 ,或a nan1dnN*,n2 ,或an（比）a n 1and；an 1q（q0）；通项公a na mana na m式d = 由错项相减法推得求和公由倒序相加法推得anb,就q1,S n = n,就 第 1 页,共 6 页 式S n = q1,S n用函数如an为等差数列an如a n为等比数列a nca的思想懂得通a, b；a, c；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -项公式 等差数列的图象是直线上的匀称排开的一群孤立的点用函数等差数列a n,Sn2 AnBnC,如a n为等比数列,S nAanB, 第 2 页,共 6 页 就 a； A； B；就 C； A； B；（其中的系数与为互的思想为相反数, 这是公式一很重要特点,如C0,说明：；懂得求n ,S n在二次函数的留意前提条件q0 q1；）和公式如BA,说明：；增减性图象上,是一群孤立的点；等比数列a n,S n3 na,就 a；an为递增数列；an为递增数列；an为递减数列；an为递减数列；等差an为常数列；an为常数列；an为摇摆数列；任意两个数a,b有且只有一个等差中两 个 数a,b的 等 比 中 项 为；（比）中项,即为；两个数的等差项（ab0）中项就是这两个数的算术平均数；等差a 1ana 2_a nma 1ana2_anm2 a 中a 中2如mnpq,就 _ _ ；如mnpq,就 _ _ ；特殊当mn2p,就；特殊当mn2p,就；在等差数列中,每隔相同的项抽出来的在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项根据原先次序排列,构成的新数列仍项根据原先的次序排列,构成的新数列（比）数然是等差数列,但剩下的项按原次序构仍旧是等比数列,剩下的项按原次序构列的性成的数列不肯定是等差数列；成的数列也不肯定是等比数列；质细心整理归纳 精选学习资料 如：a 1,a3,a 5,；问公差为如：a 1,a3,a 5,；问公比为a 1a2a3,a4a 5a6,a7a 8a9a 1a 2a3,a4a 5a6,a7a 8a9是数列；公差为；是数列；公比为；S m,S 2mS m,S 3mS 2m,成 等 差 数a 1a 2a 3,a4a 5a6,a 7a 8a 9列；是数列；公比为； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a 1a4a7,a 2a 5a 8,a3a 6a9a 1a 4a7,a 2a 5a 8,a3a 6a9是 数列；公差为；是 数列；公比为；如数列 a n 与 nb 均为等差数列,就如数列 a n 与 nb 均为等差数列,就 ma nb n 仍为等比数列, 公比为； ma n kb n 仍为等差数列, 公差为； ma n 仍为等比数列,公比为；b n如：（ 1）在等差数列 a n 中 S n 10,S 2n 30,就 S3 n；（ 2）在等比数列 a n 中 S n 10,S 2n 30,就 S3 n；另外,等差数列中仍有以下性质须留意：（1）等差数列a n中,如anm ,a mnmn ,就amnT ,a nan1；（2）等差数列a n中,如S nm ,S mn mn ,就S mn；（3）等差数列a n中,如S nS mmn,就a m1a m2；S mn；（4）如S PS q,就 n时,S 最大；（5）如an与b n均为等差数列,且前n 项和分别为S 与就a mS _；amS _b mT _b nT _n 2an（a 与an1为中（6）项数为偶数2n的等差数列an,有S 2nna12a2n间的两项）S 偶S 奇2n1；S 奇S 偶a n,有S 2n； 2n1an（a 为中间项）项数为奇数的等差数列1S 奇S 偶；S 奇S 偶；S 奇S 偶；等比数列中仍有以下性质须留意：（1）如a n是等比数列, 就an0 ,|an|也是等比数列, 公比分别； 第 3 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）如an是等比数列,就1,an2也是等比数列,公比分别；an三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：定义法：a n 1 a n d 或 a n a n 1 d n 2 （ d 为常数） a n 是等差数列中项公式法：2 a n 1 a n a n 2 a n 是等差数列通项公式法：an pn q（p, q 为常数） a n 是等差数列前 n项和公式法：Sn An 2 Bn（A, B 为常数） a n 是等差数列留意：是用来证明 a n 是等差数列的理论依据；（2）等比数列的判定方法：定义法：a n 1 q 或 a n d n 2 （ q 是不为零的常数） a n 是等比数列a n a n 12中项公式法：a n 1 a n a n 2 a n a n 1 a n 2 0 a n 是等差数列通项公式法：a n cq n（c, q 是不为零常数） a n 是等差数列前 n项和公式法：Sn kq 2 k（k a 1是常数） a n 是等差数列q 1留意：是用来证明 a n 是等比数列的理论依据；四、数列的通项求法：（1）观看法：如： （1）0.2 ,0.22 ,0.222 , （ 2）21, 203,2005,20007, （2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列；细心整理归纳 精选学习资料 递推式为a n 1a nd及an1qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列； 第 4 页,共 6 页 递推式为a n1a nfn：迭加法如：已知a n中a11,an1an4n11,求a n22递推式为a n1f n a n：迭乘法如：已知a n中a 12,an1nn1an,求a n递推式为a n 1panq（p,q为常数）： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -构造法：、由an21pa n1q相减得a n2an1p an1an,就anpa nqan11a n为等比数列；pttq,tpq1,就a npq 1、设 antp ant,得到为等比数列；如：已知a 1,1an1n2a n5,求a nb nan,转化为bn1pbn1,递推式为a n1paqn（p,q为常数）：两边同时除去qn1得a n1pan1,令qn1qnqnqqqq再用法解决；如：已知a n中,a15,an11an1n1,求antan,可得出stp解出632递推式为a n2pa n1qa n（p,q为常数）：将an2pa n1qa n变形为a n2tan1s an1stqs, ,于是an1ta n是公比为 s的等比数列；n,求ana ；如：已知a n中,a 1,1a22,an22an11a33（3）公式法：运用a nS nS 1,n,12S n1n32 an,求已知Sn3 n25 n1,求a ；已知an中,S n已知an中,a 1,1an2 S n21 n2 ,求a n2 S n五、数列的求和法：（1）公式法：等差（比）数列前n 项和公式：123n33n；nn1 2 第 5 页,共 6 页 2 122322n1 ；3 1233n2nn1 62（2）倒序相加（乘）法：C02 C13 C2n1Cn n；如：求和：S nnnn细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知a,b为不相等的两个正数,如在a,b之间插入 n 个正数,使它们构成以a 为首项, b 为末项的等比数列,求插入的这n 个正数的积nP ；（3）错位相减法：如：求和：Sx2x23x3nxn（4）裂项相消法：ann 1k；a nn1nnk如：S112213314n11 ；nS113214315n12；n如a nn1n1,就S n；（5）并项法：如：求S 100123499100（6）拆项组合法：如：在数列an中,ann 102n1,求S ,六、数列问题的解题的策略：（1）分类争论问题： 在等比数列中,用前 n 项和公式时, 要对公比 q 进行争论； 只有 q 1时才能用前 n 项和公式,q 1 时 S 1 na 1已知 S 求 a 时,要对 n ,1 n 2 进行争论；最终看 a 满意不满意an n 2 ,如满意 a 中的 n 扩展到 N ,不满意分段写成 *a ；（2）设项的技巧：细心整理归纳 精选学习资料 对于连续偶数项的等差数列,可设为,a3 d,ad,ad,a3d,公差为2d； 第 6 页,共 6 页 对于连续奇数项的等差数列,可设为a2d,ad,a ,ad,a2d,公差为 d ；对于连续偶数项的等比数列,可设为,a,a,aq,aq3,公比为2 q ；q3q对于连续奇数项的等比数列,可设为,a,a,a,aq,aq2,公比为 q ；q2q - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -